Esercizi: Approssimazione ed errori

Sul display della tua calcolatrice compare il numero irrazionale $\sqrt{10} = 3,16227766...$

Copia la seguente tabella sul tuo quaderno e completala eseguendo le approssimazioni indicate per quel numero:

Tipo di approssimazione	Alle unità	Ai decimi	Ai centesimi	Ai millesimi
Per troncamento
Per arrotondamento

Stai aiutando a organizzare una corsa solidale nella tua scuola. Calcolando con il GPS la distanza esatta di un tratto del percorso, ottieni 2,3458 km.

Per realizzare i cartelloni informativi, devi semplificare questa cifra. Scrivi come risulterebbe questa distanza se approssimiamo per arrotondamento:

1. a) Alle unità (km).

1. b) Ai decimi.

1. c) Ai centesimi.

Per il punto c), aiutati con la seguente retta numerica, che mostra il tratto tra 2,34 e 2,35 e dove cade il numero:

Un famoso streamer ha pubblicato un video che ha esattamente 3.894.215 visualizzazioni.

1. a) Scrivi questa quantità arrotondata ai milioni.
2. b) Scrivi la quantità arrotondata alle centinaia di migliaia.
3. c) Quante cifre significative hai utilizzato nel punto b?

Misurando la lunghezza della tua scrivania, il valore reale di fabbrica è di 120 cm. Tu usi un metro a nastro e ottieni una misura di 119 cm.

1. a) Calcola l'errore assoluto ($E_a$) commesso nella tua misurazione. Ricorda che l'errore assoluto è la differenza in valore positivo tra il valore reale e quello approssimato: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Se il tuo compagno misura il corridoio della scuola, che misura realmente 5000 cm, e ottiene 4999 cm, il suo errore assoluto è di 1 cm, uguale al tuo. Significa questo che entrambe le misurazioni hanno la stessa precisione? Motiva la tua risposta (puoi basarti sul concetto di errore relativo).

Calcoliamo l'errore relativo ($E_r$) per confrontare due pesate diverse. Ricorda che la formula è $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesi una mela il cui peso reale è 200 g e la tua bilancia segna 205 g.

2. Caso B: Pesi il tuo cane il cui peso reale è 20.000 g (20 kg) e la bilancia segna 20.005 g.

Calcola l'errore relativo nei due casi (puoi esprimerlo in forma decimale o in percentuale) e indica quale misurazione è stata più precisa (di qualità maggiore).

Osserva la seguente immagine che rappresenta il tachimetro digitale di una bicicletta elettrica:

Il tachimetro mostra solo numeri interi (senza decimali) e indica 24 km/h mediante arrotondamento alle unità.

Questo significa che la velocità reale non è esattamente 24 km/h, ma è compresa in un intervallo. Tra quali due valori (limite inferiore e limite superiore) si trova la velocità reale della bicicletta?

Sei andato al supermercato a comprare gli ingredienti per una cena. I prezzi reali dei prodotti sono:

• Pasta: 1,85 €

• Passata di pomodoro: 2,15 €

• Formaggio grattugiato: 3,48 €

• Bibita: 1,25 €

1. a) Fai una stima rapida del costo totale arrotondando ogni prezzo alle unità prima di sommare.
2. b) Calcola la somma esatta dei prezzi.
3. c) Calcola la differenza (errore assoluto) tra la tua stima e il prezzo reale. Pensi che sia stata una buona stima per sapere se avevi 10 € in tasca?

Vogliamo calcolare l'area di un cerchio il cui raggio è stato misurato con un righello.

La misura del raggio è $r = 5$ cm.

Sappiamo che l'area di un cerchio è $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Se usiamo l'approssimazione $\pi \approx 3$, qual è l'area calcolata?
2. b) Se usiamo l'approssimazione $\pi \approx 3,14$, qual è l'area calcolata?
3. c) Sapendo che il valore "reale" (usando il tasto $\pi$ della calcolatrice) è circa 78,54 cm², calcola l'errore assoluto commesso nel punto a e nel punto b. Quale approssimazione di $\pi$ è più opportuno usare in matematica nel primo anno di liceo?

Marco afferma in classe di matematica che le quantità $0,0350\text{ m}$ e $350\text{ m}$ hanno esattamente lo stesso numero di cifre significative perché «gli zeri non danno valore ed entrambi i numeri si riducono a 35». Inoltre, sostiene che in $0,0350\text{ m}$ lo strumento ha misurato con precisione alle unità perché non conta i decimali.

1. a) Spiega con ragionamenti i due errori concettuali che commette Marco sulla funzione degli zeri.
2. b) Indica il numero corretto di cifre significative di ciascuna delle due misure, giustificando il ruolo di ogni zero.
3. c) Se la misura $0,0350\text{ m}$ è stata ottenuta con uno strumento la cui ultima cifra indica la sensibilità della lettura, qual è il limite dell'errore assoluto (la metà dell'unità dell'ultima cifra) commesso nella misurazione?

