Equazioni di primo grado

In matematica è fondamentale distinguere tra un'espressione algebrica e un'equazione. Osserva il seguente elenco e individua quali sono equazioni di primo grado. Per quelle che lo sono, indica qual è il loro primo membro e qual è la loro incognita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Verificare se un numero è soluzione di un'equazione consiste nel sostituire l'incognita e vedere se l'uguaglianza è soddisfatta. Dato il seguente insieme di valori: $\{-2, 0, 3\}$, indica motivando quale di essi è la soluzione dell'equazione:

$5x - (x + 4) = 8$

Risolvi le seguenti equazioni di base utilizzando il trasporto dei termini (ciò che è sommato passa sottraendo e viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

Una bilancia è in equilibrio. Sul piatto di sinistra ci sono $3$ scatole uguali (di peso $x$) e un peso da $2$ kg. Sul piatto di destra c'è un peso da $14$ kg.

Imposta l'equazione che rappresenta questo equilibrio e calcola quanto pesa ogni scatola.

Risolvi queste equazioni di primo grado eliminando prima le parentesi. Ricorda di applicare con attenzione la proprietà distributiva:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Luca ha provato a risolvere l'equazione $5 - 2(x - 3) = 1$ sul suo quaderno e ha consegnato il seguente svolgimento:

Passaggio 1: $5 - 2x - 6 = 1$

Passaggio 2: $-1 - 2x = 1$

Passaggio 3: $-2x = 2$

Passaggio 4: $x = \frac{2}{-2} = -1$

Individua in quale passaggio ha commesso l'errore, spiega con parole tue quale proprietà o regola algebrica ha applicato in modo scorretto e risolvi correttamente l'equazione sul tuo quaderno, verificando la soluzione finale ottenuta sostituendola nell'uguaglianza iniziale.

Risolvi la seguente equazione di primo grado assicurandoti di semplificare tutti i termini e di prestare attenzione ai cambi di segno davanti alle frazioni:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

Risolvi la seguente equazione di primo grado con coefficienti frazionari e termini annidati. Presta molta attenzione alla gestione dei segni negativi davanti alle frazioni:

$$\frac{2(x-5)}{3} - \frac{3x - \frac{x+1}{2}}{5} = \frac{x-1}{6} - \frac{7}{10}$$

Data l'equazione con un coefficiente sconosciuto $k$:

$$\frac{k \cdot x}{3} - 4 = \frac{x + 2}{2}$$

Calcola il valore che deve avere $k$ affinché la soluzione dell'equazione sia $x = 6$. Una volta trovato $k$, verifica che l'uguaglianza sia soddisfatta sostituendo entrambi i valori nell'equazione originale.

Vogliamo costruire un'equazione di primo grado della forma $3x - k = 2(x + 1)$ per un'attività in classe, in modo che la sua soluzione sia esattamente $x = 5$.

1. a) Trova quale valore numerico deve avere la costante sconosciuta $k$ affinché sia soddisfatta tale condizione.
2. b) Ora crea tu un'equazione di primo grado diversa che contenga almeno due denominatori differenti (per esempio, con $2$ e con $3$) e la cui unica soluzione sia anch'essa $x = 5$. Dimostra che è corretta risolvendola passo per passo.

Trova il valore del lato $x$ nel seguente rettangolo sapendo che il suo perimetro totale è di $34$ cm.

Considera la seguente equazione di primo grado: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Per risolverla esistono due strade chiare:

• Strada A: applicare la proprietà distributiva nel primo membro eliminando le parentesi, ridurre i termini simili e ricavare l'incognita $x$.

• Strada B: raccogliere a fattor comune il binomio $(x - 4)$ nel primo membro, operare sui coefficienti e ricavare l'incognita.

Risolvi l'equazione seguendo entrambi i procedimenti passo per passo. Poi confronta i due metodi e giustifica quale ritieni più veloce e con minor rischio di errori di segno.

Nelle equazioni letterali dobbiamo saper ricavare una variabile in funzione delle altre. Ricava la variabile $x$ nella seguente uguaglianza, supponendo che tutti i parametri $a, b, c$ e $d$ siano noti e diversi da zero, con $a \neq d$:

$$a(x + b) - c = d(x - a)$$

Esprimi il risultato finale come un'unica frazione.

Analizza la seguente equazione di primo grado in cui le lettere $a$ e $b$ rappresentano coefficienti costanti sconosciuti e $x$ è l'incognita:

$$a(2x - 1) + 4x = 6x + b$$

1. a) Sviluppa e riduci entrambi i membri per scrivere l'equazione in forma canonica $A \cdot x = B$, esprimendo $A$ e $B$ in funzione di $a$ e $b$.
2. b) Determina quali valori concreti devono assumere $a$ e $b$ affinché l'equazione abbia infinite soluzioni (sia un'identità). Giustifica la tua deduzione basandoti sull'espressione $0x = 0$.
3. c) Determina quali condizioni devono soddisfare $a$ e $b$ affinché l'equazione non abbia soluzione (sia un'equazione impossibile, $0x = B$ con $B \neq 0$).
4. d) Se fissiamo il valore $b = 5$, trova quale valore esatto deve avere $a$ affinché l'unica soluzione dell'equazione sia $x = 2$, e verificalo sostituendo nell'equazione originale.