Expresiones algebraicas
Un viaje en guagua por la Autopista Duarte cuesta $\text{RD}\$50$ por tramo. ¿Cuánto pagas en $x$ viajes? Pagas $50x$ pesos. Con una sola letra escribiste la respuesta para cualquier cantidad de viajes. Eso es el álgebra: usar letras para representar números que cambian o que todavía no conocemos.
El lenguaje algebraico
Una expresión algebraica combina números y letras (variables) con operaciones. Traducir del lenguaje cotidiano al algebraico, y también al revés, es la primera habilidad que necesitas:
| Lenguaje cotidiano | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número | $2x$ |
| Un número más 5 | $x + 5$ |
| El cuadrado de un número | $x^2$ |
| La mitad de un número menos 3 | $\frac{x}{2} - 3$ |
| La mitad de (un número menos 3) | $\frac{x - 3}{2}$ |
| Dos números consecutivos | $x,\ x + 1$ |
| Un número par / impar | $2n$ / $2n + 1$ |
Para leer una expresión en el otro sentido, di las operaciones en el mismo orden. Por ejemplo, $3x - 4$ es «el triple de un número, disminuido en 4».
Conectivos lógicos
Las condiciones matemáticas se enlazan con palabras como «y», «o», «no» y «si… entonces». Cada una tiene su símbolo y su relación con los conjuntos (diagramas de Venn-Euler):
| Conectivo | Símbolo | Conjuntos |
|---|---|---|
| y | $\wedge$ | intersección $A \cap B$ |
| o | $\vee$ | unión $A \cup B$ |
| no | $\neg$ | complemento $A'$ |
| si… entonces | $\Rightarrow$ | $A \subseteq B$ |
Ejemplo: «un número es par y mayor que 10» se escribe $x = 2n \wedge x > 10$. Los números que cumplen ambas condiciones están en la intersección: 12, 14, 16…
Patrones
Con las letras también se describen patrones. Si la figura 1 tiene 4 fichas, la 2 tiene 7 y la 3 tiene 10, cada figura suma 3 fichas más. La figura $n$ tiene $3n + 1$ fichas.
No todos los patrones crecen igual. Mira los puntos que forman triángulos: 3, 6, 10, 15…
Las diferencias entre figuras seguidas son $3, 4, 5, \dots$: ya no son constantes, así que la fórmula no es de la forma $3n + 1$. Hay un truco: dos figuras iguales encajan y forman un rectángulo de $(n+1)$ por $(n+2)$ puntos. Por ejemplo, dos triángulos de 3 puntos forman un rectángulo de $2 \times 3 = 6$. Entonces la figura $n$ tiene la mitad:
$$\frac{(n+1)(n+2)}{2} = \frac{n^2 + 3n + 2}{2}$$Compruébalo con $n = 3$: $\frac{4 \times 5}{2} = 10$. ✓
¿Por qué es de grado 2? Las diferencias $3, 4, 5, \dots$ no son constantes, pero crecen de uno en uno: las diferencias de las diferencias (las segundas diferencias) son siempre $1$. Cuando las primeras diferencias son constantes, el polinomio es de grado 1; cuando las segundas diferencias son constantes, es de grado 2.
En una tienda de aplicaciones para celulares, el costo de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ pesos. Además, hay una comisión fija de $90$ pesos…
En una tienda de aplicaciones para celulares, el costo de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ pesos. Además, hay una comisión fija de $90$ pesos por gastos de gestión en cada recibo (se emite un recibo por persona y por mes). Expresa en lenguaje algebraico:
- a) El costo total de un mes de suscripción.
- b) El costo de tres meses de suscripción para un mismo usuario.
- c) El costo de la suscripción de un mes para un grupo de 4 amigos si a cada uno se le aplica un descuento de $120$ pesos sobre el precio base $x$.
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos. Figura 1: Tiene 3 puntos (formando un triángulo). Figura 2: Tiene 6 puntos. Figura 3: Tiene 10 puntos. 1.…
Observa la siguiente secuencia de figuras formadas por puntos.
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Figura 1: Tiene 3 puntos (formando un triángulo).
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Figura 2: Tiene 6 puntos.
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Figura 3: Tiene 10 puntos.
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Dibuja la Figura 4 siguiendo el patrón de crecimiento.
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Encuentra una expresión algebraica (polinomio) en función de $n$ que nos permita calcular el número total de puntos de la Figura n. Pista: Relaciona estos números con el área de un rectángulo de lados $n+1$ y $n+2$.
