Insiemi e logica
In una classe prima, 28 studenti: alcuni studiano il tedesco, altri il francese, qualcuno entrambe le lingue, qualcuno nessuna. Se sommi chi studia il tedesco e chi studia il francese, ottieni più di 28: perché? In questa pagina impari a descrivere gruppi di oggetti con gli insiemi e a ragionare con precisione con la logica, così sai rispondere a domande come questa.
Che cos'è un insieme
Un insieme è una collezione di oggetti ben distinti, detti elementi, e deve essere sempre chiaro se un oggetto vi appartiene oppure no. «I numeri pari minori di 10» è un insieme; «i numeri belli» no.
Ci sono due modi per descrivere un insieme.
-
Per elencazione: scrivi gli elementi tra graffe, $A=\{2,4,6,8\}$. L'ordine e le ripetizioni non contano.
-
Per caratteristica: scrivi la proprietà che li identifica, $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è pari e } x<10, x\neq 0\}$. Si legge «l'insieme degli $x$ naturali tali che…».
Gli insiemi numerici che già conosci sono $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi: a) $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è multiplo di } 3 \text{ e } x<20\}$ b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x<2\}$ c)…
Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:
- a) $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è multiplo di } 3 \text{ e } x<20\}$
- b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x<2\}$
- c) $C=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è un divisore di } 18\}$
Operazioni tra insiemi
Dati due insiemi $A$ e $B$ in un insieme universo $U$:
| Operazione | Simbolo | Elementi |
|---|---|---|
| Unione | $A\cup B$ | stanno in $A$ o in $B$ (o in entrambi) |
| Intersezione | $A\cap B$ | stanno in $A$ e in $B$ |
| Differenza | $A\setminus B$ | stanno in $A$ ma non in $B$ |
| Complementare | $\overline{A}$ | stanno in $U$ ma non in $A$ |
Due insiemi con intersezione vuota si dicono disgiunti.
Le leggi di De Morgan
$$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$Il perché: un elemento non sta in $A\cup B$ quando non sta in $A$ e non sta in $B$.
Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{4,5,6,7,8\}$, determina: a) $A\cup B$ b) $A\cap B$ c) $A\setminus B$ d) $B\setminus A$
Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{4,5,6,7,8\}$, determina:
- a) $A\cup B$
- b) $A\cap B$
- c) $A\setminus B$
- d) $B\setminus A$
Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$, $A$ l'insieme dei multipli di $2$, $B$ l'insieme dei multipli di $3$. Determina: a) $A\cap B$ b) $\overline{A\cup B}$ (complementare in $U$) c)…
Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$, $A$ l'insieme dei multipli di $2$, $B$ l'insieme dei multipli di $3$. Determina:
- a) $A\cap B$
- b) $\overline{A\cup B}$ (complementare in $U$)
- c) $\overline{A}\cap\overline{B}$ e verifica la legge di De Morgan.
Dimostra, con un diagramma di Venn o con l'appartenenza degli elementi, che $A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$. Verifica poi con $A=\{1,\dots,10\}$,…
Dimostra, con un diagramma di Venn o con l'appartenenza degli elementi, che $A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$. Verifica poi con $A=\{1,\dots,10\}$, $B=\{2,4,6,8,10\}$, $C=\{3,6,9\}$.
Contare con i diagrammi di Venn
Torniamo alla classe: sommando i due gruppi si contano due volte quelli che studiano entrambe le lingue. Vale la formula
$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$dove $|A|$ è il numero di elementi di $A$.
Per tre insiemi si parte dal centro: prima l'intersezione di tutti e tre, poi le intersezioni a due tolto il centro, poi chi sta in un solo insieme.
In una classe prima del liceo di Padova di $28$ studenti, $17$ studiano il tedesco, $14$ il francese e $5$ nessuna delle due lingue. a) Quanti studenti studiano entrambe…
In una classe prima del liceo di Padova di $28$ studenti, $17$ studiano il tedesco, $14$ il francese e $5$ nessuna delle due lingue.
