Congruenza dei triangoli e dimostrazioni
Sul tuo quaderno disegni un triangolo e lo ricalchi su un foglio trasparente: se riesci a sovrapporre perfettamente la copia all'originale, i due triangoli sono «uguali». Ma in matematica non ci si fida dei disegni: bisogna dimostrare. Quali informazioni bastano per essere certi che due triangoli siano sovrapponibili senza misurarli tutti? Lo scoprirai in questa pagina.
Postulati, definizioni, teoremi
La geometria euclidea è costruita come una «catena» di affermazioni, e ognuna ha un ruolo preciso.
Ogni teorema ha due parti:
-
l'ipotesi: ciò che è dato per vero;
-
la tesi: ciò che si vuole dimostrare.
Per esempio, nel teorema «se un triangolo ha due lati congruenti, allora è isoscele» l'ipotesi è «due lati congruenti», la tesi è «il triangolo è isoscele».
Ricorda alcune parole: due segmenti o due angoli sono congruenti ($\cong$) se si possono sovrapporre; il punto medio divide un segmento in due parti congruenti; l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento nel suo punto medio; la bisettrice di un angolo lo divide in due angoli congruenti.
Spiega la differenza tra postulato, definizione, teorema e dimostrazione, e fai un esempio per ciascuno tratto dalla geometria euclidea.
Spiega la differenza tra postulato, definizione, teorema e dimostrazione, e fai un esempio per ciascuno tratto dalla geometria euclidea.
I criteri di congruenza dei triangoli
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati e i tre angoli. Per fortuna non serve verificarli tutti e sei: bastano tre elementi scelti bene.
Nota che i criteri parlano di elementi compresi o adiacenti: la posizione conta. Due lati e un angolo non compreso non bastano in generale.
Nei triangoli $ABC$ e $DEF$ si ha $AB=DE$, $AC=DF$ e $\hat{A}=\hat{D}$. Quale criterio di congruenza si applica? Cosa si può dedurre sul lato $BC$?
Nei triangoli $ABC$ e $DEF$ si ha $AB=DE$, $AC=DF$ e $\hat{A}=\hat{D}$. Quale criterio di congruenza si applica? Cosa si può dedurre sul lato $BC$?
Sia $M$ il punto medio del segmento $AB$ e $P$ un punto sull'asse di $AB$. Dimostra che $PA=PB$ usando i criteri di congruenza dei triangoli $PAM$ e $PBM$.
Sia $M$ il punto medio del segmento $AB$ e $P$ un punto sull'asse di $AB$. Dimostra che $PA=PB$ usando i criteri di congruenza dei triangoli $PAM$ e $PBM$.
Come si scrive una dimostrazione
Una dimostrazione ordinata ha sempre tre blocchi: ipotesi, tesi, dimostrazione. Aiuta un disegno con i segni di congruenza.
Sia $ABC$ un triangolo e $D$ il punto medio di $BC$. Si prolunga $AD$ oltre $D$ di un segmento $DE=AD$. a) Dimostra che $ABEC$ ha $AB=CE$ e $AC=BE$. b) Deduci che…
Sia $ABC$ un triangolo e $D$ il punto medio di $BC$. Si prolunga $AD$ oltre $D$ di un segmento $DE=AD$.
- a) Dimostra che $ABEC$ ha $AB=CE$ e $AC=BE$.
- b) Deduci che $AB\parallel CE$.
- c) Scrivi ipotesi, tesi e dimostrazione.
Il triangolo isoscele
Un triangolo è isoscele se ha due lati congruenti (i lati obliqui); il terzo è la base. Gli angoli alla base sono congruenti, e la dimostrazione usa proprio i criteri.
Un triangolo isoscele $ABC$ ha base $BC$ e $\hat{B}=52^\circ$. Calcola gli angoli $\hat{C}$ e $\hat{A}$, citando i teoremi usati.
Un triangolo isoscele $ABC$ ha base $BC$ e $\hat{B}=52^\circ$. Calcola gli angoli $\hat{C}$ e $\hat{A}$, citando i teoremi usati.
Dimostra il teorema: «In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti», tracciando la bisettrice dell'angolo al vertice e usando i criteri di congruenza.…
Dimostra il teorema: «In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti», tracciando la bisettrice dell'angolo al vertice e usando i criteri di congruenza. Scrivi ipotesi, tesi e dimostrazione.
Rette parallele e somma degli angoli
Due rette $r$ e $s$ tagliate da una trasversale $t$ formano otto angoli. Li classifichiamo in coppie:
-
alterni interni: tra le due rette, da parti opposte della trasversale;
-
corrispondenti: dalla stessa parte rispetto alla trasversale, uno interno e uno esterno, nella stessa posizione;
-
coniugati interni: tra le due rette, dalla stessa parte della trasversale.
Somma degli angoli di un triangolo
In un triangolo $ABC$ gli angoli misurano $\hat{A}=x+10^\circ$, $\hat{B}=2x$, $\hat{C}=3x-10^\circ$. a) Calcola $x$ e gli angoli. b) Classifica il triangolo rispetto…
In un triangolo $ABC$ gli angoli misurano $\hat{A}=x+10^\circ$, $\hat{B}=2x$, $\hat{C}=3x-10^\circ$.
- a) Calcola $x$ e gli angoli.
- b) Classifica il triangolo rispetto agli angoli.
- c) Calcola l'angolo esterno in $C$.
Due rette $r$ e $s$ sono tagliate da una trasversale $t$. Un angolo alterno interno vale $65^\circ$ e l'altro $65^\circ$. a) Che cosa si può concludere su $r$ e $s$?…
Due rette $r$ e $s$ sono tagliate da una trasversale $t$. Un angolo alterno interno vale $65^\circ$ e l'altro $65^\circ$.
- a) Che cosa si può concludere su $r$ e $s$? Enuncia il criterio.
- b) Quanto misurano gli angoli coniugati interni?
Dimostra che in un triangolo la somma degli angoli interni è $180^\circ$, tracciando per un vertice la parallela al lato opposto e usando gli angoli alterni interni. Poi…
Dimostra che in un triangolo la somma degli angoli interni è $180^\circ$, tracciando per un vertice la parallela al lato opposto e usando gli angoli alterni interni. Poi deduci il teorema dell'angolo esterno.
In sintesi
Vuoi un confronto? Torna all'inizio: bastano tre elementi scelti bene (LAL, ALA, LLL) per essere certi che due triangoli siano sovrapponibili, senza misurare tutto.