Approssimazione ed errori

Sul display della tua calcolatrice compare il numero irrazionale $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la seguente tabella sul tuo quaderno e completala eseguendo le approssimazioni indicate per quel numero:

Sei andato al supermercato a comprare gli ingredienti per una cena. I prezzi reali dei prodotti sono:

• Pasta: 1,85 €

• Passata di pomodoro: 2,15 €

• Formaggio grattugiato: 3,48 €

• Bibita: 1,25 €

1. a) Fai una stima rapida del costo totale arrotondando ogni prezzo alle unità prima di sommare.
2. b) Calcola la somma esatta dei prezzi.
3. c) Calcola la differenza (errore assoluto) tra la tua stima e il prezzo reale. Pensi che sia stata una buona stima per sapere se avevi 10 € in tasca?

Un famoso streamer ha pubblicato un video che ha esattamente 3.894.215 visualizzazioni.

1. a) Scrivi questa quantità arrotondata ai milioni.
2. b) Scrivi la quantità arrotondata alle centinaia di migliaia.
3. c) Quante cifre significative hai utilizzato nel punto b?

Marco afferma in classe di matematica che le quantità $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ hanno esattamente lo stesso numero di cifre significative perché «gli zeri non danno valore ed entrambi i numeri si riducono a 35». Inoltre, sostiene che in $0,0350\text{ m}$ lo strumento ha misurato con precisione alle unità perché non conta i decimali.

1. a) Spiega con ragionamenti i due errori concettuali che commette Marco sulla funzione degli zeri.
2. b) Indica il numero corretto di cifre significative di ciascuna delle due misure, giustificando il ruolo di ogni zero.
3. c) Se la misura $0,0350\text{ m}$ è stata ottenuta con uno strumento la cui ultima cifra indica la sensibilità della lettura, qual è il limite dell'errore assoluto (la metà dell'unità dell'ultima cifra) commesso nella misurazione?

In ambito scientifico e tecnologico è fondamentale sapere con quale precisione stiamo lavorando. Arrotonda i seguenti numeri a tre cifre significative:

1. a) Il numero di visualizzazioni di un video virale: $14\,592\,301$.
2. b) La massa di una particella di polvere: $0,00040961$ grammi.
3. c) Il numero $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacità di un disco rigido in byte: $1\,024\,576\,000$.

Poi esprimi ogni risultato usando la notazione scientifica.

Misurando la lunghezza della tua scrivania, il valore reale di fabbrica è di 120 cm. Tu usi un metro a nastro e ottieni una misura di 119 cm.

1. a) Calcola l'errore assoluto ($E_a$) commesso nella tua misurazione. Ricorda che l'errore assoluto è la differenza in valore positivo tra il valore reale e quello approssimato: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Se il tuo compagno misura il corridoio della scuola, che misura realmente 5000 cm, e ottiene 4999 cm, il suo errore assoluto è di 1 cm, uguale al tuo. Significa questo che entrambe le misurazioni hanno la stessa precisione? Motiva la tua risposta (puoi basarti sul concetto di errore relativo).

Calcola l'errore relativo commesso nelle seguenti approssimazioni e indica quale di esse è la peggiore (quella con il maggiore errore relativo):

1. a) Approssimare la frazione $\frac{1}{3}$ con $0,33$.
2. b) Approssimare il numero $\sqrt{2}$ con $1,41$.
3. c) Approssimare un preventivo di $150.000$ € con $140.000$ €.

Le bilance pesapersone digitali hanno di solito una precisione di $100$ grammi ($0,1$ kg). Questo significa che se la bilancia indica $54,2$ kg, il peso reale potrebbe essere un po' superiore o un po' inferiore, ma arrotondato a quel decimale.

1. a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali per un peso misurato di $54,2$ kg.
2. b) Qual è il limite dell'errore assoluto di questa bilancia?

Il tachimetro digitale di una bicicletta indica la velocità con un solo decimale. In un dato momento indica $24,5 \text{ km/h}$.

Sappiamo che questo apparecchio approssima per arrotondamento al decimo più vicino.

1. a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali in cui si trova la velocità esatta della bicicletta. Cioè, qual è la velocità minima e massima che potrebbe avere il ciclista perché l'apparecchio indichi 24,5?
2. b) Se il ciclista mantiene quella velocità per esattamente 2 ore, qual è la differenza massima in chilometri (limite dell'errore assoluto) tra la distanza calcolata con il valore 24,5 e la distanza reale possibile?

Calcola passo dopo passo il limite dell'errore assoluto e il limite dell'errore relativo nella seguente operazione combinata, tenendo conto dell'ordine delle operazioni.

Dati i numeri $A = 2,86$ e $B = 4,13$, approssimazioni di valori reali sconosciuti, sapendo però che entrambi sono stati arrotondati ai centesimi.

1. a) Calcola il valore di $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Ragiona: qual è il limite dell'errore assoluto del risultato $C$? (Suggerimento: pensa al valore massimo e minimo che potrebbero avere $A$ e $B$ prima di essere arrotondati).

1. c) Calcola il limite dell'errore relativo di $C$, dividendo il limite dell'errore assoluto per il valore di $C$.