Proporcionalidad inversa
Para el paseo de fin de curso, los estudiantes alquilan una guagua. Si van $40$ alumnos, cada uno paga $\text{RD}\$900$. Si van solo $20$, cada uno tendría que pagar $\text{RD}\$1{,}800$. La mitad de alumnos, el doble de pasaje por cabeza. Cuando una magnitud sube y la otra baja en la misma proporción, son inversamente proporcionales. ¿Cómo se calculan esos valores sin adivinar? Eso es lo que verás aquí.
Magnitudes inversamente proporcionales
Ejemplo: se alquila una guagua por $\text{RD}\$36{,}000$ y el costo se reparte a partes iguales.
| Alumnos ($x$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| Pesos por alumno ($y$) | 3,600 | 1,800 | 1,200 | 900 | 600 |
| $x \times y$ | 36,000 | 36,000 | 36,000 | 36,000 | 36,000 |
La constante $k = 36{,}000$ es el costo total de la guagua, que no cambia.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de amigos que se juntan para comprar un…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de amigos que se juntan para comprar un regalo de $\text{RD\$}\ 3\,600$ y la cantidad de dinero que debe poner cada uno.
- b) El tiempo que dejas cargando un celular y el porcentaje de batería que recupera.
- c) La velocidad a la que camina un excursionista y el tiempo que tarda en recorrer una ruta de $10 \text{ km}$.
- d) El número de páginas de un libro y el peso total del mismo.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa $k$.
| Magnitud A | $2$ | $4$ | $6$ | ... | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Magnitud B | $12$ | ... | ... | $3$ | ... |
Un grupo de estudiantes de 3.° de secundaria está organizando una cena de fin de curso. El restaurante les ha dado un presupuesto fijo de $72\,000$ pesos por el alquiler…
Un grupo de estudiantes de 3.° de secundaria está organizando una cena de fin de curso. El restaurante les ha dado un presupuesto fijo de $72\,000$ pesos por el alquiler del salón y el menú especial, que se repartirá a partes iguales entre todos los asistentes.
Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla para analizar cómo varía el precio por persona dependiendo de cuántos alumnos se anoten finalmente:
| No. de alumnos ($x$) | $15$ | $20$ | $24$ | $30$ | $40$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio por alumno ($y$) | $4\,800$ pesos |
Calcula la constante de proporcionalidad inversa $k'$ y explica qué significado tiene en este contexto.
La gráfica: una hipérbola
Los puntos de una proporcionalidad inversa no forman una recta: forman una curva llamada hipérbola, que se acerca a los ejes pero nunca los toca (ni $x$ ni $y$ valen $0$).
Fíjate al mover el deslizador: en cualquier punto, $x \times y$ da siempre $k$.
Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los…
Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los $30 \text{ km/h}$, ¿cuántos minutos tardaría en realizar el mismo recorrido?
Para completar un desafío de una aplicación de entrenamiento, Lucía debe recorrer una distancia de $12$ km con su patineta eléctrica. Si mantiene una velocidad constante…
Para completar un desafío de una aplicación de entrenamiento, Lucía debe recorrer una distancia de $12$ km con su patineta eléctrica. Si mantiene una velocidad constante de $15$ km/h, tarda exactamente $48$ minutos.
Si al día siguiente decide ir más tranquila a una velocidad de $10$ km/h para ahorrar batería, ¿cuántos minutos tardará en completar el mismo recorrido? ¿Y si quisiera tardar solo media hora, a qué velocidad debería ir?
Un grupo de biólogos marinos estudia la relación entre la presión y el volumen de un gas en el interior de un dispositivo de muestreo (Ley de Boyle). A nivel del mar…
Un grupo de biólogos marinos estudia la relación entre la presión y el volumen de un gas en el interior de un dispositivo de muestreo (Ley de Boyle). A nivel del mar ($1$ atm de presión), el gas ocupa un volumen de $24$ litros. Al sumergirse a una profundidad determinada, la presión aumenta a $3.2$ atm. ¿Cuál será el nuevo volumen del gas? Si el dispositivo solo soporta una compresión máxima que deje el volumen en $5$ litros, ¿cuál es la presión máxima que puede soportar antes de romperse?
