Parámetros estadísticos
Wilkin y Starling juegan baloncesto en el liceo y los dos promedian 20 puntos por partido. Wilkin anota casi siempre entre 19 y 21. Starling alterna partidos de 5 puntos con partidos de 35. ¿A quién pondrías a jugar el último cuarto? Un solo número no lo cuenta todo: hace falta saber dónde está el centro de los datos y cuánto se dispersan.
Media, mediana y moda
Cambia los datos y mira dónde quedan la media y la mediana:
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se preguntó a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:…
En un estudio sobre el uso de redes sociales, se preguntó a un grupo de adolescentes cuántas horas al día dedican a ver videos en TikTok. Los resultados obtenidos son:
$2, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 5, 2, 1$
Identifica la población del estudio y calcula la moda de las horas de uso.
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes: $12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$ Calcula la…
Siete amigos comparan el número de mensajes que tienen sin leer en su aplicación de mensajería. Los datos son los siguientes:
$12, 15, 8, 20, 15, 14, 11$
Calcula la media aritmética ($\bar{x}$) del número de mensajes pendientes de este grupo.
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado los kilómetros que ha corrido cada día para preparar una carrera: $5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$ Halla la…
Durante una semana de entrenamiento, una atleta ha registrado los kilómetros que ha corrido cada día para preparar una carrera:
$5, 8, 10, 12, 15, 18, 21$
Halla la mediana ($Me$) de la distancia recorrida. ¿Qué significado tiene este valor en relación con el total de los días entrenados?
Parámetros con tablas de frecuencias
Cuando los datos se repiten mucho, se organizan en una tabla. Cada valor $x_i$ cuenta tantas veces como indica su frecuencia absoluta $f_i$, y $N=\sum f_i$ es el total de datos.
$$\bar{x} = \frac{\sum x_i f_i}{N}$$Datos agrupados en intervalos
Si los datos vienen en intervalos, ya no conocemos los valores exactos. Usamos la marca de clase $x_i$, que es el punto medio del intervalo: $x_i=\dfrac{L_i+L_s}{2}$. Con ella la media se calcula igual que antes, y el resultado es una aproximación.
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado: | Faltas ($x_i$) | Nº alumnos…
Un profesor ha organizado en una tabla de frecuencias el número de faltas de ortografía que han tenido sus alumnos en el último dictado:
| Faltas ($x_i$) | Nº alumnos ($f_i$) |
|---|---|
| $0$ | $8$ |
| $1$ | $12$ |
| $2$ | $6$ |
| $3$ | $4$ |
Calcula la media del número de faltas de la clase utilizando los datos de la tabla.
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:…
Un grupo de 20 adolescentes ha anotado cuántas veces han ido al cine en los últimos seis meses. Los datos obtenidos son los siguientes:
$2, 3, 0, 1, 5, 3, 2, 1, 0, 0, 2, 4, 3, 2, 1, 1, 6, 2, 0, 3$
Organiza estos datos en una tabla de frecuencias y calcula las medidas de centralización: la media aritmética ($\bar{x}$), la mediana ($Me$) y la moda ($Mo$). ¿Cuál de ellas consideras que representa mejor al grupo?
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus socios en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla…
Un club de e-sports ha registrado el tiempo (en minutos) que tardan sus socios en completar un nivel difícil de un videojuego. Los resultados se muestran en esta tabla de datos agrupados:
| Tiempo (min) | [10, 20) | [20, 30) | [30, 40) | [40, 50) |
|---|---|---|---|---|
| N.º jugadores | 4 | 12 | 8 | 6 |
Calcula la media aritmética y la desviación típica de la distribución utilizando las marcas de clase.
Cuartiles y diagrama de caja
Igual que la mediana parte los datos ordenados en dos mitades, los cuartiles los parten en cuatro tramos con el mismo número de datos:
-
$Q_1$: primer cuartil, deja por debajo el 25 % de los datos.
-
$Q_2$: la mediana (50 %).
-
$Q_3$: tercer cuartil, deja por debajo el 75 %.
El diagrama de caja y bigotes resume todo en un dibujo. Los bigotes van del mínimo al máximo, la caja va de $Q_1$ a $Q_3$ y una raya marca la mediana.
Calcular cuartiles paso a paso
Usaremos esta convención: ordena los datos y halla la mediana. Luego toma como $Q_1$ y $Q_3$ las medianas de las mitades inferior y superior. Si el número de datos es impar, no incluyas la mediana en las mitades.
Leer un diagrama de caja
Si $Me-Q_1$ y $Q_3-Me$ son parecidos, la distribución es casi simétrica. Si un lado es mucho más largo, hay asimetría hacia ese lado, y ahí los datos están más dispersos. Para ubicar un dato: si es mayor que $Q_3$, está en el 25 % superior.
