Somma e prodotto di polinomi

Completa la seguente tabella identificando gli elementi di ciascun monomio:

Dati i polinomi $P(x) = 4x^2 - 3x + 5$ e $Q(x) = x^2 + 7x - 2$, esegui le seguenti operazioni raggruppando i termini simili:

1. a) $P(x) + Q(x)$
2. b) $P(x) - Q(x)$

Uno "streamer" guadagna una parte fissa di $50$ euro per ogni diretta e, inoltre, riceve $2$ euro per ogni nuovo abbonamento ($s$) e $0,5$ euro per ogni "donazione" ($d$).

1. Scrivi l'espressione algebrica (polinomio) che rappresenta i suoi guadagni totali in un giorno.

2. Se in una diretta ottiene $20$ abbonamenti e $40$ donazioni, quanto denaro ha guadagnato in totale?

Trova il polinomio che esprime il perimetro della seguente figura geometrica (un "blocco a L" di un videogioco). Ricorda che il perimetro è la somma di tutti i suoi lati.

Esegui i seguenti prodotti di monomi, applicando le proprietà delle potenze:

1. a) $(3x^2) \cdot (4x^3) =$
2. b) $(-2a^2b) \cdot (5ab^3) =$
3. c) $(\frac{1}{2}x) \cdot (6x^5) =$

Applica la proprietà distributiva per calcolare l'area del seguente rettangolo, esprimendo il risultato come un polinomio:

Riduci le seguenti espressioni polinomiali combinando addizioni, sottrazioni e semplici prodotti:

1. a) $3 \cdot (x^2 - 2x + 1) + (4x - 5) =$
2. b) $x \cdot (x + 3) - (x^2 - 2) =$

In un negozio di abbigliamento, il prezzo di una felpa è dato dal polinomio $P(x) = 2x^2 + 10$, dove $x$ è una variabile logistica. Se compriamo $3x$ felpe:

1. Qual è il polinomio che esprime il costo totale dell'acquisto?

2. Se, per un valore di $x=2$, il prezzo di una felpa è in euro, quanto costeranno le $3x$ felpe per quello stesso valore?

Dati i polinomi $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ e $Q(x) = -x^2 + 2x - 7$, esegui le seguenti operazioni combinate e semplifica il polinomio risultante:

1. a) $2 \cdot P(x) + 3 \cdot Q(x)$
2. b) $P(x) - [Q(x) + (x^2 - 1)]$
3. c) $3x \cdot Q(x) + 5x^2$

Applica la proprietà distributiva per moltiplicare i seguenti polinomi e riduci i termini simili:

1. a) $(2x - 3) \cdot (x^2 - 4x + 1)$
2. b) $(x^2 + 2) \cdot (x^2 - 2)$
3. c) $-(x - 5) \cdot (2x + 3) + 2x^2$

Raccogli a fattor comune nelle seguenti espressioni algebriche per trasformarle in un prodotto di un monomio per un polinomio:

1. a) $15x^4 - 10x^3 + 5x^2$
2. b) $3a^2b - 6ab^2 + 9ab$
3. c) $2x(x+1) - 3(x+1)$

Lucia deve sviluppare l'espressione $(3x - 5)^2$ in una verifica e scrive sul suo foglio:

1. a) Individua e spiega con ragionamento i due errori concettuali commessi da Lucia nell'applicare i prodotti notevoli.
2. b) Sviluppa correttamente l'espressione applicando passo passo la formula del quadrato di un binomio (differenza).
3. c) Verifica numericamente il tuo risultato rispetto a quello di Lucia sostituendo il valore $x = 2$ nell'espressione iniziale $(3x - 5)^2$, nel risultato sbagliato di Lucia e nel tuo polinomio finale semplificato. Quale conclusione ne trai?

Per semplificare l'espressione $(2x + 7)\cdot(2x - 7)$, due compagni di classe propongono di risolverla in modi diversi:

• Davide propone: «Moltiplico termine a termine con la proprietà distributiva: $2x \cdot 2x + 2x \cdot (-7) + 7 \cdot 2x + 7 \cdot (-7)$, e poi raggruppo i termini simili».

• Sara afferma: «Trattandosi di una somma per differenza, posso applicare direttamente il prodotto notevole $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, scrivendo direttamente $(2x)^2 - 7^2$».

1. a) Applica entrambi i procedimenti passo passo e verifica se portano allo stesso polinomio risultante.
2. b) Giustifica quale delle due strategie è più efficiente e spiega quali termini si annullano sempre e perché quando moltiplichiamo la somma di due termini per la loro differenza.

Calcola il polinomio risultante della seguente espressione utilizzando i prodotti notevoli (quadrato di un binomio somma, quadrato di un binomio differenza e somma per differenza):

$A(x) = (2x + 3)^2 - (2x - 3)^2 + (x + 4) \cdot (x - 4)$

Semplifica al massimo il risultato finale.

