Concetto di funzione
Prendi un taxi a Roma: lo scatto iniziale è fisso e poi paghi in base ai chilometri. Per ogni distanza c'è un solo prezzo da pagare. Questa regola, che a ogni valore assegna uno e un solo risultato, è l'idea di funzione. Alla fine della pagina saprai scrivere la regola del taxi e usarla in entrambi i sensi: dati i km trovare il costo, e dato il costo trovare i km.
Che cos'è una funzione
Una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ collega elementi di $A$ con elementi di $B$. Una funzione è una relazione molto precisa: ogni elemento di $A$ ha uno e un solo corrispondente in $B$.
Si scrive $x\mapsto f(x)$ e si legge «$x$ è associato a $f(x)$». Se $f(x)=y$, $y$ è l'immagine di $x$ e $x$ è una controimmagine di $y$.
Osserva: da ogni elemento di $A$ parte una sola freccia. Il 25 non è raggiunto da nessuna: non fa parte dell'immagine, ma resta nel codominio.
Stabilisci quali delle seguenti relazioni tra $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{1,2,3\}$ sono funzioni da $A$ a $B$: a) $\{(a,1),(b,2),(c,2)\}$ b) $\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,3)\}$ c)…
Stabilisci quali delle seguenti relazioni tra $A=\{a,b,c\}$ e $B=\{1,2,3\}$ sono funzioni da $A$ a $B$:
- a) $\{(a,1),(b,2),(c,2)\}$
- b) $\{(a,1),(a,2),(b,3),(c,3)\}$
- c) $\{(a,3),(b,1)\}$
Calcolare con le funzioni
Spesso la funzione è data da una formula, come $f(x)=3x-5$. Per trovare l'immagine di un numero lo si sostituisce al posto di $x$. Per trovare una controimmagine si risolve un'equazione.
Quando il dominio è finito conviene una tabella dei valori. Per $f(x)=x^2$ su $A=\{1,2,3,4\}$:
| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 1 | 4 | 9 | 16 |
L'immagine è $\{1,4,9,16\}$.
Un modello: il taxi
Un taxi a Roma ha uno scatto di $3,50\,€$ e costa $1,20\,€$ al km, quindi $C(x)=1{,}20\,x+3{,}50$. Per $x=10$: $C(10)=12+3{,}50=15{,}50\,€$. Qui la formula descrive una situazione reale: $x$ è la variabile indipendente, $C(x)$ la dipendente. Il dominio ha senso solo per $x\ge 0$.
Data la funzione $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(x)=3x-5$, calcola $f(0)$, $f(2)$, $f(-4)$ e trova $x$ tale che $f(x)=10$.
Data la funzione $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(x)=3x-5$, calcola $f(0)$, $f(2)$, $f(-4)$ e trova $x$ tale che $f(x)=10$.
Sia $A=\{1,2,3,4\}$ e $f:A\to\mathbb{N}$ con $f(x)=x^2$. a) Scrivi dominio e immagine di $f$. b) Compila la tabella dei valori. c) $f$ è iniettiva? Motiva.
Sia $A=\{1,2,3,4\}$ e $f:A\to\mathbb{N}$ con $f(x)=x^2$.
- a) Scrivi dominio e immagine di $f$.
- b) Compila la tabella dei valori.
- c) $f$ è iniettiva? Motiva.
Un taxi a Roma costa $3,50\,€$ di scatto iniziale più $1,20\,€$ per ogni chilometro. a) Scrivi la funzione $C(x)$ che dà il costo per $x$ km. b) Calcola il costo per…
Un taxi a Roma costa $3,50\,€$ di scatto iniziale più $1,20\,€$ per ogni chilometro.
- a) Scrivi la funzione $C(x)$ che dà il costo per $x$ km.
- b) Calcola il costo per $12$ km.
- c) Quanti km si percorrono con $29,90\,€$?
