Esercizi: Lavoro e bilanci energetici

Una sonda si allontana dalla Terra in direzione radiale.

1. a) Disegna sul quaderno la forza gravitazionale sulla sonda e il suo spostamento, e spiega quale segno ha il lavoro compiuto dal campo gravitazionale durante l'allontanamento.
2. b) Scrivi la relazione tra quel lavoro e la variazione di energia potenziale, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e spiegane il significato.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un carico utile di $m = 1000\ \text{kg}$ passa dalla superficie terrestre ($r_1 = R_T$) a una posizione a $r_2 = 2\cdot R_T$ dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola l'energia potenziale del sistema in ciascuna posizione, $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.
2. b) Calcola la variazione di energia potenziale, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$, e spiegane il segno.

Un frammento di detriti spaziali scende lentamente da un'orbita di raggio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a un'altra di raggio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Spiega, senza fare calcoli, quale segno ha il lavoro compiuto dal campo gravitazionale durante la discesa.
2. b) Indica se la sua energia potenziale aumenta o diminuisce e giustificalo con l'espressione $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Un satellite descrive un'orbita circolare stabile attorno alla Terra. Osserva lo schema:

1. a) Tenendo conto che la forza gravitazionale è perpendicolare alla velocità in ogni punto dell'orbita, quanto vale il lavoro compiuto dal campo gravitazionale in un giro completo?
2. b) Cambiano l'energia cinetica, l'energia potenziale e l'energia meccanica del satellite lungo quell'orbita? Giustificalo.

L'energia che occorre fornire a una massa $m$ ferma sulla superficie terrestre per portarla in un'orbita circolare di raggio $r$ è $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Si vuole collocare un piccolo satellite di $m = 200\ \text{kg}$ in un'orbita a $500\ \text{km}$ di altezza ($r = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola quell'energia ed esprimila in notazione scientifica.
2. b) Indica in quali due «voci» energetiche viene impiegata quell'energia.

Una sonda di $m = 800\ \text{kg}$ viene spostata molto lentamente (praticamente senza variare la sua energia cinetica) da $r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ a $r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$, misurati dal centro della Terra. Il lavoro esterno minimo necessario coincide allora con la variazione di energia potenziale. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la variazione di energia potenziale tra le due posizioni.
2. b) Indica quale lavoro esterno minimo bisogna compiere e che segno ha.

Per collocare un satellite in una certa orbita occorre aumentare la sua energia potenziale di $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ e, inoltre, fornirgli un'energia cinetica orbitale di $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

1. a) Calcola l'energia totale che deve fornire il lanciatore.
2. b) Spiega perché mettere un satellite in orbita non consiste soltanto nel «sollevarlo» fino a quell'altezza.

Una sonda di $m = 500\ \text{kg}$ cade da $r_1 = 4\cdot R_T$ fino a $r_2 = 2\cdot R_T$, misurati dal centro della Terra. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola la variazione della sua energia potenziale, $\Delta E_p = E_{p,2} - E_{p,1}$.
2. b) Calcola il lavoro compiuto dal campo gravitazionale, $W_{campo} = -\Delta E_p$, e interpreta il suo segno.

Un satellite di una costellazione per internet, di $m = 300\ \text{kg}$, deve salire dalla sua orbita di parcheggio, a $500\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$), alla sua orbita operativa, a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Il lavoro necessario per passare da un'orbita circolare a un'altra è $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro che devono fornire i propulsori del satellite.
2. b) Spiega il segno positivo del risultato: da dove viene quell'energia e dove va a finire?

Un satellite meteorologico di $m = 1500\ \text{kg}$ deve essere collocato in orbita geostazionaria, di raggio $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, partendo da fermo sulla superficie terrestre. L'energia necessaria è $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola quell'energia.
2. b) Calcola quale frazione di quell'energia corrisponde a «salire» (variazione di $E_p$) e quale a «orbitare» (energia cinetica orbitale), e commenta il risultato.

