Scomposizione in fattori e regola di Ruffini

Raccogli a fattor comune nel seguente polinomio, semplificando al massimo l'espressione:

$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$

Scomponi in fattori i seguenti polinomi riconoscendo in essi lo sviluppo di prodotti notevoli (quadrato di un binomio, somma per differenza):

1. a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
2. b) $B(x) = 9x^2 - 16$

Per scomporre in fattori il polinomio $Q(x) = 3x^4 - 12x^2$, due compagni di classe propongono due strategie diverse:

• Strategia di Alba: Cercare i divisori interi del termine noto e applicare successivamente la regola di Ruffini.

• Strategia di Bruno: Raccogliere prima il massimo fattore comune possibile e, poi, applicare i prodotti notevoli.

1. a) Spiega quale ostacolo insormontabile incontra Alba se prova ad applicare la sua strategia così come l'ha formulata.
2. b) Giustifica perché la proposta di Bruno è più rapida, sicura e adatta a questo tipo di polinomi.
3. c) Applica il metodo di Bruno per scomporre completamente $Q(x)$, deducendo tutte le sue radici reali e la molteplicità di ciascuna.

Un serbatoio d'acqua ha la forma di un prisma rettangolare. Il suo volume in funzione di una misura $x$ è dato dal polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Se l'altezza del serbatoio è esattamente $x$, scomponi in fattori il polinomio per trovare le espressioni algebriche che corrispondono alle dimensioni della sua base rettangolare.

Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per il binomio $(x - 2)$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente e qual è il resto della divisione.

Sapendo che $x = 1$ è una delle radici del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilizza la regola di Ruffini per scomporlo in fattori e trovare le altre due radici.

Esegui la divisione del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ per il binomio $(2x - 3)$. Suggerimento: Puoi usare la regola di Ruffini dividendo per $(x - \frac{3}{2})$ e aggiustando poi il quoziente ottenuto.

Senza eseguire la divisione, utilizza il teorema del resto per calcolare il resto che si ottiene dividendo il polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ per $(x + 1)$.

Utilizza il teorema del fattore per verificare se $x = 3$ è una radice del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Giustifica la tua risposta mostrando i calcoli.

Matteo deve determinare se il binomio $(x + 2)$ è un fattore del polinomio $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Per verificarlo, decide di applicare la regola di Ruffini e scrive nella riga superiore della sua tabella soltanto i numeri $1$, $-3$ e $2$. Nella casella laterale a sinistra colloca il valore $-2$. Dopo aver operato, ottiene un resto diverso da zero e afferma: «Poiché il resto non è nullo, $(x + 2)$ non divide il polinomio e, quindi, non è un fattore».

1. a) Individua i due errori commessi da Matteo (uno di procedimento nel preparare la tabella e uno nella sua conclusione).
2. b) Spiega perché è indispensabile inserire uno zero al posto dei termini mancanti quando si applica questo metodo.
3. c) Esegui la divisione in modo corretto utilizzando la regola di Ruffini e determina in modo motivato se $(x + 2)$ è in realtà un fattore di $P(x)$, indicando il quoziente ottenuto.

Trova il valore del parametro $k$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dia resto $10$ quando viene diviso per $(x - 2)$.

Si vuole scomporre in fattori il polinomio $P(x) = x^3 + 4x^2 - 11x - 30$.

1. a) Elenca tutti i candidati radici intere a partire dai divisori del termine noto.
2. b) Stima prima di calcolare: Osserva i candidati di maggior valore assoluto ($\pm 15$ e $\pm 30$). Senza applicare la regola di Ruffini, confronta mentalmente la grandezza di $x^3$ con la somma degli altri termini e spiega perché è estremamente improbabile che numeri così lontani dall'origine siano radici di questo polinomio. In quale intervallo ti aspetteresti di trovare le radici?
3. c) Utilizza il teorema del resto valutando solo i candidati più vicini a zero ($\pm 1, \pm 2, \pm 3$) per trovare una prima radice senza dover tracciare inutili tabelle di Ruffini.
4. d) Completa la scomposizione di $P(x)$ mediante la regola di Ruffini a partire dalla radice trovata, indica tutte le radici reali e rifletti su come la stima iniziale permetta di risparmiare calcoli infruttuosi.

Si sa che il polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ ha almeno una radice intera. Verifica mediante il teorema del resto o la regola di Ruffini che $x = 2$ è una delle sue radici. Poi scomponi completamente in fattori il polinomio per trovare le sue altre due radici (una delle quali è una frazione).

Un gruppo di ingegneri analizza la distribuzione delle tensioni in una trave di metallo, modellizzata dal polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Trova tutte le radici del polinomio per determinare i punti esatti in cui la tensione è nulla.

Dato il polinomio già scomposto $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica direttamente quali sono tutte le sue radici e specifica la molteplicità di ciascuna (se sono semplici, doppie, ecc.).

Costruisci un polinomio di grado 3 che abbia come radici $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ e $x_3 = 4$ e il cui coefficiente direttivo sia $1$. Esprimi il risultato finale in forma sviluppata (eseguendo i prodotti dei fattori).

Scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Per farlo, raccogli prima il fattore comune e poi trova le radici del polinomio risultante.

Scomponi completamente in fattori il polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Tieni presente che può contenere radici multiple. Indica chiaramente quali sono le sue radici e la molteplicità di ciascuna.