Esercizi: Insiemi e logica

Dati $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ e $B=\{4,5,6,7,8\}$, determina:

1. a) $A\cup B$
2. b) $A\cap B$
3. c) $A\setminus B$
4. d) $B\setminus A$

Rappresenta per elencazione i seguenti insiemi:

1. a) $A=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è multiplo di } 3 \text{ e } x<20\}$
2. b) $B=\{x\in\mathbb{Z}\mid -3\le x<2\}$
3. c) $C=\{x\in\mathbb{N}\mid x \text{ è un divisore di } 18\}$

Scrivi la negazione delle seguenti proposizioni e stabilisci quali sono vere:

1. a) «Tutti i numeri primi sono dispari.»
2. b) «Esiste un numero naturale pari che è primo.»
3. c) «$7$ è un divisore di $52$.»

In una classe prima del liceo di Padova di $28$ studenti, $17$ studiano il tedesco, $14$ il francese e $5$ nessuna delle due lingue.

1. a) Quanti studenti studiano entrambe le lingue?
2. b) Quanti studiano solo tedesco?

Sia $U=\{1,2,\dots,12\}$, $A$ l'insieme dei multipli di $2$, $B$ l'insieme dei multipli di $3$. Determina:

1. a) $A\cap B$
2. b) $\overline{A\cup B}$ (complementare in $U$)
3. c) $\overline{A}\cap\overline{B}$ e verifica la legge di De Morgan.

Considera l'implicazione: «Se un numero è divisibile per $6$, allora è divisibile per $3$.»

1. a) Scrivi l'inversa e la contronominale.
2. b) Stabilisci quali delle tre implicazioni sono vere, con un controesempio dove serve.

Su $120$ turisti a Napoli: $70$ hanno visitato Pompei, $60$ Capri, $50$ il Vesuvio; $30$ Pompei e Capri, $25$ Pompei e Vesuvio, $20$ Capri e Vesuvio; $10$ tutte e tre.

1. a) Quanti hanno visitato almeno una meta?
2. b) Quanti nessuna?
3. c) Quanti esattamente una?

Dimostra, con un diagramma di Venn o con l'appartenenza degli elementi, che $A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$. Verifica poi con $A=\{1,\dots,10\}$, $B=\{2,4,6,8,10\}$, $C=\{3,6,9\}$.

Considera la proposizione: «Per ogni numero naturale $n$, $n^2+n+11$ è primo.»

1. a) Scrivi la sua negazione usando il quantificatore esistenziale.
2. b) Trova un controesempio e stabilisci se la proposizione è vera.
3. c) Spiega la differenza tra verificare molti casi e dimostrare.