Un meteorite di $m = 2\cdot10^{3}\ \text{kg}$ cade verso la Terra da molto lontano, partendo praticamente da fermo. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Applica la conservazione dell'energia per calcolare l'energia cinetica con cui arriverebbe alla superficie se non ci fosse l'atmosfera.
2. b) Calcola la velocità corrispondente.
3. c) Un'automobile di $1200\ \text{kg}$ a $120\ \text{km/h}$ ($33,3\ \text{m/s}$) ha un'energia cinetica di circa $6,7\cdot10^{5}\ \text{J}$: calcola quante volte è maggiore l'energia del meteorite.

Un satellite di $m = 300\ \text{kg}$ decade per attrito con l'alta atmosfera da un'orbita circolare a $800\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $500\ \text{km}$ ($r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro compiuto dal campo gravitazionale nella discesa, $W_{campo} = G\cdot M\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)$.
2. b) Calcola la variazione di energia meccanica del satellite tra le due orbite circolari, $\Delta E_m = E_{m,2} - E_{m,1}$ con $E_m = -\frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Spiega perché i due risultati non coincidono e che cosa è successo alla differenza.

Si vuole confrontare l'energia necessaria per due missioni diverse con un carico di $m = 1000\ \text{kg}$ che parte da fermo sulla superficie terrestre. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia minima affinché il carico sfugga all'attrazione terrestre, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
2. b) Calcola l'energia per collocarlo in un'orbita circolare radente ($r \approx R_T$), $E_{orb} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot R_T}$.
3. c) Spiega, a partire dai risultati, perché «sfuggire alla Terra» costa esattamente il doppio di «mettersi in orbita bassa», e quale conseguenza pratica ha questo per le missioni interplanetarie.

I propulsori di un satellite di $m = 500\ \text{kg}$ lo portano da un'orbita circolare a $500\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $800\ \text{km}$ ($r_2 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro fornito dai propulsori, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcola la velocità orbitale in ciascuna orbita, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$, e verifica che diminuisce.
3. c) Spiega l'apparente paradosso: i motori forniscono energia al satellite e, tuttavia, questo finisce per muoversi più lentamente. Basa la spiegazione sui bilanci di $E_c$, $E_p$ e $E_m$.

Un lanciatore colloca un carico di $m = 400\ \text{kg}$ in un'orbita circolare a $600\ \text{km}$ di altezza ($r = 6,97\cdot10^{6}\ \text{m}$), partendo da fermo sulla superficie. L'energia necessaria è $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia totale.
2. b) Calcola l'energia per chilogrammo di carico ed esprimila in notazione scientifica.
3. c) L'energia di fuga dalla superficie è $6,25\cdot10^{7}\ \text{J}$ per chilogrammo: calcola quale frazione rappresenta l'energia di messa in orbita rispetto a quella di fuga.

Un orbiter di $m = 1000\ \text{kg}$ attorno a Marte deve passare da un'orbita circolare bassa a $200\ \text{km}$ di altezza ($r_1 = 3,59\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'orbita alta di raggio $r_2 = 1,7\cdot10^{7}\ \text{m}$. Dati di Marte: $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcola il lavoro necessario, $W = \frac{G\cdot M_M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) La massa di Marte è circa $0,11$ volte quella della Terra: spiega perché, a parità di raggi orbitali e di massa dell'orbiter, i cambi di orbita sono energeticamente molto più economici attorno a Marte che attorno alla Terra.

Un satellite di $m = 500\ \text{kg}$ perde quota per l'attrito con l'alta atmosfera e passa da un'orbita circolare a $350\ \text{km}$ ($r_1 = 6,72\cdot10^{6}\ \text{m}$) a un'altra a $250\ \text{km}$ ($r_2 = 6,62\cdot10^{6}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola la variazione di energia cinetica tra le due orbite, $\Delta E_c$, con $E_c = \frac{G\cdot M\cdot m}{2\cdot r}$.
2. b) Calcola la variazione di energia potenziale, $\Delta E_p$.
3. c) Calcola la variazione di energia meccanica, $\Delta E_m$, e spiega che cosa è successo a quell'energia.
4. d) Calcola la velocità orbitale in ciascuna orbita e spiega il «paradosso del satellite»: frenando per attrito, il satellite finisce per muoversi più velocemente.