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Utiliza tu expresión para calcular cuántos puntos tendría la Figura 20.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Monomios
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: $3x^2$ y $-7x^2$ lo son; $3x^2$ y $3x$ no. Solo los semejantes se pueden sumar o restar, y se suman sus coeficientes:
$$3x^2 - 7x^2 + x^2 = (3 - 7 + 1)x^2 = -3x^2$$Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado: | Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado | | :--- | :---: | :---: | :---: |…
Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado:
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-5x^2y$ | |||
| $\frac{3}{4}ab^3$ | |||
| $x^2yz^2$ | |||
| $-12$ |
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes: a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$ b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$ c)…
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:
- a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
- b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
- c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$
Polinomios
Un polinomio es una suma de monomios no semejantes, que son sus términos. Se escribe ordenado de mayor a menor grado:
$$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$$-
Grado del polinomio: el mayor grado de sus términos (aquí, 3).
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Coeficiente principal: el del término de mayor grado ($-2$).
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Término independiente: el que no lleva $x$ ($7$).
Clasificación
Por el número de términos: monomio (1), binomio (2), trinomio (3) y polinomio en general (más de 3).
Por el grado, en una variable:
| Grado | Nombre | Ejemplo |
|---|---|---|
| 0 | constante | $8$ |
| 1 | lineal | $3x - 2$ |
| 2 | cuadrático | $x^2 - 5x + 6$ |
| 3 | cúbico | $-2x^3 + 5x^2 - x + 7$ |
| 4 | cuártico | $2x^4 - 5x + 3$ |
Así, $x^2 - 5x + 6$ es un trinomio cuadrático y $x^3 - 4$ es un binomio cúbico.
Algunos polinomios tienen nombre propio:
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Nulo: $P(x) = 0$.
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Constante: solo tiene término independiente, como $P(x) = 8$.
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Mónico: su coeficiente principal es 1, como $x^2 - 3x + 2$.
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Ordenado: sus términos van de mayor a menor grado (o al revés).
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Completo: tiene todos los grados desde el mayor hasta el término independiente. $x^3 - 4$ es incompleto: le faltan $x^2$ y $x$.
Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el grado del polinomio? b) ¿Cuál es el coeficiente del término de…
Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones:
- a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
- b) ¿Cuál es el coeficiente del término de grado 2?
- c) ¿Cuál es el término independiente?
- d) Ordena el polinomio de forma creciente (de menor a mayor grado).
Valor numérico y raíces
El valor numérico de un polinomio para $x = a$ es lo que sale al sustituir $x$ por $a$ y operar. Se escribe $P(a)$.
Si $P(a) = 0$, se dice que $a$ es un cero o raíz del polinomio. En la gráfica, las raíces son los puntos donde la curva corta al eje $x$.
Aquí $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ tiene tres raíces: $-1$, $1$ y $2$. Compruébalo: $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.
Las raíces y los factores están conectados:
Por ejemplo, $2$ es raíz de $x^2 - 5x + 6$ porque $4 - 10 + 6 = 0$. Por eso $(x - 2)$ es factor: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican: a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$ b) $2(a + b)^2$…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican:
- a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$
- b) $2(a + b)^2$ para $a = -1$ y $b = 3$
- c) $\frac{x + 2y}{2}$ para $x = 4$ e $y = -3$
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el costo en centavos del alquiler en función de los minutos de…
Una empresa de alquiler de patinetas eléctricas utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el costo en centavos del alquiler en función de los minutos de uso ($x$):
$$ C(x) = 120x^2 - 300x + 9,000 $$Nota: Esta fórmula es un modelo promocional para usuarios VIP y es válida para trayectos cortos.
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Calcula el valor numérico del costo si utilizas la patineta durante 10 minutos.
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Si un usuario ha pagado exactamente 9,000 centavos, ¿cuántos minutos teóricamente ha estado usando la patineta según la fórmula? (Pista: observa el término independiente y encuentra todas las soluciones posibles).
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Desarrolla la expresión del costo para un tiempo de $(x + 3)$ minutos, es decir, calcula y simplifica $C(x+3)$.
Sumar, restar y multiplicar polinomios
Sumar o restar: se juntan los monomios semejantes. Al restar, el signo menos cambia todos los signos del polinomio que va entre paréntesis.
Multiplicar: se usa la propiedad distributiva, multiplicando cada término del primero por cada término del segundo. Se multiplican coeficientes y se suman los exponentes de la misma letra. Luego se reducen los semejantes.
Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios: a) $(3x^2 - 5x + 4) + (2x^2 + x - 6)$ b) $(x^3 - 2x^2 + 3) - (x^2 - 5x + 1)$ c) $(-4x^4 + 2x^2) + (4x^4 - x^2 + x)$
Realiza las siguientes sumas y restas de polinomios:
- a) $(3x^2 - 5x + 4) + (2x^2 + x - 6)$
- b) $(x^3 - 2x^2 + 3) - (x^2 - 5x + 1)$
- c) $(-4x^4 + 2x^2) + (4x^4 - x^2 + x)$
Considera los siguientes polinomios que representan las dimensiones y propiedades de diferentes cuerpos geométricos: $$ P(x) = 3x^2 - 5x + 1 $$ $$ Q(x) = 2x^2 + 4x - 2…
Considera los siguientes polinomios que representan las dimensiones y propiedades de diferentes cuerpos geométricos:
$$ P(x) = 3x^2 - 5x + 1 $$ $$ Q(x) = 2x^2 + 4x - 2 $$ $$ R(x) = x - 3 $$Realiza las siguientes operaciones combinadas y simplifica el resultado final:
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Calcula la diferencia: $P(x) - Q(x)$.
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Calcula el producto: $Q(x) \times R(x)$.
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Calcula: $2 \times P(x) - 3 \times Q(x)$.
Productos notables
Algunos productos aparecen tantas veces que conviene recordar su resultado. Se llaman productos notables.
¿Por qué sale $2ab$? Mira un cuadrado de lado $a + b$: se parte en un cuadrado $a^2$, un cuadrado $b^2$ y dos rectángulos $ab$.
Leídos al revés, sirven para factorizar: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$, porque $x^2$ es $x\cdot x$, $25$ es $5\cdot 5$ y $10x = 2 \cdot x \cdot 5$.
Un uso curioso: como $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$ se desarrolla con productos notables, se pueden demostrar propiedades de los números impares usando letras.
Utilizando las igualdades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia), desarrolla o factoriza las siguientes expresiones…
Utilizando las igualdades notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia y suma por diferencia), desarrolla o factoriza las siguientes expresiones algebraicas según corresponda. Relaciona el apartado 2 con la interpretación geométrica mostrada en la imagen.
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Desarrolla: $(3x + 2)^2$
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Desarrolla: $(x - 4)^2$
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Desarrolla: $(2x + 5)(2x - 5)$
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Factoriza el polinomio (escríbelo como cuadrado de un binomio): $x^2 + 10x + 25$
Analiza los siguientes productos notables incompletos. Tu tarea consiste en encontrar el valor de los términos que faltan (representados por espacios en blanco) y…
Analiza los siguientes productos notables incompletos. Tu tarea consiste en encontrar el valor de los términos que faltan (representados por espacios en blanco) y escribir la igualdad completa.
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$( \dots + 3y)^2 = 4x^2 + \dots + 9y^2$
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$(5x - \dots)^2 = \dots - 20x + 4$
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$(3x + \dots) \times (3x - \dots) = 9x^2 - 16$
Explica brevemente qué fórmula utilizaste en cada caso (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia).
Queremos demostrar algebraicamente una curiosidad matemática sobre los números impares. Sabemos que cualquier número impar se puede escribir de la forma $2n + 1$ (siendo…
Queremos demostrar algebraicamente una curiosidad matemática sobre los números impares.
Sabemos que cualquier número impar se puede escribir de la forma $2n + 1$ (siendo $n$ un número entero) y su consecutivo impar sería $2n + 3$.
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Escribe la expresión algebraica de la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos: $(2n+3)^2 - (2n+1)^2$.
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Desarrolla y simplifica dicha expresión al máximo.
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Basándote en el resultado simplificado, razona: ¿Es cierto que la diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de 8?
Perímetros y áreas con polinomios
Las medidas de una figura pueden depender de una letra. El perímetro suma los lados y el área multiplica base por altura. Ambos salen como polinomios.
Cuando la figura es compuesta, calcula el área de cada pieza y súmalas (o resta lo que sobra).
Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación: a)…
Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación:
- a) Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de la habitación.
- b) Escribe una expresión algebraica que represente el área de la habitación.
Observa la siguiente figura formada por un cuadrado de lado $x$ y un rectángulo adosado de base $3$ y altura $x$. a) Escribe el polinomio que representa el área total de…
Observa la siguiente figura formada por un cuadrado de lado $x$ y un rectángulo adosado de base $3$ y altura $x$.