Si vuole dimostrare la seguente proprietà matematica generale: «La differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi è sempre un multiplo di $8$». In classe si discutono tre diversi approcci metodologici:

• Alba dice: «Basta provare alcuni esempi: $3^2 - 1^2 = 8$, $5^2 - 3^2 = 16$, $7^2 - 5^2 = 24$. Poiché in tutti i casi viene un multiplo di $8$, la proprietà è dimostrata».

• Bruno propone: «Scriviamo due dispari consecutivi generici come $(2n + 3)$ e $(2n + 1)$, con $n$ un qualsiasi numero intero, e sviluppiamo algebricamente la differenza dei loro quadrati: $(2n + 3)^2 - (2n + 1)^2$».

• Clara suggerisce: «Invece di sviluppare ciascun quadrato, usiamo il prodotto notevole di somma per differenza in senso inverso sull'espressione di Bruno: $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$, chiamando $A = 2n + 3$ e $B = 2n + 1$».

1. a) Spiega perché il metodo induttivo di Alba non costituisce una dimostrazione matematica valida per tutti gli infiniti numeri dispari.
2. b) Sviluppa il metodo di Bruno applicando le formule dei prodotti notevoli, riduci i termini simili e raccogli a fattor comune per dimostrare che il risultato è necessariamente divisibile per $8$.
3. c) Sviluppa il metodo proposto da Clara e confronta i due percorsi algebrici: stabilisci quale dei due richiede meno passaggi di calcolo e spiega i vantaggi di trasformare una differenza di quadrati in un prodotto.

Determina il valore del coefficiente $k$ affinché valga la seguente uguaglianza tra polinomi:

$(x + 3) \cdot (2x - 5) = 2x^2 + kx - 15$

Dopo aver trovato $k$, esegui il prodotto $(x + 3) \cdot (2x - 5) \cdot (x + 1)$ e scrivi il polinomio risultante in forma decrescente secondo i suoi gradi.

Dati i polinomi $P(x) = 2x^2 - ax + 5$ e $Q(x) = bx^2 + 3x - c$, determina i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$ sapendo che sommandoli si ottiene il polinomio identità $S(x) = 5x^2 + x + 2$. Giustifica la risposta confrontando i coefficienti dei termini dello stesso grado.

Si sa che sviluppando e riducendo l'espressione polinomiale $A(x) = (ax + 3)^2 - (bx - 1)(bx + 1) + c$, dove $a$, $b$ e $c$ sono numeri interi positivi, si ottiene esattamente il polinomio $R(x) = 7x^2 + 24x + 15$.

1. a) Sviluppa algebricamente l'espressione di $A(x)$ in funzione delle lettere $a$, $b$ e $c$, raggruppando chiaramente i monomi risultanti secondo il grado ($x^2$, $x$ e termine noto).
2. b) Imposta le uguaglianze che devono valere tra i coefficienti di $A(x)$ e quelli di $R(x)$, e deduci in modo giustificato i valori esatti di $a$, $b$ e $c$.
3. c) Se si eliminasse la condizione che $b$ debba essere un numero positivo e si permettesse che fosse un qualsiasi numero intero, esisterebbe un altro valore valido per $b$? Giustifica la risposta analizzando algebricamente che cosa succede al prodotto $(bx - 1)(bx + 1)$ se sostituisci $b$ con il suo opposto $-b$.

Un'azienda che produce tablet ha progettato un nuovo modello il cui schermo ha le dimensioni mostrate nella figura seguente. Il bordo esterno (cornice) ha una larghezza costante di $2$ cm su tutti i lati.

1. a) Esprimi mediante un polinomio l'area totale del tablet (compresa la cornice).
2. b) Determina il polinomio che rappresenta l'area del solo schermo (zona colorata).
3. c) Calcola il polinomio che rappresenta l'area della cornice del tablet.

Nello store di applicazioni "AppZ", i ricavi mensili dalla vendita di un abbonamento premium sono dati dal polinomio $I(x) = 10x^2 + 50x$, dove $x$ è il numero di mesi dal lancio. D'altra parte, le spese di manutenzione si esprimono come $G(x) = 2x^2 - 10x + 100$.

1. a) Trova il polinomio $B(x)$ che rappresenta gli utili netti dell'azienda ($Beneficio = Ingresos - Gastos$).
2. b) Se l'azienda decide di investire in pubblicità un extra pari al prodotto di $(x + 5) \cdot (x - 2)$, che rappresenta una spesa aggiuntiva, quale sarebbe il nuovo polinomio degli utili totali?

Calcola il perimetro della seguente figura geometrica in funzione della variabile $x$, esprimendo il risultato come un polinomio ridotto.