Una missione porta un carico di $m = 1000\ \text{kg}$ da fermo sulla superficie terrestre fino a farlo sfuggire alla Terra, in due fasi: prima viene collocato in un'orbita circolare a $800\ \text{km}$ di altezza ($r = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$) e da lì gli viene dato l'impulso finale di fuga. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La missione è mostrata nella figura.

1. a) Calcola l'energia della prima fase, $E_1 = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$.
2. b) Calcola l'energia della seconda fase: quella che bisogna fornire a un satellite in orbita circolare affinché sfugga, $E_2 = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r}$.
3. c) Somma le due energie e verifica che il totale coincide con l'energia di fuga diretta dalla superficie, $E_{esc} = \frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$.
4. d) Spiega perché il totale non dipende dall'orbita intermedia scelta, basandoti sul fatto che l'energia meccanica finale (all'infinito, in quiete) è la stessa in tutti i casi.

Nel 2013 un meteorite di circa $20\ \text{m}$ di diametro è esploso sopra Čeljabinsk (Russia). Considera un corpo di $m = 10^{7}\ \text{kg}$ che si avvicina alla Terra con una velocità, quando è ancora lontano, di $v_\infty = 1,5\cdot10^{4}\ \text{m/s}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Applica la conservazione dell'energia meccanica per calcolare la velocità con cui arriva sulla superficie terrestre.
2. b) Calcola la sua energia cinetica in quel momento.
3. c) Un kilotone di TNT equivale a $4,18\cdot10^{12}\ \text{J}$: esprimi l'energia del meteorite in kilotoni e commenta il risultato.
4. d) Spiega perché l'atmosfera terrestre agisce da scudo protettivo ma solo in modo parziale nei confronti di corpi di questa dimensione.

Per altezze piccole rispetto al raggio terrestre si approssima di solito la variazione di energia potenziale con $\Delta E_p \approx m\cdot g_0\cdot h$, con $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$. Considera un carico di $m = 1000\ \text{kg}$ sollevato di $h = 100\ \text{km} = 10^{5}\ \text{m}$ sulla superficie. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ e $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. La figura confronta le due espressioni:

1. a) Calcola la variazione esatta di energia potenziale, $\Delta E_p = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)$.
2. b) Calcola il valore approssimato $m\cdot g_0\cdot h$.
3. c) Determina l'errore relativo dell'approssimazione, in percentuale.
4. d) Ripeti il confronto per $h = R_T$ (un'altezza uguale al raggio terrestre) e concludi in quale intervallo di altezze l'approssimazione $m\cdot g_0\cdot h$ è accettabile.

Una navicella con equipaggio di $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte da un'orbita circolare bassa terrestre ($r_1 = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) verso la Luna, la cui distanza media dal centro della Terra è $r_2 = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica della navicella nell'orbita bassa, $E_{m,1} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{2\cdot r_1}$.
2. b) Calcola l'energia meccanica minima che avrebbe arrivando alla distanza lunare se vi giungesse con velocità nulla, $E_{m,2} = -\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r_2}$.
3. c) Calcola l'energia minima che deve fornire l'impulso di uscita dall'orbita, $\Delta E = E_{m,2} - E_{m,1}$, e confrontala con l'energia necessaria per sfuggire alla Terra da quella stessa orbita.
4. d) Spiega perché la missione reale richiede energia aggiuntiva: la navicella non può restare in quel punto con velocità nulla, ma deve inserirsi in orbita lunare o tornare indietro.

Si vuole confrontare il costo energetico di mettere in orbita bassa, a $100\ \text{km}$ di altezza, uno stesso carico di $m = 500\ \text{kg}$ dalla superficie della Terra e dalla superficie della Luna. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; Terra: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$; Luna: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia necessaria dalla Terra, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r}\right)$, con $r = R_T + 10^{5}\ \text{m}$.
2. b) Calcola l'energia necessaria dalla Luna, con $r = R_L + 10^{5}\ \text{m}$.
3. c) Calcola il rapporto tra le due energie e commenta quale conseguenza avrebbe per la logistica di una futura base lunare il fatto che decollare dalla Luna sia così «economico» dal punto di vista energetico.