- a) Escribe el polinomio que representa el área total de la figura.
- b) Si el lado $x$ vale $4$ cm, ¿cuál es el área total de la figura?
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos unidos. Las longitudes están dadas en función de una variable indeterminada $x$. Tu tarea consiste en: 1.…
Observa la siguiente figura compuesta por dos rectángulos unidos. Las longitudes están dadas en función de una variable indeterminada $x$.
Tu tarea consiste en:
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Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el perímetro total de la figura.
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Encontrar la expresión algebraica simplificada (polinomio) que representa el área total de la figura.
Factorización
Factorizar es escribir un polinomio como producto de otros más sencillos. Es el camino inverso a multiplicar. Casos más frecuentes:
1. Factor común. Por la propiedad distributiva, $ab + ac = a(b + c)$. Se saca la letra con el menor exponente y el mayor divisor común de los coeficientes.
$$6x^3 - 9x^2 = 3x^2(2x - 3)$$2. Factor común por agrupación. Si hay cuatro términos, se agrupan de dos en dos y aparece un factor común:
$$x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = x^2(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 3)$$3. Diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto: los productos notables al revés: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ y $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$.
4. Trinomio $x^2 + bx + c$. Busca dos números que sumen $b$ y multipliquen $c$:
$$x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \quad \text{porque } 2 + 3 = 5 \text{ y } 2 \cdot 3 = 6.$$5. Trinomio $ax^2 + bx + c$ (con $a \ne 1$). Busca dos números que multipliquen $ac$ y sumen $b$; parte el término medio y agrupa.
Simplificar fracciones algebraicas
Para simplificar una fracción algebraica, factoriza arriba y abajo y elimina los factores comunes. Solo se pueden eliminar factores, nunca sumandos.
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}$$(con $x \neq 0$ y $x \neq -3$, para que el denominador no valga 0).
Tenemos una caja de cartón con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyo volumen está dado por la expresión algebraica: $$ V(x) = x^3 + 4x^2 + 3x $$ 1. Extrae el…
Tenemos una caja de cartón con forma de ortoedro (prisma rectangular) cuyo volumen está dado por la expresión algebraica:
$$ V(x) = x^3 + 4x^2 + 3x $$-
Extrae el factor común en la expresión del volumen.
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Factoriza completamente el polinomio resultante para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden al largo, ancho y alto de la caja.
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Si sabemos que $x = 5$ cm, ¿cuáles son las dimensiones numéricas reales de la caja?
El área de un rectángulo viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$. 1. Factoriza el polinomio $A(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden…
El área de un rectángulo viene dada por el polinomio $A(x) = 2x^2 + 7x + 3$.
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Factoriza el polinomio $A(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a la base y la altura del rectángulo, sabiendo que ambas expresiones son binomios con coeficientes enteros.
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Si sabemos que el valor de $x$ es tal que $x > 0$, calcula cuánto valdría el perímetro del rectángulo en función de $x$. Simplifica la expresión resultante al máximo.
Simplificación de fracciones algebraicas. Recuerda que para simplificar debes factorizar primero tanto el numerador como el denominador utilizando productos notables o…
Simplificación de fracciones algebraicas. Recuerda que para simplificar debes factorizar primero tanto el numerador como el denominador utilizando productos notables o sacando factor común.
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
- $$ \frac{4x^2 - 9}{2x + 3} $$
- $$ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4} $$
- $$ \frac{x^3 + 2x^2}{x^2 + 4x + 4} $$
Teorema del resto y división sintética
Para saber si $(x - a)$ divide a $P(x)$ no hace falta dividir toda la vida. Al dividir, $P(x) = (x - a)\,C(x) + R$. Si sustituyes $x = a$, el paréntesis se anula y queda $P(a) = R$.
Para dividir entre $(x + 2)$ usa $a = -2$, porque $x + 2 = x - (-2)$.
División sintética (regla de Ruffini)
Cuando el divisor es $x - a$, se puede dividir solo con los coeficientes. Se escribe $a$ a la izquierda, se baja el primer coeficiente, y cada resultado se multiplica por $a$ y se suma al coeficiente siguiente. El último número es el resto.
El cociente tiene un grado menos que $P(x)$ y los números de la última fila, sin el último, son sus coeficientes.
Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero. Dado el polinomio…
Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero.
