Numeri relativi
Sul Monte Bianco, a Courmayeur, di mattina il termometro segna $-7\,^\circ\text{C}$. Durante il giorno la temperatura sale, poi scende. Come si calcola la temperatura finale? Servono numeri che vadano "sotto lo zero": i numeri interi relativi. In questa pagina impari a usarli e, alla fine, tornerai a Courmayeur.
Numeri interi e retta orientata
L'insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ non basta per esprimere un debito, una temperatura sotto zero o un piano interrato. Si aggiungono i numeri negativi e si ottiene l'insieme degli interi relativi:
$$\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\dots\}$$Vale $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$: ogni naturale è anche un intero.
Sulla retta orientata i numeri crescono verso destra. Quindi tra due numeri è maggiore quello più a destra: $-1>-4$, anche se $4$ "sembra più grande".
Addizione e sottrazione
Pensa al conto in banca: $+$ è un'entrata, $-$ un'uscita. Sulla retta, sommare $+n$ significa spostarsi a destra di $n$ passi, sommare $-n$ spostarsi a sinistra.
Il perché dell'ultima regola: togliere un debito di $4\,€$ ti rende più ricco di $4\,€$.
Eliminando le parentesi, $+(-a)=-a$ e $-(-a)=+a$.
Calcola: a) $(-8)+(+15)-(-4)$ b) $(-3)\cdot(+7)\cdot(-2)$ c) $(-48):(+6)$
Calcola:
- a) $(-8)+(+15)-(-4)$
- b) $(-3)\cdot(+7)\cdot(-2)$
- c) $(-48):(+6)$
Il conto di Marta è a $-45\,€$ (scoperto). Deposita $120\,€$, poi paga tre bollette da $38\,€$ ciascuna e infine riceve un rimborso di $27\,€$. a) Scrivi l'espressione…
Il conto di Marta è a $-45\,€$ (scoperto). Deposita $120\,€$, poi paga tre bollette da $38\,€$ ciascuna e infine riceve un rimborso di $27\,€$.
- a) Scrivi l'espressione che dà il saldo finale.
- b) Calcola il saldo.
Moltiplicazione e divisione
Perché $(-)\cdot(-)=+$? Osserva la sequenza $3\cdot(-2)=-6,\ 2\cdot(-2)=-4,\ 1\cdot(-2)=-2,\ 0\cdot(-2)=0$: a ogni passo il risultato cresce di $2$, quindi la riga successiva è $(-1)\cdot(-2)=+2$.
Con più fattori: il prodotto è negativo se i fattori negativi sono in numero dispari, positivo se sono in numero pari. La divisione vale solo se il divisore è $\neq0$ e in $\mathbb{Z}$ il quoziente è un intero solo quando il dividendo è multiplo del divisore: $(-48):(+6)=-8$, ma $7:2$ non è in $\mathbb{Z}$.
Calcola applicando le priorità delle operazioni: $-5+3\cdot(-4)-(-20):(+5)$.
Calcola applicando le priorità delle operazioni: $-5+3\cdot(-4)-(-20):(+5)$.
Potenze ed espressioni
La potenza $a^n$ ($n$ naturale) è il prodotto di $n$ fattori uguali ad $a$. Il segno si decide contando i fattori negativi:
-
base positiva: potenza positiva;
-
base negativa ed esponente pari: positiva, $(-3)^4=+81$;
-
base negativa ed esponente dispari: negativa, $(-2)^5=-32$.
Proprietà (basi non nulle, esponenti naturali):
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}\quad a^m:a^n=a^{m-n}\ (m\ge n)\quad (a^m)^n=a^{mn}\quad a^n\cdot b^n=(ab)^n$$Nelle espressioni si segue l'ordine: 1) potenze; 2) moltiplicazioni e divisioni da sinistra a destra; 3) addizioni e sottrazioni. Si svolgono prima le parentesi, dalle più interne: tonde $( )$, poi quadre $[\ ]$, poi graffe $\{\ \}$.
Calcola le potenze: a) $(-2)^5$ b) $(-3)^4$ c) $-3^4$ d) $(-1)^{101}$
Calcola le potenze:
- a) $(-2)^5$
- b) $(-3)^4$
- c) $-3^4$
- d) $(-1)^{101}$
Calcola: $\left[(-2)^3+(-5)\cdot(+2)\right]:(-6)-(-4)^2:(+8)$.
Calcola: $\left[(-2)^3+(-5)\cdot(+2)\right]:(-6)-(-4)^2:(+8)$.
Semplifica, esprimendo il risultato come potenza di base prima: $\dfrac{(-2)^7\cdot 4^3\cdot(-8)^2}{(-16)^3}$.
Semplifica, esprimendo il risultato come potenza di base prima: $\dfrac{(-2)^7\cdot 4^3\cdot(-8)^2}{(-16)^3}$.
Problemi e ragionamento con gli interi
Tornando a Courmayeur: $-7$ alle $6{:}00$. Sale di $3$ gradi all'ora per $4$ ore: $+3\cdot4$. Poi scende di $2$ gradi all'ora per $3$ ore: $-2\cdot3$. Un'unica espressione:
$$-7+3\cdot4-2\cdot3=-7+12-6=-1$$La temperatura finale è $-1\,^\circ\text{C}$. Il gancho è chiuso: l'espressione in $\mathbb{Z}$ racconta la giornata.
Segni e divisibilità
Un numero $a$ è multiplo di $b\neq0$ se $a=b\cdot k$ con $k\in\mathbb{Z}$; allora $b$ è un divisore di $a$. Anche i negativi hanno divisori: i divisori di $6$ sono $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.
A Courmayeur la temperatura alle $6{:}00$ è di $-7\,^\circ\text{C}$. Sale di $3\,^\circ\text{C}$ ogni ora per $4$ ore, poi scende di $2\,^\circ\text{C}$ ogni ora per $3$…
A Courmayeur la temperatura alle $6{:}00$ è di $-7\,^\circ\text{C}$. Sale di $3\,^\circ\text{C}$ ogni ora per $4$ ore, poi scende di $2\,^\circ\text{C}$ ogni ora per $3$ ore.
- a) Quale temperatura c'è alla fine?
- b) Scrivi il calcolo con un'unica espressione in $\mathbb{Z}$.
Siano $a,b$ numeri interi non nulli. a) Per quali valori di $a$ e $b$ il prodotto $a\cdot b^3$ è negativo e $a^2 b$ è positivo? b) Giustifica la risposta con le regole…
Siano $a,b$ numeri interi non nulli.
- a) Per quali valori di $a$ e $b$ il prodotto $a\cdot b^3$ è negativo e $a^2 b$ è positivo?
- b) Giustifica la risposta con le regole dei segni.
- c) Fornisci un esempio numerico.
Trova tutti gli interi $n$ tali che $\dfrac{n+11}{n+2}$ sia un numero intero, giustificando il procedimento con la divisibilità.
Trova tutti gli interi $n$ tali che $\dfrac{n+11}{n+2}$ sia un numero intero, giustificando il procedimento con la divisibilità.