Disequazioni lineari
Una palestra di Torino propone un abbonamento: 25 € di iscrizione più 18 € al mese. L'ingresso singolo costa 7 €. Quante volte devi andarci in un mese perché l'abbonamento convenga? Qui non cerchiamo un solo numero, ma tutti i numeri che rendono vera una disuguaglianza: servono le disequazioni.
Che cos'è una disequazione
Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni che contiene un'incognita, con i simboli $<$, $\le$, $>$, $\ge$. Le sue soluzioni sono i valori dell'incognita che la rendono vera, e di solito sono infinite: formano un intervallo.
Esempio: $x>2$ è vera per $3$, per $2{,}001$, per $100$, ma non per $2$ né per $-1$.
Si può scrivere la soluzione in tre modi:
| Disuguaglianza | Intervallo | Sulla retta |
|---|---|---|
| $x>2$ | $]2; +\infty[$ | pallino vuoto in 2, linea verso destra |
| $x\ge 2$ | $[2; +\infty[$ | pallino pieno in 2, linea verso destra |
| $x\le -1$ | $]-\infty; -1]$ | pallino pieno in $-1$, linea verso sinistra |
Il pallino è pieno se l'estremo è incluso ($\le$, $\ge$), vuoto se è escluso ($<$, $>$). Vicino a $\pm\infty$ la parentesi è sempre quadra rivolta all'esterno.
Risolvi e rappresenta la soluzione sulla retta reale: a) $3x-7>8$ b) $5-2x\le 11$
Risolvi e rappresenta la soluzione sulla retta reale:
- a) $3x-7>8$
- b) $5-2x\le 11$
I principi di equivalenza
Due disequazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Per risolvere si passa a disequazioni equivalenti sempre più semplici.
Perché? Da $2<5$, moltiplicando per $-1$ otteniamo $-2$ e $-5$: ma $-2>-5$. Sulla retta, cambiare segno è una simmetria rispetto allo zero e scambia destra e sinistra.
Disequazioni con parentesi e denominatori
Il procedimento è quello delle equazioni di primo grado:
-
elimina le parentesi;
-
se ci sono denominatori, moltiplica per il mcm (positivo, quindi il verso non cambia);
-
porta i termini con $x$ a sinistra e i numeri a destra;
-
riduci a $ax
-
dividi per $a$, invertendo il verso se $a<0$.
Può capitare che i termini in $x$ si annullino. Allora la disequazione diventa un confronto tra numeri:
-
$0x<3$ ossia $0<3$: sempre vera, $S=\mathbb{R}$ (identità);
-
$0x>3$ ossia $0>3$: mai vera, $S=\emptyset$ (impossibile).
Risolvi: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}<2$.
Risolvi: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x-1}{3}<2$.
Problemi e sistemi
Per tradurre un problema: scegli l'incognita, scrivi la condizione con $<$, $\le$, ecc., risolvi e controlla che le soluzioni abbiano senso nel contesto (per esempio $n$ intero e positivo).
Torniamo alla palestra. Con $n$ ingressi in un mese, l'abbonamento costa $25+18\cdot m$ euro, con $m$ il numero di mesi, e gli ingressi $7n$ euro. Nel primo mese ($m=1$) l'abbonamento conviene se $25+18<7n$, cioè $43<7n$, quindi $n>\frac{43}{7}\approx 6{,}14$: dalla settima visita in poi. Vuol dire che con 7 ingressi al mese si pagano 49 € contro 43 €.
Un sistema di disequazioni richiede che più condizioni valgano insieme: la soluzione è l'intersezione delle soluzioni.
Un abbonamento in palestra a Torino costa $25\,€$ di iscrizione più $18\,€$ al mese. Un ingresso singolo costa $7\,€$. Dopo quante visite al mese l'abbonamento conviene…
Un abbonamento in palestra a Torino costa $25\,€$ di iscrizione più $18\,€$ al mese. Un ingresso singolo costa $7\,€$. Dopo quante visite al mese l'abbonamento conviene rispetto agli ingressi, supponendo di fare $n$ ingressi in un mese e di pagare l'iscrizione una volta sola? Imposta e risolvi la disequazione per $n$.
Risolvi il sistema e scrivi la soluzione come intervallo: $$\begin{cases}2x-3>1\\ 5-x\ge 1\end{cases}$$
Risolvi il sistema e scrivi la soluzione come intervallo:
$$\begin{cases}2x-3>1\\ 5-x\ge 1\end{cases}$$Un rettangolo ha base $x+4$ cm e altezza $10$ cm. Si vuole che il perimetro sia compreso tra $50$ cm e $70$ cm (estremi inclusi). a) Imposta il sistema di disequazioni.…
Un rettangolo ha base $x+4$ cm e altezza $10$ cm. Si vuole che il perimetro sia compreso tra $50$ cm e $70$ cm (estremi inclusi).
- a) Imposta il sistema di disequazioni.
- b) Determina i valori ammissibili di $x$ (con $x>0$).
- c) Quali valori interi di $x$ sono accettabili?
Parametri e disequazioni fratte
Il segno del coefficiente
Nella disequazione letterale $kx>6$ il verso finale dipende dal segno di $k$:
-
$k>0$: $x>\dfrac{6}{k}$;
-
$k<0$: $x<\dfrac{6}{k}$ (verso invertito);
-
$k=0$: $0>6$ è falsa, $S=\emptyset$.
Per avere $x<-3$ serve $k<0$ e $\frac{6}{k}=-3$, cioè $k=-2$.
Disequazioni fratte
Per $\dfrac{2x-1}{x-3}\ge 0$ non si può moltiplicare per $x-3$, perché il suo segno cambia con $x$. Si studia il segno di numeratore e denominatore.
Determina i valori del parametro $k$ per cui la disequazione $kx>6$ ha come soluzione $x<-3$. Discuti poi la disequazione $kx>6$ al variare di $k\in\mathbb{R}$.
Determina i valori del parametro $k$ per cui la disequazione $kx>6$ ha come soluzione $x<-3$. Discuti poi la disequazione $kx>6$ al variare di $k\in\mathbb{R}$.
Risolvi la disequazione fratta $\dfrac{2x-1}{x-3}\ge 0$ studiando i segni di numeratore e denominatore, e spiega perché $x=3$ è escluso.
Risolvi la disequazione fratta $\dfrac{2x-1}{x-3}\ge 0$ studiando i segni di numeratore e denominatore, e spiega perché $x=3$ è escluso.
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