Aproximación y errores

En la pantalla de tu calculadora aparece el número irracional $\sqrt{10} = 3.16227766...$

Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala realizando las aproximaciones indicadas para ese número:

Estás ayudando a organizar una carrera solidaria en tu instituto. Al calcular la distancia exacta de un tramo del recorrido con el GPS, obtienes 2.3458 km.

Para hacer los carteles informativos, necesitas simplificar esta cifra. Escribe cómo quedaría esta distancia si aproximamos por redondeo:

1. a) A las unidades (km).

1. b) A las décimas.

1. c) A las centésimas.

Para el apartado c), ayúdate de la siguiente recta numérica, que muestra el tramo entre 2.34 y 2.35 y dónde cae el número:

Has ido al supermercado a comprar ingredientes para una cena. Los precios reales de los productos son:

• Pasta: 1.85 pesos

• Salsa de tomate: 2.15 pesos

• Queso rallado: 3.48 pesos

• Refresco: 1.25 pesos

1. a) Haz una estimación rápida del coste total redondeando cada precio a las unidades antes de sumar.
2. b) Calcula la suma exacta de los precios.
3. c) Calcula la diferencia (error absoluto) entre tu estimación y el precio real. ¿Crees que ha sido una buena estimación para saber si llevabas 10 pesos en el bolsillo?

En muchas gasolineras, el precio del combustible se muestra con tres decimales (milésimas de pesos), aunque nosotros pagamos con monedas que solo llegan a los centavos (centésimas).

El precio del diésel hoy es de $1.489$ pesos/litro.

Vas a echar exactamente $35$ litros.

1. a) Calcula el precio real exacto multiplicando los $35$ litros por el precio con tres decimales.
2. b) Calcula el precio si primero redondeamos el precio del litro a dos decimales ($1.49$ pesos/L).
3. c) ¿Cuál es la diferencia en pesos entre ambos métodos? ¿Quién sale ganando con el redondeo previo, el cliente o la gasolinera?

Un famoso streamer ha subido un vídeo que tiene exactamente 3,894,215 visualizaciones.

1. a) Escribe esta cantidad redondeada a los millones.
2. b) Escribe la cantidad redondeada a las centenas de millar.
3. c) ¿Cuántas cifras significativas has utilizado en el apartado b?

En el ámbito científico y tecnológico es crucial saber con qué precisión estamos trabajando. Redondea los siguientes números a tres cifras significativas:

1. a) La cantidad de visitas de un video viral: $14\,592\,301$.
2. b) La masa de una partícula de polvo: $0.00040961$ gramos.
3. c) El número $\pi$: $3.141592...$
4. d) La capacidad de un disco duro en bytes: $1\,024\,576\,000$.

Después, expresa cada resultado utilizando la notación científica.

Al medir la longitud de tu mesa de estudio, el valor real de fábrica es de 120 cm. Tú utilizas una cinta métrica y obtienes una medida de 119 cm.

1. a) Calcula el error absoluto ($E_a$) cometido en tu medición. Recuerda que el error absoluto es la diferencia en valor positivo entre el valor real y el aproximado: $E_a = |V_{real} - V_{aprox}|$.
2. b) Si tu compañero mide el pasillo del liceo, que mide realmente 5000 cm, y obtiene 4999 cm, su error absoluto es de 1 cm, igual que el tuyo. ¿Significa esto que ambas mediciones tienen la misma precisión? Razona tu respuesta (puedes apoyarte en el concepto de error relativo).

Vamos a calcular el error relativo ($E_r$) para comparar dos pesajes distintos. Recuerda que la fórmula es $E_r = \frac{E_a}{|V_{real}|}$.

1. Caso A: Pesas una manzana cuyo peso real es 200 g y tu balanza marca 205 g.

2. Caso B: Pesas a tu perro cuyo peso real es 20,000 g (20 kg) y la báscula marca 20,005 g.

Calcula el error relativo en ambos casos (puedes expresarlo en forma decimal o porcentaje) e indica qué medición ha sido más precisa (de mayor calidad).

Dos estudiantes realizan mediciones distintas para un proyecto de ciencias.

• Lucía mide la longitud de un campo de fútbol y obtiene $105$ m, con un error absoluto de $0.5$ m.

• Marcos mide la longitud de la pantalla de un móvil y obtiene $15$ cm, con un error absoluto de $0.1$ cm.

¿Cuál de las dos mediciones es más precisa (tiene mayor calidad)? Justifica tu respuesta calculando los errores relativos de ambas medidas.

Calcula el error relativo cometido en las siguientes aproximaciones e indica cuál de ellas es la peor aproximación (la que tiene mayor error relativo):

1. a) Aproximar la fracción $\frac{1}{3}$ como $0.33$.
2. b) Aproximar el número $\sqrt{2}$ como $1.41$.
3. c) Aproximar un presupuesto de $9\,000\,000$ pesos como $8\,400\,000$ pesos.

Mira la siguiente imagen que representa el velocímetro digital de una bicicleta eléctrica:

El velocímetro solo muestra números enteros (sin decimales) y marca 24 km/h mediante redondeo a las unidades.

Esto significa que la velocidad real no es exactamente 24 km/h, sino que está comprendida en un intervalo. ¿Entre qué dos valores (cota inferior y cota superior) se encuentra la velocidad real de la bicicleta?

Las básculas de baño digitales suelen tener una precisión de $100$ gramos ($0.1$ kg). Esto significa que si la báscula marca $54.2$ kg, el peso real podría estar un poco por encima o un poco por debajo, pero redondeado a ese decimal.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles para un peso medido de $54.2$ kg.
2. b) ¿Cuál es la cota de error absoluto de esta báscula?

En las noticias han anunciado que a una manifestación han acudido "aproximadamente 25,000 personas".

1. a) Si sabemos que esa cifra se ha obtenido redondeando a los millares, ¿cuál es el número máximo y mínimo de personas que podrían haber asistido realmente?
2. b) Representa este intervalo en la recta numérica.
3. c) ¿Cuál es el error absoluto máximo que se podría estar cometiendo con ese titular?

Un velocímetro digital de una bicicleta marca la velocidad con un solo decimal. En un momento dado, marca $24.5 \text{ km/h}$.

Sabemos que este aparato aproxima por redondeo a la décima más cercana.

1. a) Escribe el intervalo de valores reales posibles en el que se encuentra la velocidad exacta de la bicicleta. Es decir, ¿cuál es la velocidad mínima y máxima que podría llevar el ciclista para que el aparato marque 24.5?
2. b) Si el ciclista mantiene esa velocidad durante 2 horas exactas, ¿cuál es la diferencia máxima en kilómetros (cota de error absoluto) entre la distancia calculada con el valor 24.5 y la distancia real posible?