Alla fine della loro vita utile, i satelliti geostazionari vengono innalzati di circa $300\ \text{km}$ verso la cosiddetta «orbita cimitero» per non interferire con quelli operativi. Considera un satellite di $m = 2000\ \text{kg}$ che passa dall'orbita geostazionaria ($r_1 = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$) a quella cimitero ($r_2 = 4,25\cdot10^{7}\ \text{m}$). Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ e $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calcola il lavoro necessario per quest'ultima spinta, $W = \frac{G\cdot M\cdot m}{2}\cdot\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$.
2. b) Calcola l'energia che è costato a suo tempo portarlo in orbita geostazionaria dalla superficie, $E = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{2\cdot r_1}\right)$, con $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Calcola l'energia che costerebbe «abbassarlo» dall'orbita geostazionaria a un'orbita di $300\ \text{km}$ di altezza ($r_3 = 6,67\cdot10^{6}\ \text{m}$) perché rientri, e spiega, confrontando i tre risultati, perché si sceglie l'orbita cimitero.

Per viaggiare verso la Luna bisogna superare il «punto neutro», situato a circa $d = 3,46\cdot10^{8}\ \text{m}$ dal centro della Terra, dove le attrazioni della Terra e della Luna si compensano. La distanza media Terra-Luna è $r_{TL} = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Una navicella di $m = 5\cdot10^{3}\ \text{kg}$ parte da ferma dalla superficie terrestre. Dati: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ e $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola la variazione di energia potenziale dovuta alla Terra nel passaggio dalla superficie terrestre al punto neutro, $\Delta E_{p,T} = G\cdot M_T\cdot m\cdot\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{d}\right)$.
2. b) Calcola la variazione di energia potenziale dovuta alla Luna nello stesso tragitto, tenendo conto che la navicella passa dall'essere a $r_{TL}$ dalla Luna all'essere a $r_{TL} - d$: $\Delta E_{p,L} = G\cdot M_L\cdot m\cdot\left(\frac{1}{r_{TL}} - \frac{1}{r_{TL} - d}\right)$.
3. c) Somma i due contributi per ottenere l'energia minima totale del viaggio fino al punto neutro e confrontala con l'energia di fuga dalla Terra dalla superficie, $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{R_T}$. Quale conclusione trai sul «prezzo» energetico di raggiungere la Luna?

Sfida del tema. Come collegare la caduta di un oggetto al lancio di satelliti? Diventa un ingegnere di missioni spaziali da casa:

1. Misura casalinga e incertezza: Lascia cadere una pallina piccola da 5 altezze diverse comprese tra $0,50\text{ m}$ e $2,00\text{ m}$. Registra con il cellulare (girando un video al rallentatore e analizzandolo fotogramma per fotogramma) il tempo di caduta (3 ripetizioni per altezza) associando la sua incertezza ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Costruisci una tabella con i valori medi e rappresenta $v^2$ in funzione di $h$ per determinare il valore locale di $g$ mediante il bilancio dell'energia meccanica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).

2. Bilancio energetico orbitale: Consulta sul sito dell'Istituto Geografico Militare (IGM) il raggio medio terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) e calcola la massa della Terra $M_T$ a partire dal tuo $g$. Determina il lavoro necessario per trasferire un nanosatellite di $3,5\text{ kg}$ dalla superficie a un'orbita circolare a $400\text{ km}$ di altitudine.

3. Proposta motivata e traiettorie: Scrivi una breve relazione che comprenda tabella, grafico e una discussione teorica: classifica il tipo di moto (orbita ellittica, parabola o iperbole) in base al segno dell'energia meccanica totale ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) e calcola la velocità di fuga.

Verranno valutati:

• Rigore nel trattamento dei dati sperimentali, stima delle incertezze e interpolazione grafica.

• Correttezza nei bilanci di energia meccanica e nel calcolo del lavoro gravitazionale.

• Coerenza fisica nel collegare il segno di $E_m$ con la traiettoria e la fuga gravitazionale.