Esercizi: Equazioni di primo grado

In matematica è fondamentale distinguere tra un'espressione algebrica e un'equazione. Osserva il seguente elenco e individua quali sono equazioni di primo grado. Per quelle che lo sono, indica qual è il loro primo membro e qual è la loro incognita:

1. a) $3x + 5$
2. b) $2x - 8 = 10$
3. c) $x^2 - 4 = 0$
4. d) $5 + 3 = 8$
5. e) $\frac{y}{2} + 1 = 7$

Verificare se un numero è soluzione di un'equazione consiste nel sostituire l'incognita e vedere se l'uguaglianza è soddisfatta. Dato il seguente insieme di valori: $\{-2, 0, 3\}$, indica motivando quale di essi è la soluzione dell'equazione:

$5x - (x + 4) = 8$

Risolvi le seguenti equazioni di base utilizzando il trasporto dei termini (ciò che è sommato passa sottraendo e viceversa):

1. a) $x + 15 = 42$
2. b) $x - 7 = -12$
3. c) $10 - x = 4$
4. d) $25 = x + 18$

Nello sviluppo di videogiochi, a volte si usano equazioni per calcolare i punteggi. Un giocatore ha il triplo dei punti del suo amico. Se al giocatore togliamo $50$ punti, ora ha esattamente $250$ punti.

Imposta un'equazione in cui $x$ sia il punteggio dell'amico e risolvila per trovare quanti punti ha ciascuno.

Trova il valore del lato $x$ nel seguente rettangolo sapendo che il suo perimetro totale è di $34$ cm.

Risolvi queste equazioni di primo grado eliminando prima le parentesi. Ricorda di applicare con attenzione la proprietà distributiva:

1. a) $3(x - 2) = 12$
2. b) $2(x + 4) + 5 = 17$
3. c) $10 - (x - 3) = 8$

Tradurre enunciati dal linguaggio naturale al linguaggio algebrico è come imparare una nuova lingua. Traduci e risolvi la seguente situazione:

«Se al doppio di un numero sommi la sua metà, ottieni 25».

(Suggerimento: chiama $x$ il numero sconosciuto).

Una bilancia è in equilibrio. Sul piatto di sinistra ci sono $3$ scatole uguali (di peso $x$) e un peso da $2$ kg. Sul piatto di destra c'è un peso da $14$ kg.

Imposta l'equazione che rappresenta questo equilibrio e calcola quanto pesa ogni scatola.

Luca ha provato a risolvere l'equazione $5 - 2(x - 3) = 1$ sul suo quaderno e ha consegnato il seguente svolgimento:

Passaggio 1: $5 - 2x - 6 = 1$

Passaggio 2: $-1 - 2x = 1$

Passaggio 3: $-2x = 2$

Passaggio 4: $x = \frac{2}{-2} = -1$

Individua in quale passaggio ha commesso l'errore, spiega con parole tue quale proprietà o regola algebrica ha applicato in modo scorretto e risolvi correttamente l'equazione sul tuo quaderno, verificando la soluzione finale ottenuta sostituendola nell'uguaglianza iniziale.

Vogliamo costruire un'equazione di primo grado della forma $3x - k = 2(x + 1)$ per un'attività in classe, in modo che la sua soluzione sia esattamente $x = 5$.

1. a) Trova quale valore numerico deve avere la costante sconosciuta $k$ affinché sia soddisfatta tale condizione.
2. b) Ora crea tu un'equazione di primo grado diversa che contenga almeno due denominatori differenti (per esempio, con $2$ e con $3$) e la cui unica soluzione sia anch'essa $x = 5$. Dimostra che è corretta risolvendola passo per passo.

Risolvi la seguente equazione di primo grado assicurandoti di semplificare tutti i termini e di prestare attenzione ai cambi di segno davanti alle frazioni:

$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} + 1$

In un negozio di tecnologia, un mouse wireless, una tastiera e delle cuffie costano in totale $110$ €. Sappiamo che la tastiera costa il triplo del mouse e che le cuffie costano $10$ € in più della tastiera. Imposta un'equazione di primo grado e calcola il prezzo di ciascun articolo.

