Proporzionalità diretta e inversa
Marco e Sofia vanno in cartoleria. Un quaderno costa $1,50\ €$: con $2$ quaderni si spendono $3\ €$, con $4$ quaderni $6\ €$. Se invece una squadra di operai asfalta una strada, più operai ci sono e meno giorni servono. In entrambi i casi due grandezze cambiano insieme, ma in modo diverso. Come si riconosce la differenza, e come si usa per fare i conti?
Proporzionalità diretta
Due grandezze sono direttamente proporzionali se, quando una raddoppia, triplica, si dimezza…, anche l'altra raddoppia, triplica, si dimezza.
Perché? Se $x$ diventa $n$ volte più grande, $y=kx$ diventa $n$ volte più grande: il rapporto resta $k$.
Nel piano cartesiano i punti $(x; y)$ stanno su una retta passante per l'origine.
Stabilisci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali e scrivi la legge: a) numero di quaderni e spesa totale con prezzo fisso; b) velocità e tempo…
Stabilisci se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali e scrivi la legge:
- a) numero di quaderni e spesa totale con prezzo fisso;
- b) velocità e tempo per percorrere $120$ km.
La tabella riporta coppie $(x,y)$: $(2,12)$, $(3,18)$, $(5,30)$, $(8,48)$. a) Verifica che sono direttamente proporzionali. b) Trova il coefficiente di proporzionalità.…
La tabella riporta coppie $(x,y)$: $(2,12)$, $(3,18)$, $(5,30)$, $(8,48)$.
- a) Verifica che sono direttamente proporzionali.
- b) Trova il coefficiente di proporzionalità.
- c) Calcola $y$ per $x=11$.
Proporzionalità inversa
Se $5$ operai asfaltano una strada in $18$ giorni, con $10$ operai (il doppio) bastano $9$ giorni (la metà). Qui quando una grandezza raddoppia, l'altra si dimezza.
Perché? Se $x$ diventa $n$ volte più grande, $y=\frac{k}{x}$ diventa $n$ volte più piccola, così il prodotto non cambia. Il grafico è un ramo di iperbole equilatera, non una retta.
Le coppie $(x,y)$ sono inversamente proporzionali: $(2,30)$, $(3,20)$, $(5,12)$. Verifica che il prodotto è costante e trova $y$ per $x=4$.
Le coppie $(x,y)$ sono inversamente proporzionali: $(2,30)$, $(3,20)$, $(5,12)$. Verifica che il prodotto è costante e trova $y$ per $x=4$.
Con $5$ operai si asfalta una strada in $18$ giorni. a) Quanti giorni servono con $9$ operai, a pari ritmo? b) Quanti operai servono per finire in $10$ giorni?
Con $5$ operai si asfalta una strada in $18$ giorni.
- a) Quanti giorni servono con $9$ operai, a pari ritmo?
- b) Quanti operai servono per finire in $10$ giorni?
Problemi con le funzioni di proporzionalità
Molti problemi di ricette, prezzi, velocità si risolvono scrivendo la legge $y=kx$ oppure $y=k/x$ e calcolando $k$ con i dati noti.
Le leggi si possono anche scrivere con le proporzioni: se $x$ e $y$ sono direttamente proporzionali, $x_1 : x_2 = y_1 : y_2$; se sono inversamente proporzionali, $x_1 : x_2 = y_2 : y_1$.
Una ricetta per $6$ persone richiede $450\text{ g}$ di farina e $0,9\text{ L}$ di latte. a) Scrivi le funzioni che danno farina e latte in base al numero $n$ di persone.…
Una ricetta per $6$ persone richiede $450\text{ g}$ di farina e $0,9\text{ L}$ di latte.
- a) Scrivi le funzioni che danno farina e latte in base al numero $n$ di persone.
- b) Calcola le quantità per $10$ persone.
- c) Quante persone si servono con $1,35\text{ kg}$ di farina?
