Parallelogrammi, trapezi e isometrie

Il parallelogramma

Un parallelogramma è un quadrilatero con i lati opposti paralleli a due a due. Dal parallelismo (angoli alterni interni e coniugati formati da una trasversale) e dai criteri di congruenza dei triangoli si ricavano le sue proprietà.

Perché? Tracciando la diagonale $AC$ si formano due triangoli $ABC$ e $CDA$: hanno $AC$ in comune e due coppie di angoli alterni interni congruenti (per il parallelismo). Sono congruenti per il secondo criterio, quindi i lati e gli angoli opposti sono congruenti.

Il trapezio

Un trapezio è un quadrilatero con una sola coppia di lati opposti paralleli, le basi (maggiore e minore); gli altri due sono i lati obliqui. Se i lati obliqui sono congruenti, il trapezio è isoscele.

Riconoscere un parallelogramma e dimostrare

Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma basta una di queste condizioni:

• i lati opposti sono paralleli (definizione);

• i lati opposti sono congruenti;

• due lati opposti sono congruenti e paralleli;

• gli angoli opposti sono congruenti;

• le diagonali si dividono scambievolmente a metà.

Una dimostrazione ha tre parti: ipotesi (che cosa è dato), tesi (che cosa si vuole provare), dimostrazione (i passaggi, con i criteri di congruenza).

Un'altra risorsa è il teorema del segmento che congiunge i punti medi di due lati di un triangolo: è parallelo al terzo lato e ne è la metà.

Nel triangolo $ABC$, $MN$ unisce i punti medi di $AB$ e $BC$: $MN \parallel AC$ e $MN = \frac{1}{2}AC$. Nel triangolo $ACD$, $QP \parallel AC$ e $QP = \frac{1}{2}AC$. Quindi $MN \parallel QP$ e $MN \cong QP$: $MNPQ$ è un parallelogramma.

Le isometrie

Una isometria è una trasformazione del piano che conserva le distanze: la figura trasformata è congruente all'originale. Le tre fondamentali sono:

• traslazione di vettore $\vec{v}$: ogni punto si sposta della stessa quantità, nella stessa direzione e verso;

• rotazione di centro $O$ e angolo $\alpha$;

• simmetria assiale rispetto a una retta (l'asse): $P'$ è tale che l'asse è l'asse del segmento $PP'$.

La simmetria centrale di centro $O$ è la rotazione di $180^\circ$: $O$ è il punto medio di $PP'$.

Nel piano cartesiano

Le isometrie conservano le lunghezze: per verificarlo si calcola la distanza prima e dopo, ad esempio con $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Composizione di isometrie

Applicando due isometrie una dopo l'altra si ottiene la loro composizione. Per due simmetrie con assi paralleli, a distanza $d$, accade qualcosa di sorprendente.

Perché? Nella configurazione della figura ($P$ dalla parte di $r$ opposta a $s$), sia $H$ la proiezione di $P$ su $r$ e $K$ quella di $P'$ su $s$ (tutti sulla stessa perpendicolare). Allora $PP' = 2\,PH$ e $P'P'' = 2\,P'K$. Lo spostamento totale è $2(PH + P'K)$; poiché $PH + P'K = d$ (la distanza tra le due rette, con $P$ e $P'$ da parti opposte rispetto alla stessa retta intermedia), si ottiene $2d$. Per un punto $P$ qualsiasi conviene usare le coordinate: con $r: x = h$ e $s: x = k$ (quindi $d = |k - h|$) si ha $x \to 2h - x \to 2k - (2h - x) = x + 2(k - h)$, mentre $y$ non cambia. Ogni punto si sposta quindi di $2d$ nel verso da $r$ a $s$, indipendentemente da $P$.

In sintesi

• Parallelogramma: lati opposti paralleli e congruenti, angoli opposti congruenti, angoli adiacenti supplementari, diagonali che si bisecano.

• Trapezio: una sola coppia di lati paralleli; angoli adiacenti al lato obliquo supplementari; se isoscele, angoli alla base congruenti.

• Per dimostrare che un quadrilatero è un parallelogramma: ipotesi, tesi e uno dei criteri (ad esempio diagonali che si bisecano).

• Isometrie: traslazione, rotazione, simmetria; conservano le distanze. Nel piano cartesiano: $(x + a; y + b)$, $(x; -y)$, $(-x; y)$, $(-x; -y)$, $(-y; x)$.

• Due simmetrie con assi paralleli a distanza $d$ compongono una traslazione di modulo $2d$.