Un produttore di succhi vuole creare una nuova miscela «Tropical» combinando succo di ananas che costa $1,20$ €/litro con succo di mango che costa $1,80$ €/litro. Se vuole ottenere $60$ litri di miscela al prezzo di $1,40$ €/litro, quanti litri di succo di ananas deve utilizzare?

Trova tre numeri interi pari consecutivi tali che la somma dei primi due sia uguale al terzo più $14$ unità.

Due ciclisti, Lucia e Marco, partecipano a una gara benefica. Lucia parte dal traguardo con una velocità costante di $20$ km/h. Mezz'ora dopo, Marco parte dallo stesso punto inseguendola a una velocità di $25$ km/h. Quanto tempo impiegherà Marco a raggiungere Lucia da quando parte lui? A quale distanza dal punto di partenza si incontreranno?

Data l'equazione con un coefficiente sconosciuto $k$:

Calcola il valore che deve avere $k$ affinché la soluzione dell'equazione sia $x = 6$. Una volta trovato $k$, verifica che l'uguaglianza sia soddisfatta sostituendo entrambi i valori nell'equazione originale.

Considera la seguente equazione di primo grado: $$3(x - 4) + 5(x - 4) = 24$$

Per risolverla esistono due strade chiare:

• Strada A: applicare la proprietà distributiva nel primo membro eliminando le parentesi, ridurre i termini simili e ricavare l'incognita $x$.

• Strada B: raccogliere a fattor comune il binomio $(x - 4)$ nel primo membro, operare sui coefficienti e ricavare l'incognita.

Risolvi l'equazione seguendo entrambi i procedimenti passo per passo. Poi confronta i due metodi e giustifica quale ritieni più veloce e con minor rischio di errori di segno.

In una libreria di quartiere, Marco compra un romanzo per ragazzi che costa $18,50$ € e diversi fumetti manga identici che costano $7,50$ € l'uno. In cassa gli applicano un buono sconto diretto di $4$ € sull'importo totale dell'acquisto. Marco consegna una banconota da $50$ € per pagare e il commesso gli restituisce esattamente $5,50$ €.

1. a) Prima di scrivere qualsiasi equazione, arrotonda le quantità a numeri interi per stimare mentalmente quanti fumetti ha comprato approssimativamente (sarebbero più di $6$? meno di $2$?). Spiega il tuo ragionamento approssimato.
2. b) Imposta un'equazione di primo grado in cui l'incognita $x$ sia il numero di fumetti acquistati e risolvila con esattezza.
3. c) Verifica se il valore ottenuto coincide con la tua stima precedente e ragiona se una soluzione non intera avrebbe avuto senso in questo contesto reale.

Risolvi la seguente equazione di primo grado con coefficienti frazionari e termini annidati. Presta molta attenzione alla gestione dei segni negativi davanti alle frazioni:

Un designer di videogiochi sta configurando l'area di collisione quadrata di un personaggio. Se aumenta uno dei lati di $4\text{ cm}$ e riduce l'altro di $2\text{ cm}$, l'area del rettangolo risultante è maggiore di $20\text{ cm}^2$ rispetto all'area del quadrato originale. Qual è la misura del lato del quadrato originale?

Suggerimento: anche se compaiono termini in $x^2$, osserva come si semplificano svolgendo i calcoli.

Per riempire la piscina comunale di un paese si usano due tubature, A e B. La tubatura A è in grado di riempire la piscina da sola in $10$ ore. A causa di un guasto al sistema di scarico, c'è una perdita sul fondo che svuoterebbe la piscina piena in $30$ ore se le tubature fossero chiuse. Se apriamo contemporaneamente la tubatura A e la tubatura B, la piscina si riempie in esattamente $5$ ore (con la perdita aperta). Quanto tempo impiegherebbe la tubatura B a riempire la piscina da sola se non ci fosse la perdita?

