Operazioni con i polinomi
Hai mai provato a calcolare l'area del prato di un giardino con una fontana al centro, senza conoscere ancora le misure esatte? Con i polinomi puoi scrivere una formula valida per ogni valore di $x$. In questa pagina impari a calcolare il valore di un polinomio, a sommare, sottrarre e moltiplicare polinomi, a dividerli e a usare queste operazioni nei problemi.
Valore numerico, somma e differenza
Il valore numerico di un polinomio $P(x)$ per $x = a$ si ottiene sostituendo $a$ al posto di $x$ ed eseguendo i calcoli. Per sommare o sottrarre polinomi si eliminano le parentesi (attenzione al segno meno davanti!) e si sommano i termini simili.
Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ per $x = -2$ e per $x = 1$.
Calcola il valore numerico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ per $x = -2$ e per $x = 1$.
Dati i polinomi $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcola l'espressione risultante dell'operazione $2 \cdot A(x) - B(x)$.
Dati i polinomi $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ e $B(x) = -x^2 + 4x - 6$, calcola l'espressione risultante dell'operazione $2 \cdot A(x) - B(x)$.
L'altezza in metri di una palla lanciata verticalmente in funzione del tempo in secondi è data dal polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una seconda palla, lanciata da un…
L'altezza in metri di una palla lanciata verticalmente in funzione del tempo in secondi è data dal polinomio $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Una seconda palla, lanciata da un altro punto, segue una traiettoria descritta da $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.
Trova il polinomio $D(t)$ che rappresenta la differenza di altezza tra la prima e la seconda palla ($D(t) = H(t) - G(t)$). In quale istante $t$ le due palle si trovano alla stessa altezza?
Prodotti e prodotti notevoli
Per moltiplicare due polinomi si moltiplica ogni termine del primo per ogni termine del secondo, poi si riducono i termini simili. Alcuni prodotti si ripetono spesso e conviene ricordarli:
Il perché: nel quadrato $(A+B)^2$ l'area del quadrato di lato $A+B$ si divide in due quadrati ($A^2$, $B^2$) e due rettangoli ($AB$ ciascuno). Per il cubo, un cubo di spigolo $A+B$ si divide in un cubo $A^3$, un cubo $B^3$, tre parallelepipedi $A^2B$ e tre parallelepipedi $AB^2$.
Moltiplica i polinomi $P(x) = x^2 - 3x + 2$ e $Q(x) = 2x - 5$. Esprimi il risultato ordinato dal grado maggiore al minore.
Moltiplica i polinomi $P(x) = x^2 - 3x + 2$ e $Q(x) = 2x - 5$. Esprimi il risultato ordinato dal grado maggiore al minore.
Sviluppa le seguenti espressioni applicando i prodotti notevoli corrispondenti: a) $(3x + 4)^2$ b) $(2x - 5)^2$
Sviluppa le seguenti espressioni applicando i prodotti notevoli corrispondenti:
- a) $(3x + 4)^2$
- b) $(2x - 5)^2$
Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica: $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.
Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, prestando particolare attenzione ai segni e ai prodotti notevoli:…
Esegui le operazioni e semplifica al massimo la seguente espressione algebrica, prestando particolare attenzione ai segni e ai prodotti notevoli:
$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$
Divisione, Ruffini e teorema del resto
Come per i numeri interi $a = b \cdot q + r$, anche per i polinomi vale $A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)$, con grado di $R$ minore del grado di $B$.
Quando il divisore ha grado 2 si esegue la divisione lunga: si divide il termine di grado massimo del dividendo per quello del divisore, si moltiplica il risultato per tutto il divisore, si sottrae e si ripete finché il resto ha grado minore del divisore.
Per dividere per $x - a$ puoi usare la regola di Ruffini (la teoria completa è in POL-DIV e POL-FAC): scrivi i coefficienti con $0$ per i termini mancanti, abbassa il primo, poi moltiplica per $a$ e somma, passo dopo passo. L'ultimo numero è il resto, gli altri sono i coefficienti del quoziente.