Un numero decimale positivo $x$ è stato approssimato ai decimi per arrotondamento, ottenendo $4,8$.

1. a) Se sappiamo che arrotondando il valore originale è aumentato e che l'errore assoluto commesso è stato esattamente $0,03$, qual era il valore esatto di $x$?
2. b) Scrivi, mediante un intervallo o disuguaglianze, tutti i possibili numeri reali che arrotondati ai decimi danno come risultato $4,8$.
3. c) Qual è l'errore assoluto massimo che si può commettere arrotondando un qualsiasi numero ai decimi?

In ambito scientifico e tecnologico è fondamentale sapere con quale precisione stiamo lavorando. Arrotonda i seguenti numeri a tre cifre significative:

1. a) Il numero di visualizzazioni di un video virale: $14\,592\,301$.
2. b) La massa di una particella di polvere: $0,00040961$ grammi.
3. c) Il numero $\pi$: $3,141592...$
4. d) La capacità di un disco rigido in byte: $1\,024\,576\,000$.

Poi esprimi ogni risultato usando la notazione scientifica.

Analizziamo l'errore che commettiamo usando i decimali al posto delle frazioni. Considera la frazione $\frac{7}{3}$.

1. a) Scrivi la sua espressione decimale e arrotondala ai centesimi.
2. b) Calcola l'errore assoluto ($E_a$) commesso con questa approssimazione.
3. c) Calcola l'errore relativo ($E_r$) ed esprimilo in forma di percentuale.

Nota: ricorda che per il calcolo dell'errore devi usare il valore esatto (la frazione) come riferimento.

Due studenti eseguono misurazioni diverse per un progetto di scienze.

• Lucia misura la lunghezza di un campo da calcio e ottiene $105$ m, con un errore assoluto di $0,5$ m.

• Marco misura la lunghezza dello schermo di un cellulare e ottiene $15$ cm, con un errore assoluto di $0,1$ cm.

Quale delle due misurazioni è più precisa (ha maggiore qualità)? Giustifica la risposta calcolando gli errori relativi di entrambe le misure.

In molti distributori di benzina il prezzo del carburante è mostrato con tre decimali (millesimi di euro), anche se noi paghiamo con monete che arrivano solo ai centesimi.

Il prezzo del diesel oggi è $1,489$ €/litro.

Farai rifornimento di esattamente $35$ litri.

1. a) Calcola il prezzo reale esatto moltiplicando i $35$ litri per il prezzo con tre decimali.
2. b) Calcola il prezzo se prima arrotondiamo il prezzo al litro a due decimali ($1,49$ €/L).
3. c) Qual è la differenza in euro tra i due metodi? Chi ci guadagna con l'arrotondamento preventivo, il cliente o il distributore?

Vogliamo calcolare l'area di un rettangolo la cui base misura $\sqrt{5}$ cm e la cui altezza misura $\sqrt{3}$ cm.

1. a) Calcola l'area esatta usando i radicali.
2. b) Approssima $\sqrt{5}$ e $\sqrt{3}$ ai centesimi e calcola l'area approssimata con questi valori.
3. c) Determina l'errore assoluto commesso usando i valori approssimati rispetto al valore esatto del punto a.

Le bilance pesapersone digitali hanno di solito una precisione di $100$ grammi ($0,1$ kg). Questo significa che se la bilancia indica $54,2$ kg, il peso reale potrebbe essere un po' superiore o un po' inferiore, ma arrotondato a quel decimale.

1. a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali per un peso misurato di $54,2$ kg.
2. b) Qual è il limite dell'errore assoluto di questa bilancia?

Calcola l'errore relativo commesso nelle seguenti approssimazioni e indica quale di esse è la peggiore (quella con il maggiore errore relativo):

1. a) Approssimare la frazione $\frac{1}{3}$ con $0,33$.
2. b) Approssimare il numero $\sqrt{2}$ con $1,41$.
3. c) Approssimare un preventivo di $150.000$ € con $140.000$ €.

Al telegiornale hanno annunciato che a una manifestazione hanno partecipato "circa 25.000 persone".

1. a) Se sappiamo che questa cifra è stata ottenuta arrotondando alle migliaia, qual è il numero massimo e minimo di persone che potrebbero aver partecipato realmente?
2. b) Rappresenta questo intervallo sulla retta numerica.
3. c) Qual è l'errore assoluto massimo che si potrebbe commettere con quel titolo?