Ripartizioni proporzionali
Tre amici vincono $1.000\ €$ e vogliono dividerli in base a quanto hanno speso per il biglietto. Si usa un riparto proporzionale.
Riparto diretto
Per dividere una somma $S$ in parti direttamente proporzionali ai numeri $a, b, c$, la parte $x$ di chi ha $a$ è $x=k\,a$, ecc., con $k=\dfrac{S}{a+b+c}$.
Riparto inverso
Parti inversamente proporzionali a $a,b,c$ = parti direttamente proporzionali a $\frac1a,\frac1b,\frac1c$.
Tre amici, Luca, Sara e Anna, vincono $2.400\,€$ e vogliono dividerli in parti direttamente proporzionali ai biglietti acquistati: $2$, $3$ e $7$. Calcola la parte di…
Tre amici, Luca, Sara e Anna, vincono $2.400\,€$ e vogliono dividerli in parti direttamente proporzionali ai biglietti acquistati: $2$, $3$ e $7$. Calcola la parte di ciascuno.
Un'eredità di $13.500\,€$ va divisa tra tre fratelli di $10$, $12$ e $18$ anni in parti inversamente proporzionali alle età. a) Calcola la parte di ciascuno. b) Verifica…
Un'eredità di $13.500\,€$ va divisa tra tre fratelli di $10$, $12$ e $18$ anni in parti inversamente proporzionali alle età.
- a) Calcola la parte di ciascuno.
- b) Verifica che la somma è corretta e che i prodotti parte×età sono uguali.
Portate, tempi e dimostrazioni
Rubinetti. Se un rubinetto riempie un serbatoio in $T$ ore, in $1$ ora ne riempie la frazione $\frac1T$ (la portata). Tempo e portata sono inversamente proporzionali: $T\cdot\frac1T=1$ (un serbatoio). Con più rubinetti si sommano le portate; una pompa che svuota ha portata negativa.
Composizione. Se $y=ax$ e $z=\dfrac{b}{y}$, allora $z=\dfrac{b}{ax}=\dfrac{b/a}{x}$: il prodotto $xz=b/a$ è costante, quindi $z$ è inversamente proporzionale a $x$. Così si dimostra una proprietà con il calcolo letterale.
Un serbatoio è riempito da due rubinetti: il primo da solo in $6$ ore, il secondo da solo in $12$ ore. Una pompa lo svuota da sola in $9$ ore. a) Dopo quanto tempo si…
Un serbatoio è riempito da due rubinetti: il primo da solo in $6$ ore, il secondo da solo in $12$ ore. Una pompa lo svuota da sola in $9$ ore.
- a) Dopo quanto tempo si riempie con tutti e tre aperti?
- b) Spiega perché i tempi sono inversamente proporzionali alle portate.
Se $y$ è direttamente proporzionale a $x$ e $z$ è inversamente proporzionale a $y$, dimostra che $z$ è inversamente proporzionale a $x$. Se per $x=4$ si ha $y=10$ e…
Se $y$ è direttamente proporzionale a $x$ e $z$ è inversamente proporzionale a $y$, dimostra che $z$ è inversamente proporzionale a $x$. Se per $x=4$ si ha $y=10$ e $z=3$, scrivi le leggi $y(x)$ e $z(x)$ e calcola $z$ per $x=6$.
Torna all'inizio: i quaderni costano $y=1{,}5\,x$ (diretta); operai e giorni hanno prodotto costante (inversa).
In sintesi
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Diretta: $\frac yx=k$, $y=kx$; grafico: retta per l'origine.
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Inversa: $x\cdot y=k$, $y=\frac kx$; grafico: iperbole equilatera.
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Per riconoscerle: calcola rapporti (diretta) o prodotti (inversa) e controlla che siano costanti.
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Riparto diretto: $k=S/(a+b+c)$; inverso: usa i reciproci $\frac1a,\frac1b,\frac1c$.
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Rubinetti: si sommano le portate $\frac1T$, non i tempi.