In un laboratorio di chimica, uno studente deve ottenere $12$ litri di una soluzione acida al $25\%$. Sullo scaffale ha a disposizione solo due flaconi: uno con una soluzione di acido al $10\%$ e uno con una soluzione molto concentrata al $50\%$. Quanti litri deve mescolare da ciascun flacone per ottenere la miscela esatta di cui ha bisogno il suo esperimento?

Due droni di sorveglianza, Helios e Selene, partono da due basi poste a una distanza di $150\text{ km}$ l'una dall'altra. Entrambi volano nella stessa direzione e nello stesso verso (Helios insegue Selene). Helios vola a una velocità costante di $90\text{ km/h}$ e Selene a $60\text{ km/h}$. Se decollano nello stesso istante, quanto tempo impiegherà Helios a raggiungere Selene e a quale distanza dalla sua base di partenza avverrà l'incontro?

Nelle equazioni letterali dobbiamo saper ricavare una variabile in funzione delle altre. Ricava la variabile $x$ nella seguente uguaglianza, supponendo che tutti i parametri $a, b, c$ e $d$ siano noti e diversi da zero, con $a \neq d$:

Esprimi il risultato finale come un'unica frazione.

Un negozio di tecnologia lancia un'offerta su tablet e accessori. Alberto compra un tablet e una tastiera per un totale di $325\text{ €}$. Sa che sul tablet è applicato uno sconto del $20\%$ sul prezzo originale, mentre la tastiera, essendo un modello vecchio, ha uno sconto del $50\%$. Se Alberto ha risparmiato in totale $115\text{ €}$ rispetto ai prezzi originali, qual era il prezzo di vendita (senza sconto) del tablet e della tastiera?

Trova un numero di due cifre sapendo che la cifra delle unità supera di $3$ unità la cifra delle decine. Se a tale numero sommiamo il numero che si ottiene invertendo l'ordine delle sue cifre, otteniamo come risultato $121$. Imposta un'equazione di primo grado in una sola incognita per trovare il numero originale.

Nella bolletta mensile dell'elettricità di una famiglia in Italia con una tariffa fissa, l'importo da pagare si suddivide in: una quota fissa per la potenza impegnata di $15,60$ € al mese e un costo variabile per l'energia consumata di $0,16$ € per ogni chilowattora ($\text{kWh}$) consumato. Inoltre, a questa famiglia viene applicato uno sconto mensile di $4,40$ € come bonus di efficienza energetica.

Se la bolletta finale del mese di novembre ammonta esattamente a $49,60$ €:

1. a) Modellizza la situazione impostando un'equazione di primo grado che metta in relazione tutti i dati e permetta di calcolare il consumo $x$ (in $\text{kWh}$) del mese.
2. b) Risolvi l'equazione indicando ogni passaggio del trasporto dei termini e trova il consumo esatto.
3. c) Secondo dati statistici del settore energetico in Italia, il consumo medio di una famiglia con caratteristiche simili è di $270\text{ kWh}$ al mese. Interpreta il tuo risultato indicando se il consumo di questa famiglia è superiore o inferiore alla media nazionale e calcola quanti $\text{kWh}$ di differenza rappresenta.

Analizza la seguente equazione di primo grado in cui le lettere $a$ e $b$ rappresentano coefficienti costanti sconosciuti e $x$ è l'incognita:

1. a) Sviluppa e riduci entrambi i membri per scrivere l'equazione in forma canonica $A \cdot x = B$, esprimendo $A$ e $B$ in funzione di $a$ e $b$.
2. b) Determina quali valori concreti devono assumere $a$ e $b$ affinché l'equazione abbia infinite soluzioni (sia un'identità). Giustifica la tua deduzione basandoti sull'espressione $0x = 0$.
3. c) Determina quali condizioni devono soddisfare $a$ e $b$ affinché l'equazione non abbia soluzione (sia un'equazione impossibile, $0x = B$ con $B \neq 0$).
4. d) Se fissiamo il valore $b = 5$, trova quale valore esatto deve avere $a$ affinché l'unica soluzione dell'equazione sia $x = 2$, e verificalo sostituendo nell'equazione originale.