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:
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Utiliza la regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. ¿Cuál es el residuo? ¿Es $x=1$ una raíz del polinomio?
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Sin usar Ruffini, calcula el valor numérico $P(-2)$. ¿Es $x=-2$ una raíz?
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Escribe el polinomio $P(x)$ como producto de sus factores irreducibles sabiendo sus raíces.
Halla el valor de la constante $k$ en los siguientes casos, aplicando el Teorema del Resto: 1. Para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2$ entre…
Halla el valor de la constante $k$ en los siguientes casos, aplicando el Teorema del Resto:
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Para que la división del polinomio $P(x) = x^3 - 3x^2 + kx - 2$ entre $(x+2)$ sea exacta (es decir, que el resto sea 0).
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Para que el resto de dividir $Q(x) = 2x^2 + kx + 5$ entre $(x-1)$ sea igual a 4.
Tenemos un polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12$. Sabemos que al realizar la división de este polinomio entre el binomio $(x + 2)$, el residuo obtenido es 40.…
Tenemos un polinomio $P(x) = 2x^4 - 5x^3 + kx^2 - 12$. Sabemos que al realizar la división de este polinomio entre el binomio $(x + 2)$, el residuo obtenido es 40.
Utilizando el Teorema del Residuo (sin realizar la división larga ni Ruffini completo), determina el valor de $k$. Una vez hallado el valor de $k$, comprueba si $x=2$ es una raíz del polinomio resultante.
Volúmenes y anillos: problemas con polinomios
Muchos problemas piden construir un polinomio a partir de un dibujo. Estrategia: define la letra, escribe cada medida en función de ella y aplica la fórmula.
Un camino de ancho $3$ m alrededor de un jardín rectangular de $x$ por $2x$ agrega 3 m por cada lado. Las medidas totales son $x + 6$ y $2x + 6$. Para un anillo de radios $R$ y $r$ el área es $A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$, y si los radios son binomios, los productos notables simplifican el resultado.
En un estudio de arquitectura están diseñando una nueva plaza rectangular para un liceo. El diseño consta de una zona ajardinada central rectangular rodeada por un…
En un estudio de arquitectura están diseñando una nueva plaza rectangular para un liceo. El diseño consta de una zona ajardinada central rectangular rodeada por un camino pavimentado de anchura uniforme.
Sabemos que la zona ajardinada interior tiene unas dimensiones de $x$ metros de ancho y el doble de largo, es decir, $2x$ metros. El camino que rodea al jardín tiene una anchura constante de 3 metros en todos sus lados.
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Dibuja un esquema de la situación.
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Escribe la expresión algebraica reducida que representa el área total de la plaza (jardín más camino).
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Escribe la expresión algebraica que representa el área del camino pavimentado (la zona gris en el dibujo).
Una empresa de paquetería quiere fabricar cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartón de 40 cm de largo por 30 cm de ancho. Para ello, se cortan cuatro…
Una empresa de paquetería quiere fabricar cajas sin tapa a partir de láminas rectangulares de cartón de 40 cm de largo por 30 cm de ancho. Para ello, se cortan cuatro cuadrados iguales de lado $x$ en las esquinas y se doblan las pestañas resultantes hacia arriba.
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Escribe el polinomio que expresa el volumen de la caja en función de $x$.
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Determina el volumen de la caja si cortamos cuadrados de 5 cm de lado.
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¿Tendría sentido físico cortar cuadrados de 16 cm de lado? Razona tu respuesta basándote en las dimensiones de la lámina.
Se quiere construir una pieza metálica con forma de corona circular (un anillo plano). El radio exterior del anillo es $R$ y el radio del hueco interior es $r$. 1.…
Se quiere construir una pieza metálica con forma de corona circular (un anillo plano).
El radio exterior del anillo es $R$ y el radio del hueco interior es $r$.
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Escribe la expresión algebraica del área de la pieza ($A$) utilizando $\pi$, $R$ y $r$.
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Sabiendo que el radio exterior es $x + 3$ y el radio interior es $x - 3$:
a) Sustituye estos valores en la fórmula del área.
b) Utiliza las igualdades notables para simplificar la expresión del área. El resultado final debe ser un monomio o polinomio muy sencillo multiplicado por $\pi$.
Resumen
Vuelve al principio: $x$ viajes en guagua a $\text{RD}\$50$ cuestan $50x$ pesos. Esa expresión es un monomio de grado 1, y con ella calculas el costo para cualquier valor de $x$.