Razones y proporciones

Calcula el valor de la razón de cada par de cantidades e interpreta el resultado:

1. a) $3\ \text{kg}$ de cerezas cuestan $\text{RD\$}\ 630$.

1. b) Una grava ciclista recorre $95\ \text{km}$ en $4\ \text{h}$.

1. c) Una botella contiene $2\ \text{L}$ y un bidón, $25\ \text{L}$.

Dos varillas metálicas miden $8\ \text{dm}$ y $12\ \text{dm}$.

1. a) Calcula la razón entre la longitud de la primera y la de la segunda, y simplifícala.

1. b) Calcula la razón entre la segunda y la primera.

1. c) ¿Cómo son entre sí las dos razones obtenidas? ¿Ocurre siempre?

Un mapa de carreteras está dibujado a escala $1 : 300,000$.

1. a) Explica el significado de esa razón.

1. b) ¿Qué distancia real representan $5\ \text{cm}$ del mapa?

1. c) Dos pueblos distan $21\ \text{km}$ en la realidad. ¿A qué distancia están en el mapa?

Una lanzadora de jabalina entrena con una señal situada a $60\ \text{m}$ y tarda $4.8\ \text{s}$ en recorrer esa distancia en su carrera de impulso.

1. a) Calcula la razón entre la distancia y el tiempo, en $\text{m/s}$.

1. b) Exprésala en $\text{km/h}$.

1. c) ¿Es correcto calcular la razón entre $60\ \text{m}$ y $4.8\ \text{s}$ sin fijarse en las unidades? ¿Por qué hay que indicarlas siempre al interpretar una razón?

Comprueba, calculando el producto de extremos y el producto de medios, si los siguientes pares de razones forman una proporción:

1. a) $\frac{6}{4}$ y $\frac{15}{10}$

1. b) $\frac{5}{8}$ y $\frac{7}{12}$

1. c) $\frac{2.5}{4}$ y $\frac{5}{8}$

Con los números $3$, $6$, $4$ y $8$, forma:

1. a) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los extremos.

1. b) Una proporción en la que $3$ y $8$ sean los medios.

1. c) Comprueba en ambas que el producto de extremos es igual al producto de medios.

Halla el valor de $x$ en estas proporciones:

1. a) $\frac{x}{2.4} = \frac{7}{4.8}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

1. c) $\frac{1.5}{4.5} = \frac{x}{13.5}$

Halla el medio proporcional en cada caso, es decir, el valor positivo de $x$ que cumple la proporción continua:

1. a) $\frac{x}{4} = \frac{25}{x}$

1. b) $\frac{3}{x} = \frac{x}{27}$

1. c) $\frac{x}{2} = \frac{50}{x}$

Un carpintero fabrica marcos cuya parte decorativa central es un cuadrado. Para que el marco guarde la misma proporción en todos los tamaños, el lado $x$ del cuadrado debe ser el medio proporcional entre el ancho interior y el ancho exterior del marco.

1. a) Para un marco con ancho interior de $9\ \text{cm}$ y ancho exterior de $25\ \text{cm}$, plantea la proporción continua $\frac{9}{x} = \frac{x}{25}$ y halla el lado del cuadrado.

1. b) Comprueba que las dos razones valen lo mismo.

1. c) Si el ancho interior es de $8\ \text{cm}$ y el cuadrado decorativo mide $12\ \text{cm}$ de lado, ¿cuál es el ancho exterior del marco?

Una alumna afirma lo siguiente:

«Como $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$, entonces también se cumple $\frac{6}{10} = \frac{15}{9}$, porque solo he cambiado el orden de los números.»

1. a) Comprueba si la primera igualdad es una proporción verdadera.

1. b) Comprueba si la segunda igualdad también es cierta. ¿Ha acertado?

1. c) La regla correcta dice que en una proporción se pueden permutar los medios o permutar los extremos. Aplícala a $\frac{6}{9} = \frac{10}{15}$ y escribe dos proporciones equivalentes verdaderas.

Indica si cada afirmación es verdadera o falsa, suponiendo que $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ es una proporción verdadera. Justifícalo usando el producto de extremos y medios:

1. a) «$\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$»

1. b) «$\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$»

1. c) «$\frac{a + b}{b} = \frac{c + d}{d}$»

1. d) «$\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d}$»