Il teorema del resto dice che il resto della divisione di $P(x)$ per $x - a$ è $P(a)$. Se $P(a) = 0$, allora $x - a$ è un fattore di $P(x)$ (teorema di Ruffini).
Di conseguenza, se un polinomio di grado 3 ha come zeri distinti $a$, $b$, $c$, si scrive come $P(x) = k(x - a)(x - b)(x - c)$, dove $k$ è il coefficiente direttivo.
Esegui la divisione del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ per il binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente $C(x)$ e il…
Esegui la divisione del polinomio $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ per il binomio $d(x) = x^2 + 2$. Indica chiaramente qual è il polinomio quoziente $C(x)$ e il polinomio resto $R(x)$.
Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per $(x - 2)$. Scrivi il quoziente e il resto ottenuti.
Applica la regola di Ruffini per dividere il polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ per $(x - 2)$. Scrivi il quoziente e il resto ottenuti.
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ per il binomio $(x + 2)$ abbia resto uguale a $10$. Utilizza il…
Calcola il valore del parametro $k$ affinché la divisione del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ per il binomio $(x + 2)$ abbia resto uguale a $10$. Utilizza il teorema del resto per giustificare la risposta.
Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sia esattamente divisibile per $(x - 2)$ e, allo stesso tempo, dia resto $-12$…
Trova i valori dei parametri $a$ e $b$ affinché il polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ sia esattamente divisibile per $(x - 2)$ e, allo stesso tempo, dia resto $-12$ se diviso per $(x + 1)$.
Applicazioni
I polinomi descrivono aree, volumi e guadagni: scrivi la formula con le misure in $x$, poi sviluppa e riduci. Il guadagno è ricavi meno costi.
Per scomporre un risultato puoi usare il raccoglimento a fattor comune: se ogni termine contiene lo stesso fattore, lo scrivi fuori dalla parentesi e dividi ogni termine per esso (la teoria completa è in POL-FAC).
Un giardino rettangolare ha dimensioni di $(2x + 5)$ metri di lunghezza e $(2x - 5)$ metri di larghezza. Al suo interno verrà costruita una fontana quadrata di lato…
Un giardino rettangolare ha dimensioni di $(2x + 5)$ metri di lunghezza e $(2x - 5)$ metri di larghezza. Al suo interno verrà costruita una fontana quadrata di lato $(x - 1)$ metri, e il resto sarà ricoperto di prato. Esprimi l'area della zona a prato come polinomio semplificato in $x$.
Il costo di produzione di $x$ unità di un dispositivo elettronico è dato dal polinomio $C(x) = 50x + 200$. Il prezzo di vendita al pubblico di ciascuna unità dipende…
Il costo di produzione di $x$ unità di un dispositivo elettronico è dato dal polinomio $C(x) = 50x + 200$. Il prezzo di vendita al pubblico di ciascuna unità dipende dalla quantità prodotta e segue l'espressione $p(x) = 300 - 2x$.
Trova il polinomio guadagno $B(x)$, sapendo che il guadagno è uguale ai ricavi totali (quantità per prezzo) meno i costi totali. Qual è il guadagno se si producono e vendono $40$ unità?
Una startup stima che i suoi ricavi mensili seguano il polinomio $I(x) = -2x^3 + 75x^2$ e che i suoi costi di gestione siano $C(x) = 15x^2 + 400x$, dove $x$ è il numero…
Una startup stima che i suoi ricavi mensili seguano il polinomio $I(x) = -2x^3 + 75x^2$ e che i suoi costi di gestione siano $C(x) = 15x^2 + 400x$, dove $x$ è il numero di mesi trascorsi dalla sua nascita.
Trova il polinomio del guadagno $B(x)$. Sapendo che nel mese $x = 10$ il guadagno è esattamente zero (punto di pareggio), scomponi in fattori il polinomio $B(x)$ per determinare in quale altro mese il guadagno torna a essere zero.