- a) Quanti studenti studiano entrambe le lingue?
- b) Quanti studiano solo tedesco?
Su $120$ turisti a Napoli: $70$ hanno visitato Pompei, $60$ Capri, $50$ il Vesuvio; $30$ Pompei e Capri, $25$ Pompei e Vesuvio, $20$ Capri e Vesuvio; $10$ tutte e tre.…
Su $120$ turisti a Napoli: $70$ hanno visitato Pompei, $60$ Capri, $50$ il Vesuvio; $30$ Pompei e Capri, $25$ Pompei e Vesuvio, $20$ Capri e Vesuvio; $10$ tutte e tre.
- a) Quanti hanno visitato almeno una meta?
- b) Quanti nessuna?
- c) Quanti esattamente una?
Proposizioni, quantificatori e negazioni
Una proposizione è un'affermazione di cui si può dire con certezza se è vera o falsa: «7 è un divisore di 52» (falsa, perché $52=7\cdot7+3$).
I quantificatori dicono quanti elementi soddisfano una proprietà:
-
$\forall$ «per ogni»: «tutti»;
-
$\exists$ «esiste almeno un»: «qualcuno».
La negazione $\neg p$ scambia vero e falso. Con i quantificatori cambia anche il quantificatore:
| Proposizione | Negazione |
|---|---|
| $\forall x,\ p(x)$ | $\exists x:\ \neg p(x)$ |
| $\exists x:\ p(x)$ | $\forall x,\ \neg p(x)$ |
Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni e stabilisci quali sono vere: a) «Tutti i numeri primi sono dispari.» b) «Esiste un numero naturale pari che è primo.» c)…
Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni e stabilisci quali sono vere:
- a) «Tutti i numeri primi sono dispari.»
- b) «Esiste un numero naturale pari che è primo.»
- c) «$7$ è un divisore di $52$.»
Implicazioni e dimostrazioni
L'implicazione «se $p$, allora $q$» si scrive $p\Rightarrow q$. Da essa si costruiscono altre due frasi:
-
inversa: $q\Rightarrow p$;
-
contronominale: $\neg q\Rightarrow\neg p$.
La contronominale è sempre equivalente all'implicazione di partenza; l'inversa in generale no.
Un solo controesempio basta a mostrare che una proposizione con «per ogni» è falsa. Invece nessuna quantità di casi verificati la dimostra: serve un ragionamento valido per tutti.
Considera l'implicazione: «Se un numero è divisibile per $6$, allora è divisibile per $3$.» a) Scrivi l'inversa e la contronominale. b) Stabilisci quali delle tre…
Considera l'implicazione: «Se un numero è divisibile per $6$, allora è divisibile per $3$.»
- a) Scrivi l'inversa e la contronominale.
- b) Stabilisci quali delle tre implicazioni sono vere, con un controesempio dove serve.
Considera la proposizione: «Per ogni numero naturale $n$, $n^2+n+11$ è primo.» a) Scrivi la sua negazione usando il quantificatore esistenziale. b) Trova un…
Considera la proposizione: «Per ogni numero naturale $n$, $n^2+n+11$ è primo.»
- a) Scrivi la sua negazione usando il quantificatore esistenziale.
- b) Trova un controesempio e stabilisci se la proposizione è vera.
- c) Spiega la differenza tra verificare molti casi e dimostrare.
Torna all'inizio: sommando tedesco e francese si contano due volte gli studenti che studiano entrambe le lingue, e per questo bisogna sottrarre l'intersezione.
In sintesi
-
Un insieme si descrive per elencazione o per caratteristica; $\in$ indica l'appartenenza, $\subseteq$ l'inclusione.
-
$A\cup B$ («o»), $A\cap B$ («e»), $A\setminus B$, $\overline{A}$; De Morgan: $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$.
-
$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$; con tre insiemi si parte dal centro.
-
Negare $\forall$ dà $\exists$ e viceversa.
-
Contronominale equivalente all'implicazione, inversa no; un controesempio smentisce, molti casi non dimostrano.