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 3° de secundaria y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:…
Se ha medido la estatura de un grupo de estudiantes de 3° de secundaria y se han ordenado los datos de menor a mayor. Los valores de los cuartiles obtenidos son:
$Q_1 = 158 \text{ cm}, Q_2 = 165 \text{ cm}, Q_3 = 172 \text{ cm}$
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana?
- b) ¿Qué porcentaje de alumnos mide $172 \text{ cm}$ o menos?
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los estudiantes de 3.° de secundaria a leer libros por placer. Los parámetros de posición…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de horas semanales que dedican los estudiantes de 3.° de secundaria a leer libros por placer. Los parámetros de posición obtenidos son:
$Mín = 0$; $Q_1 = 2$; $Me = 4$; $Q_3 = 7$; $Máx = 12$
Dibuja el diagrama de caja y bigotes (Box-plot) correspondiente. Si un alumno lee 6 horas a la semana, ¿en qué cuarto de la población se encuentra (entre el 0-25%, 25-50%, 50-75% o 75-100%)?
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación para celular en una muestra de adolescentes: Basándote en el…
Observa el siguiente diagrama de caja (box-plot) que representa las horas de uso semanales de una aplicación para celular en una muestra de adolescentes:
Basándote en el gráfico, responde:
- a) ¿Cuál es el valor de la mediana, el primer cuartil ($Q_1$) y el tercer cuartil ($Q_3$)?
- b) Calcula el rango intercuartílico ($RIC$).
- c) Razona si la distribución es simétrica o si presenta asimetría. ¿En qué mitad de los datos hay mayor dispersión?
Dispersión: rango, varianza y desviaciones
Volvamos a Wilkin y Starling. Estos son sus puntos en cuatro partidos: los dos tienen media 20, pero no se parecen en nada.
Se elevan las distancias al cuadrado (o se toman en valor absoluto) para que las distancias positivas y negativas no se cancelen. Si no, la suma sería siempre 0.
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero. Sabiendo que las temperaturas han…
En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas máximas registradas en un refugio de montaña durante los primeros 5 días de enero.
Sabiendo que las temperaturas han sido $4^\circ C, 6^\circ C, 2^\circ C, 8^\circ C$ y $5^\circ C$, calcula el rango o recorrido de la temperatura en esos días.
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas. Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$ Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$ Ambos equipos tienen la…
Dos equipos de e-sports han anotado sus puntuaciones en las últimas 5 partidas.
-
Equipo A: $85, 88, 90, 92, 95$
-
Equipo B: $60, 75, 90, 105, 120$
Ambos equipos tienen la misma media, $\bar{x} = 90$. Sin realizar cálculos complejos de desviación típica, observa los datos y explica cuál de los dos equipos es más regular (tiene menos dispersión) y por qué.
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones,…
En una clase de Educación Física, se ha medido el tiempo de recuperación de dos grupos tras una carrera. Ambos grupos tienen la misma media de pulsaciones, $\bar{x} = 85$ ppm. Sin embargo, la varianza del Grupo 1 es $S^2 = 16$ y la del Grupo 2 es $S^2 = 100$.
- a) Calcula la desviación típica de cada grupo.
- b) ¿En cuál de los dos grupos los alumnos tienen un estado de forma más similar entre ellos? Razona tu respuesta basándote en la dispersión.
Dispersión con frecuencias
Con una tabla, cada distancia cuenta tantas veces como su frecuencia:
$$s^2=\frac{\sum f_i(x_i-\bar{x})^2}{N} \qquad DM=\frac{\sum f_i|x_i-\bar{x}|}{N}$$Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos: A partir de…
Observa la siguiente representación de un conjunto de datos sobre una recta numérica. Los puntos representan el número de mascotas que tienen varios vecinos:
A partir de la gráfica, escribe la lista de datos y calcula la moda ($Mo$) y el rango.
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos: | Peso en kg…
Una empresa de mensajería analiza el peso de los paquetes que transporta. Los datos se han agrupado en la siguiente tabla de frecuencias por intervalos:
| Peso en kg $[L_i, L_s)$ | N.º de paquetes ($f_i$) |
|---|---|
| $[0, 2)$ | $12$ |
| $[2, 4)$ | $25$ |
| $[4, 6)$ | $38$ |
| $[6, 8)$ | $15$ |
| $[8, 10)$ | $10$ |
Calcula la media aritmética, la varianza y la desviación típica de la distribución. Para ello, identifica primero las marcas de clase ($x_i$) de cada intervalo.
Comparar y decidir
Dos conjuntos con la misma media se comparan por su dispersión. Dos equipos de béisbol de liceo tardan, en minutos, en armar su alineación: A: 8, 10, 12 y B: 2, 10, 18. Los dos tienen media 10, pero $s_A\approx1.63$ y $s_B\approx6.53$. Si necesitas tiempos previsibles, A es más regular.