In un progetto comunale di orti comunitari, un'associazione di quartiere dispone di un appezzamento rettangolare le cui dimensioni sono $(2x + 3)$ metri di lunghezza e $(x + 5)$ metri di larghezza. Per ottimizzare lo spazio, il comune autorizza ad aggiungere su uno dei lati una zona rettangolare coperta per compostaggio e attrezzi, larga $(x - 1)$ metri e con la stessa lunghezza, $(2x + 3)$ metri.

1. a) Scrivi il polinomio ridotto $A_T(x)$ che rappresenta la superficie totale occupata dall'orto e dalla nuova zona coperta insieme.
2. b) Determina l'espressione algebrica semplificata del polinomio $D(x)$ che indica di quanti metri quadrati l'area dell'orto originale supera quella della zona di compostaggio.
3. c) Se le misure della normativa urbanistica corrispondono a $x = 4\text{ m}$, calcola numericamente l'area totale dell'impianto e determina quale percentuale di tale superficie totale rappresenta la zona di compostaggio.

Considera la seguente operazione combinata tra polinomi: $P(x) = (3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4) - (x^3 + 1)^2$.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico per iscritto, rispondi a queste domande motivando la tua previsione:

1. Quale deve essere il grado del prodotto $(3x^2 - 2)\cdot(2x^3 + 5x - 4)$ e il coefficiente del suo termine di grado massimo?

2. Quale deve essere il grado dello sviluppo di $(x^3 + 1)^2$?

3. Sottraendo le due espressioni, i monomi di grado maggiore si annulleranno oppure quale prevedi che sia il grado finale del polinomio $P(x)$?

4. Qual è il termine noto di $P(x)$ analizzando soltanto i numeri senza $x$ di ciascuna parte?

1. b) Esegui ora il prodotto, lo sviluppo del quadrato della somma e la sottrazione, raggruppando i termini simili per ottenere la forma ridotta di $P(x)$.
2. c) Confronta il tuo polinomio finale con le quattro stime che hai fatto nel punto a) e verifica se le tue deduzioni precedenti erano corrette.

In un festival musicale, l'incasso totale dipende dal numero di abbonamenti venduti, rappresentato dalla variabile $x$. Sono state determinate le seguenti funzioni polinomiali:

• Ricavi dai biglietti: $I(x) = 3x^2 + 50x - 100$

• Spese di logistica e sicurezza: $G(x) = 2x^2 - 15x + 500$

• Spese di marketing: $M(x) = 10x + 1200$

Se l'utile netto del festival si calcola sottraendo tutte le spese dai ricavi, ottieni il polinomio semplificato $B(x)$ che rappresenta l'utile. Una volta ottenuto, calcola l'utile effettivo se si vendono $x = 100$ abbonamenti.

Uno studio di architettura progetta una piazza rettangolare che contiene una fontana centrale circolare e una zona a verde. L'area totale della piazza è definita dal prodotto della sua base $b(x) = 3x + 5$ e della sua altezza $h(x) = 2x - 1$. Se l'area della fontana è data dal polinomio $F(x) = x^2 + 2x + 1$, ottieni il polinomio che rappresenta l'area della zona a verde (lo spazio restante della piazza).

Considera due polinomi qualsiasi, $A(x)$ di grado $n$ e $B(x)$ di grado $m$. Se sappiamo che il grado del prodotto $A(x) \cdot B(x)$ è $7$ e che il grado dell'espressione $(A(x) + B(x))^2$ è $8$, quali sono i gradi di $A(x)$ e di $B(x)$? Motiva la risposta basandoti sulle proprietà del grado della somma e del prodotto di polinomi.

Esegui la seguente operazione combinata e semplifica al massimo il risultato, ordinando il polinomio in forma decrescente secondo il grado:

Fai particolare attenzione allo sviluppo del prodotto notevole e al segno negativo che precede la parentesi quadra.

Un'azienda di spedizioni utilizza scatole le cui dimensioni (in cm) sono in progressione aritmetica e dipendono da una variabile $x$:

• Larghezza: $x - 2$

• Lunghezza: $x + 1$

• Altezza: $x + 4$

Trova il polinomio $V(x)$ che esprime il volume della scatola. Poi trova il polinomio $S(x)$ che rappresenta l'area totale delle sei facce della scatola. Semplifica entrambe le espressioni.

Trova il polinomio $P(x)$ di secondo grado che soddisfi contemporaneamente le seguenti tre condizioni:

1. Il suo coefficiente del termine di grado massimo è $3$.

2. Non ha termine noto.

3. Moltiplicandolo per il binomio $(x - 2)$, il coefficiente del termine di grado $2$ del prodotto risultante è uguale a $-4$.

Sviluppa e semplifica la seguente espressione che coinvolge tre variabili distinte ($x$, $y$, $z$). Questo tipo di espressioni è comune nelle formule di fisica e nei modelli di dati:

Rappresenta il risultato finale come un polinomio ridotto. Cosa osservi riguardo ai termini misti (come $xy$ o $xz$)?