Frazioni algebriche

Calcola il valore numerico della frazione algebrica $\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ per $x = -2$.

Verifica, eseguendo i prodotti incrociati, se le frazioni algebriche $\frac{x-3}{x+1}$ e $\frac{x^2-9}{x^2+4x+3}$ sono equivalenti.

Trova una frazione algebrica $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ che soddisfi contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1) La sua forma semplificata ridotta ai minimi termini è $\dfrac{2}{x-5}$.

2) Gli unici valori che non appartengono al suo dominio (valori esclusi) sono $x = 5$ e $x = -3$.

3) I polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ devono essere completamente sviluppati nella risposta finale (senza prodotti indicati né fattori tra parentesi).

Spiega passo passo come hai dedotto il numeratore e il denominatore a partire dalle restrizioni di dominio date.

La base di un pannello solare rettangolare misura $x+5$ metri e la sua altezza misura $x-5$ metri. Il lato di un pannello solare quadrato misura $x$ metri. Scrivi la frazione algebrica che rappresenta il rapporto tra l'area del pannello rettangolare e l'area del pannello quadrato. Calcola il valore numerico di questa frazione se $x = 10$ metri.

Trova il polinomio $P(x)$ che rende vera la seguente uguaglianza tra frazioni algebriche: $\frac{x^2-9}{P(x)} = \frac{x-3}{x^2+2x}$

Semplifica la seguente frazione algebrica raccogliendo a fattor comune al numeratore e al denominatore: $\frac{4x^3 - 2x^2}{6x^2 - 2x}$

Semplifica la seguente frazione algebrica applicando i prodotti notevoli: $\frac{x^2 - 25}{x^2 - 10x + 25}$

Lucia deve semplificare la frazione algebrica $\dfrac{x^2+4x}{x^2+6x+8}$ in una verifica e scrive sul suo foglio quanto segue:

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Lucia nel primo passaggio e spiega in dettaglio perché non è matematicamente valido cancellare il termine $x^2$. Fornisci un semplice controesempio numerico (usando una frazione con numeri concreti e somme) che dimostri che cancellare gli addendi porta a un risultato errato.
2. b) Risolvi la semplificazione in modo corretto scomponendo in fattori numeratore e denominatore, e indica quali valori di $x$ non appartengono al dominio della frazione originale.

Semplifica la seguente frazione algebrica scomponendo prima in fattori il numeratore e il denominatore: $\frac{x^3 - 4x^2 + 4x}{x^3 - 2x^2 - 4x + 8}$

Moltiplica le seguenti frazioni algebriche e scrivi il risultato nella forma più semplificata possibile: $\frac{x}{x+2} \cdot \frac{x^2-4}{x^2}$

Esegui la divisione di frazioni algebriche e semplifica: $\frac{2x+2}{x-1} : \frac{4x+4}{x^2-1}$

Esegui la seguente operazione combinata con frazioni algebriche e semplifica il risultato: $\left( \frac{1}{x} - \frac{2}{x+2} \right) : \frac{x-2}{x^2+2x}$

Esegui la seguente somma di frazioni algebriche e semplifica il risultato: $\frac{3x+2}{x-2} + \frac{-x-6}{x-2}$

Esegui la seguente operazione e semplifica il risultato: $\frac{x^2+5x}{x+3} - \frac{x^2-9}{x+3}$

Esegui le seguenti operazioni riducendo allo stesso denominatore e semplifica il risultato: $\frac{2}{x-1} + \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1}$

Esegui la seguente sottrazione di frazioni algebriche e semplifica al massimo: $\frac{x^2+x}{x^2-1} - \frac{x}{x-1}$

Esegui e semplifica il più possibile la seguente espressione: $\frac{x^2-1}{x^2+2x+1} \cdot \left( \frac{2x}{x-1} - \frac{x+1}{x} \right)$

Dimostra, operando e semplificando le frazioni algebriche, che la seguente espressione è uguale a $2ab$: $\frac{a^3-b^3}{a-b} - \frac{a^3+b^3}{a+b}$

Determina il valore del parametro $k$ affinché la frazione algebrica $\frac{x^2 - kx + 10}{x-5}$ si possa semplificare (cioè affinché il numeratore sia divisibile per il denominatore). Una volta trovato $k$, scrivi l'espressione semplificata.

Semplifica la seguente espressione algebrica a "castello di frazioni": $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x-1}}$

Considera l'espressione algebrica $F(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 - 1} - 3$.

1. a) Stima: prima di metterti a operare con carta e penna, analizza mentalmente che cosa succede quando la variabile $x$ assume un valore positivo enorme (per esempio $x = 100\,000$). Verso quale valore pensi che tenda il quoziente $\dfrac{3x^2-5x}{x^2-1}$ trascurando i termini di grado inferiore? Sulla base di questa deduzione, stima in modo motivato a quale valore tenderà $F(x)$ per numeri molto grandi e se ti aspetti che il risultato sia leggermente positivo o leggermente negativo.
2. b) Verifica: riduci la sottrazione allo stesso denominatore, esegui le operazioni al numeratore e semplifica $F(x)$ in un'unica frazione algebrica ridotta ai minimi termini.
3. c) Sostituisci $x = 100$ nella frazione semplificata ottenuta al punto b), calcola il suo valore decimale e ragiona se conferma la stima che hai formulato al punto a).

Un rubinetto dell'acqua calda impiega $x$ ore a riempire una vasca da bagno, mentre il rubinetto dell'acqua fredda ne impiega $x+3$. Scrivi una frazione algebrica semplificata che rappresenti la parte di vasca che si riempie in un'ora se si aprono entrambi i rubinetti contemporaneamente.

Il costo totale in euro per produrre $x$ biciclette è dato dal polinomio $C(x) = 3x^2 + 150x$. I ricavi totali in euro dalla vendita di quelle $x$ biciclette sono espressi dal polinomio $I(x) = 5x^2 + 200x$. Scrivi la frazione algebrica ridotta ai minimi termini che rappresenta il rapporto tra i ricavi e i costi.

Un treno percorre una distanza di $120$ km a una velocità costante di $v$ km/h. Nel viaggio di ritorno, a causa della pioggia, la sua velocità diminuisce di $10$ km/h. Scrivi la frazione algebrica che rappresenta il tempo totale del viaggio di andata e ritorno in funzione di $v$, riducendo a un'unica frazione.

Si vuole costruire una scatola senza coperchio a partire da un foglio rettangolare di cartone di dimensioni $x+6$ e $x+4$ centimetri, ritagliando quadrati di $2$ cm di lato nei quattro angoli e piegando le alette. Scrivi la frazione algebrica ridotta ai minimi termini che rappresenta il rapporto tra il volume della scatola e l'area della sua base.