Una famiglia prepara un viaggio in auto da Roma a Napoli lungo l'autostrada A1. La distanza indicata dal navigatore è $396,4\text{ km}$, il consumo medio del veicolo è $6,8\text{ litri}$ ogni $100\text{ km}$ e il prezzo della benzina in quel momento è $1,59\text{ €/litro}$.

1. a) Prima di operare con i decimali, arrotonda ciascuno dei tre dati numerici a una sola cifra significativa e fai una stima mentale della spesa totale di carburante del viaggio.
2. b) Usa la calcolatrice con i dati originali per calcolare il costo reale esatto del tragitto (esprimi il risultato arrotondato ai centesimi di euro).
3. c) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo percentuale della tua stima rispetto al valore reale. In base al risultato, valuta se la stima iniziale è stata ragionevole per pianificare il budget del viaggio.

In un'officina di carpenteria metallica dispongono di barre di alluminio di lunghezza $300\text{ cm}$ e devono tagliare singoli pezzi di $14,6\text{ cm}$. Per scoprire quanti pezzi interi si ottengono da ogni barra, due operai dividono $300 : 14,6 = 20,5479...$:

• Elena dice: «Dobbiamo arrotondare alle unità; poiché la cifra dei decimi è 5, otteniamo 21 pezzi».

• Sergio dice: «Dobbiamo troncare alle unità; quindi otteniamo 20 pezzi».

1. a) Quale dei due metodi è adatto per risolvere questo problema reale? Spiega quale conseguenza pratica avrebbe l'applicazione del metodo sbagliato.
2. b) Con il metodo corretto, calcola quanti centimetri di alluminio avanzano esattamente da una barra dopo aver ottenuto tutti i pezzi possibili.
3. c) Proponi una situazione quotidiana diversa da questa in cui il troncamento sia più conveniente o realistico dell'arrotondamento matematico, e giustifica perché.

In un laboratorio di nanotecnologie e in un osservatorio astronomico sono state eseguite due misurazioni diverse con i rispettivi strumenti di precisione:

1. La lunghezza di un chip microscopico: $0,00045 \text{ m}$ (con un possibile errore di $\pm 0,00001 \text{ m}$).

2. La distanza tra due satelliti: $45000 \text{ km}$ (con un possibile errore di $\pm 100 \text{ km}$).

Senza eseguire calcoli complessi, si potrebbe pensare che la misurazione del chip sia "più fine" perché il numero è più piccolo, ma quale delle due misurazioni ha maggiore qualità o precisione scientifica?

Giustifica la risposta calcolando l'errore relativo di entrambe le misurazioni ed esprimendolo in percentuale.

Vogliamo dipingere una pista di atterraggio per elicotteri (eliporto) di forma circolare. Per calcolare la quantità di vernice necessaria, misuriamo il raggio e otteniamo $r = 12,5 \text{ m}$. Sappiamo che la formula dell'area è $A = \pi \cdot r^2$.

1. a) Calcola l'area "esatta" usando il tasto $\pi$ della tua calcolatrice.
2. b) Calcola l'area approssimata usando il valore arrotondato $\pi \approx 3,14$.
3. c) Calcola l'errore assoluto e l'errore relativo commessi usando l'approssimazione $\pi$ rispetto al valore della calcolatrice.
4. d) Se un barattolo di vernice copre $5 \text{ m}^2$, l'errore commesso influisce sul numero di barattoli che dobbiamo comprare?

Un'azienda di gioielleria acquista oro in base al peso. La sua bilancia digitale misura con una precisione di centesimi di grammo ($0,01 \text{ g}$). Tuttavia, la fattura che emettono tronca il peso a un solo decimale (decimi di grammo) per eseguire l'addebito.

Questa settimana hanno acquistato 4 lotti di oro i cui pesi reali sulla bilancia sono stati:

• Lotto A: $12,48 \text{ g}$

• Lotto B: $25,19 \text{ g}$

• Lotto C: $8,76 \text{ g}$

• Lotto D: $15,95 \text{ g}$

1. a) Calcola il peso totale reale sommando le quantità esatte della bilancia.
2. b) Calcola il peso totale che compare nelle fatture sommando le quantità troncate ai decimi.
3. c) Qual è l'errore assoluto totale commesso con questo metodo di fatturazione? Chi ci perde, l'acquirente o il venditore?

Abbiamo un serbatoio d'acqua a forma di parallelepipedo rettangolo (scatola rettangolare). Abbiamo misurato le sue dimensioni con un metro a nastro che segna solo i decimetri, quindi le nostre misure hanno un limite di errore assoluto di $0,5 \text{ dm}$ (cioè il valore reale potrebbe essere maggiore o minore di 0,5 dm).