Regla de tres inversa
Un grupo de $4$ estudiantes de 3° de secundaria ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo…
Un grupo de $4$ estudiantes de 3° de secundaria ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo impecable. Si finalmente se unen otros $4$ amigos más (siendo $8$ en total), ¿cuánto tiempo tardarán en terminar la limpieza si todos trabajan al mismo ritmo?
Para el viaje de fin de curso, los alumnos han alquilado un autobús. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $\text{RD\$}\ 900$. A última hora, $10…
Para el viaje de fin de curso, los alumnos han alquilado un autobús. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $\text{RD\$}\ 900$. A última hora, $10$ alumnos se enferman y no pueden ir. ¿Cuánto deberá pagar cada uno de los alumnos restantes para cubrir el costo total del autobús?
Una protectora de animales ha recibido una donación de sacos de pienso. Con los $45$ perros que tienen actualmente en el refugio, hay comida suficiente para $20$ días.…
Una protectora de animales ha recibido una donación de sacos de pienso. Con los $45$ perros que tienen actualmente en el refugio, hay comida suficiente para $20$ días.
Sin embargo, tras una campaña de rescate, el número de perros aumenta hasta los $60$. ¿Cuántos días durará ahora la misma cantidad de pienso? Si quisieran que la comida durase $25$ días, ¿cuál es el número máximo de perros que podrían mantener en el refugio?
Reparto inversamente proporcional
A veces hay que repartir una cantidad de modo que quien tiene más de algo reciba menos. Por ejemplo, un premio que se reparte según los errores cometidos: menos errores, más premio. Eso es un reparto inversamente proporcional.
La idea: repartir de forma inversamente proporcional a $a, b, c$ equivale a repartir de forma directamente proporcional a sus inversos $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$. Para evitar fracciones, se multiplican los inversos por un denominador común y se reparte como en la proporcionalidad directa.
En un concurso de diseño de videojuegos, el jurado reparte un premio de $168\,000$ pesos de forma inversamente proporcional al número de errores detectados en la fase de…
En un concurso de diseño de videojuegos, el jurado reparte un premio de $168\,000$ pesos de forma inversamente proporcional al número de errores detectados en la fase de testeo.
El equipo "Pixel" tuvo $2$ errores, el equipo "Voxel" tuvo $4$ errores y el equipo "Sprite" tuvo $5$ errores. ¿Qué cantidad de dinero recibirá cada equipo?
Proporcionalidad compuesta
Cuando intervienen tres o más magnitudes, se compara cada una con la incógnita por separado (suponiendo que las demás no cambian) para ver si es directa o inversa.
Tres llaves iguales tardan $10$ horas en llenar un depósito de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté…
Tres llaves iguales tardan $10$ horas en llenar un depósito de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté lista antes de que empiecen las clases.
¿Cuántas llaves del mismo tipo habría que añadir para que el depósito se llene en solo $6$ horas? Expresa el resultado en número de llaves adicionales.
Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares. Calcula cuántas impresoras de las mismas…
Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares.
Calcula cuántas impresoras de las mismas características se necesitarían para fabricar esas mismas $20$ maquetas en tan solo $100$ minutos. (Ten cuidado con las unidades de tiempo antes de realizar los cálculos).
Una alcaldía contrata a una brigada de $15$ operarios para construir un parque de patinaje en $20$ días, trabajando $6$ horas diarias. Tras $8$ días de trabajo, la…
Una alcaldía contrata a una brigada de $15$ operarios para construir un parque de patinaje en $20$ días, trabajando $6$ horas diarias. Tras $8$ días de trabajo, la alcaldía solicita que la obra esté terminada $4$ días antes de lo previsto para que coincida con las fiestas patronales. En ese mismo momento, $3$ operarios causan baja. ¿Cuántas horas diarias deberán trabajar los operarios restantes para cumplir con el nuevo plazo de entrega?