La funzione $f$ associa a ogni numero naturale da $1$ a $10$ il resto della divisione per $4$. a) Scrivi la tabella di $f$. b) Determina l'immagine. c) Trova la…
La funzione $f$ associa a ogni numero naturale da $1$ a $10$ il resto della divisione per $4$.
- a) Scrivi la tabella di $f$.
- b) Determina l'immagine.
- c) Trova la controimmagine di $1$.
Iniettiva, suriettiva, biiettiva
Due elementi diversi possono avere la stessa immagine? E ogni elemento del codominio è raggiunto? Le due domande danno due proprietà.
Per dimostrare che una funzione non è iniettiva basta un controesempio: due valori diversi con la stessa immagine. Per dimostrare che non è suriettiva basta un elemento del codominio senza controimmagine.
Una funzione quadratica come $f(x)=x^2-4x+3$ si studia completando il quadrato: $x^2-4x+3=(x-2)^2-1$. Poiché $(x-2)^2\ge 0$, si ha $f(x)\ge -1$ per ogni $x$, con uguaglianza solo per $x=2$.
Sia $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(x)=x^2-4x+3$. a) Calcola $f(1)$ e $f(3)$ e dimostra che $f$ non è iniettiva. b) Dimostra che $f(x)\ge -1$ per ogni $x$. c) Determina…
Sia $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$, $f(x)=x^2-4x+3$.
- a) Calcola $f(1)$ e $f(3)$ e dimostra che $f$ non è iniettiva.
- b) Dimostra che $f(x)\ge -1$ per ogni $x$.
- c) Determina l'immagine di $f$ su $\mathbb{Z}$ e stabilisci se è suriettiva su $\mathbb{Z}$.
Il dominio di una funzione in R
Quando una funzione è data solo dalla formula, il dominio è l'insieme dei numeri reali per cui la formula ha senso. Tre situazioni da controllare:
-
denominatore: deve essere diverso da zero;
-
radice quadrata: il radicando deve essere $\ge 0$;
-
le somme, i prodotti e le potenze intere positive non pongono problemi.
Determina il dominio in $\mathbb{R}$ di: a) $f(x)=\dfrac{5}{x-3}$ b) $g(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$ c) $h(x)=\sqrt{x-2}$
Determina il dominio in $\mathbb{R}$ di:
- a) $f(x)=\dfrac{5}{x-3}$
- b) $g(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$
- c) $h(x)=\sqrt{x-2}$
Composizione di funzioni e problemi
Se il risultato di una funzione diventa il dato di un'altra, si compongono. Date $f$ e $g$, la funzione composta $f\circ g$ è definita da
$$(f\circ g)(x)=f(g(x)).$$Si applica prima $g$, poi $f$ (si legge «$f$ dopo $g$»).
Una funzione per un problema
Un rettangolo ha perimetro $40\text{ cm}$ e un lato misura $x$. L'altro lato è $20-x$ (il semiperimetro è $20$), quindi $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$, con dominio $0 Completando il quadrato: $A(x)=-(x^2-20x)=-(x-10)^2+100$. Poiché $(x-10)^2\ge 0$, si ha $A(x)\le 100$, con uguaglianza per $x=10$: l'area massima è $100\text{ cm}^2$, ottenuta dal quadrato di lato $10$ cm. Siano $f(x)=2x+1$ e $g(x)=x^2-3$ definite su $\mathbb{R}$. Un rettangolo ha perimetro $40\text{ cm}$. Sia $x$ la misura di un lato. Vuoi altri esercizi di questo paragrafo?
$x$
4
8
10
15
$A(x)$
64
96
100
75
Siano $f(x)=2x+1$ e $g(x)=x^2-3$ definite su $\mathbb{R}$. a) Calcola $f(g(x))$ e $g(f(x))$. b) Trova i valori di $x$ per cui $f(g(x))=g(f(x))$. c) Spiega perché in…
Un rettangolo ha perimetro $40\text{ cm}$. Sia $x$ la misura di un lato. a) Scrivi l'area $A(x)$ e il dominio. b) Calcola l'area per $x=4, 8, 10, 15$. c) Determina per…