Le misure ottenute sono:

• Lunghezza: $20 \text{ dm}$

• Larghezza: $10 \text{ dm}$

• Altezza: $15 \text{ dm}$

Calcola il volume del serbatoio ($V = \text{lungo} \times \text{larghezza} \times \text{alto}$) e determina tra quali due valori (intervallo) si trova il volume reale del serbatoio, tenendo conto dei limiti di errore di ciascuna misura.

Approssimiamo il numero irrazionale $\sqrt{10}$.

1. a) Scrivi l'approssimazione di $\sqrt{10}$ per arrotondamento ai decimi, ai centesimi e ai millesimi.
2. b) Calcola l'errore assoluto commesso in ciascuno dei tre casi precedenti (usando il valore della calcolatrice come "valore reale").
3. c) Quante cifre decimali dobbiamo considerare perché l'errore assoluto sia minore di $0,0001$? Giustifica la risposta senza scrivere tutte le cifre, usando la logica dei limiti di errore.

Il tachimetro digitale di una bicicletta indica la velocità con un solo decimale. In un dato momento indica $24,5 \text{ km/h}$.

Sappiamo che questo apparecchio approssima per arrotondamento al decimo più vicino.

1. a) Scrivi l'intervallo dei possibili valori reali in cui si trova la velocità esatta della bicicletta. Cioè, qual è la velocità minima e massima che potrebbe avere il ciclista perché l'apparecchio indichi 24,5?
2. b) Se il ciclista mantiene quella velocità per esattamente 2 ore, qual è la differenza massima in chilometri (limite dell'errore assoluto) tra la distanza calcolata con il valore 24,5 e la distanza reale possibile?

Si vuole lottizzare un terreno rettangolare per costruire abitazioni.

Le dimensioni del terreno sono $\frac{200}{3}$ metri di lunghezza e $\frac{100}{7}$ metri di larghezza.

Se lavoriamo con le frazioni, il calcolo è esatto, ma gli operai hanno bisogno di numeri decimali.

1. a) Calcola l'area esatta del terreno usando le frazioni.
2. b) Approssima ciascuna dimensione a due cifre decimali (centesimi) e calcola l'area con questi valori approssimati.
3. c) Qual è l'errore relativo commesso calcolando l'area con i valori approssimati rispetto al valore esatto della frazione?

Calcola passo dopo passo il limite dell'errore assoluto e il limite dell'errore relativo nella seguente operazione combinata, tenendo conto dell'ordine delle operazioni.

Dati i numeri $A = 2,86$ e $B = 4,13$, approssimazioni di valori reali sconosciuti, sapendo però che entrambi sono stati arrotondati ai centesimi.

1. a) Calcola il valore di $C = \frac{A + B}{2}$.

1. b) Ragiona: qual è il limite dell'errore assoluto del risultato $C$? (Suggerimento: pensa al valore massimo e minimo che potrebbero avere $A$ e $B$ prima di essere arrotondati).

1. c) Calcola il limite dell'errore relativo di $C$, dividendo il limite dell'errore assoluto per il valore di $C$.

Nei comunicati stampa sull'anagrafe comunale dell'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT), la popolazione residente a Matera è pubblicata come $36\,000$ abitanti (arrotondata alle migliaia più vicine), mentre quella di Roma è pubblicata come $3\,340\,000$ abitanti (arrotondata alle decine di migliaia più vicine).

1. a) Determina il limite dell'errore assoluto (errore massimo possibile) commesso nella cifra di ciascuna delle due città.
2. b) Calcola il limite dell'errore relativo percentuale di ciascuna misura prendendo come riferimento il valore pubblicato.
3. c) Un titolo di giornale afferma: «La cifra ufficiale di Roma è dieci volte meno precisa e affidabile di quella di Matera perché il suo margine di errore assoluto è di $5\,000$ persone contro le $500$ di Matera». Usa i concetti di errore assoluto ed errore relativo per confutare matematicamente l'affermazione del giornalista e concludere quale dato sia di qualità maggiore.

Un laboratorio farmaceutico produce capsule in cui la massa teorica di principio attivo deve essere $0,250\text{ g}$. Il protocollo di controllo qualità richiede rigorosamente che l'errore relativo della massa reale rispetto al valore teorico non superi $1,6\,\%$.

1. a) Imposta la condizione matematica e determina l'intervallo della massa reale $[m_{\text{min}}, m_{\text{max}}]$ che rende accettabile una capsula.
2. b) Per eseguire il controllo, il laboratorio dispone di due bilance analitiche:

• Bilancia A: precisione di $\pm 0,005\text{ g}$.

• Bilancia B: precisione di $\pm 0,001\text{ g}$.

Calcola l'errore relativo massimo percentuale introdotto unicamente dall'imprecisione di ciascuno strumento pesando $0,250\text{ g}$. Giustifica con un ragionamento se la Bilancia A è adatta a certificare il rispetto del protocollo o se è indispensabile usare la Bilancia B.