Pero la desviación típica por sí sola engaña cuando las medias son muy distintas. Una desviación de 5 es enorme si la media es 10 y diminuta si la media es 1,000.
Vuelve al principio: Wilkin y Starling tienen la misma media (20 puntos), pero Wilkin tiene una desviación típica pequeña y Starling una grande. Para asegurar puntos en un partido ajustado, pondrías a Wilkin. Si hace falta una anotación extraordinaria, quizá arriesgarías con Starling.
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de baloncesto en sus últimos 5 partidos: Jugador A:…
Observa los siguientes dos conjuntos de datos que representan los puntos obtenidos por dos jugadores de baloncesto en sus últimos 5 partidos:
-
Jugador A: $18, 20, 22, 19, 21$
-
Jugador B: $10, 30, 5, 25, 30$
En la figura tienes los mismos datos representados sobre una recta numérica (cada punto es un partido).
Sin realizar cálculos complejos de varianza, observa los datos y responde:
-
¿Tienen la misma media aritmética?
-
¿Cuál de los dos jugadores es más "constante" en sus puntuaciones?
-
Si tuvieras que elegir a uno para jugar el último minuto de una final, ¿a cuál elegirías y por qué? Usa los conceptos de media y dispersión en tu respuesta.
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos…
Dos aplicaciones de mensajería, "App A" y "App B", están compitiendo por ser las más estables. Se ha medido el tiempo de respuesta (en milisegundos) en 10 intentos distintos, obteniendo los siguientes resultados:
-
App A: $\bar{x} = 120$ ms; $\sigma = 15$ ms
-
App B: $\bar{x} = 125$ ms; $\sigma = 5$ ms
Calcula el coeficiente de variación ($CV$) de ambas aplicaciones y explica de forma razonada cuál de las dos es más "fiable" o regular en su funcionamiento para un usuario.
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo. Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$ Bea:…
Dos jugadores de eSports, Alex y Bea, han registrado sus puntuaciones en las últimas $8$ partidas de un torneo.
-
Alex: $85, 90, 88, 92, 87, 89, 91, 88$
-
Bea: $70, 98, 65, 100, 75, 95, 80, 100$
- a) Calcula la media y la desviación típica de ambos jugadores.
- b) Utiliza el coeficiente de variación ($CV$) para determinar cuál de los dos es un jugador más regular y fiable para el equipo. Explica qué significa en este contexto que un jugador tenga una desviación típica mucho más alta que el otro si sus medias fueran similares.
Cuando los datos cambian
Añadir o quitar datos
La media es $\bar{x}=\dfrac{\text{suma}}{N}$, así que la suma total es $\bar{x}\times N$. Con esto sabemos qué pasa al añadir o quitar un dato.
Sumar o multiplicar todos los datos
-
Si sumas una cantidad $k$ a todos los datos, la media aumenta en $k$ y la desviación típica no cambia (todos se desplazan igual, así que las distancias entre ellos se mantienen).
-
Si multiplicas todos los datos por $k$, la media se multiplica por $k$ y la desviación típica por $|k|$. La varianza se multiplica por $k^2$.
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6.5$, un $4$, un $8$ y un $7.5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué…
Las notas de Lucía en los cuatro primeros exámenes de Matemáticas han sido un $6.5$, un $4$, un $8$ y un $7.5$. Si todavía le queda un quinto examen por realizar, ¿qué nota debe sacar para que su media final sea exactamente de $7$? Justifica tu respuesta planteando una ecuación.
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ cm. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ cm, ¿cuál será la nueva media? Si después se…
En un grupo de $10$ amigos, la media de sus estaturas es de $172$ cm. Si se incorpora al grupo una persona que mide $194$ cm, ¿cuál será la nueva media? Si después se marcha otra persona que medía $161$ cm, ¿cuál será la media final del grupo? Justifica paso a paso cómo afecta cada cambio a la suma total de las estaturas para realizar el cálculo.
Un profesor ha corregido los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6.4$ y la desviación típica de $1.2$. Tras revisar uno de los…
Un profesor ha corregido los exámenes de una clase de $25$ alumnos. La media ha resultado ser de $6.4$ y la desviación típica de $1.2$. Tras revisar uno de los ejercicios, decide subir $0.5$ puntos a todos los alumnos de la clase.
- a) ¿Cuál será la nueva media y la nueva desviación típica?
- b) Si en lugar de sumar una cantidad fija, decidiera aumentar todas las notas un $10\%$, ¿cómo se verían afectados ambos parámetros? Justifica tu respuesta basándote en las propiedades de los parámetros estadísticos.
Valores atípicos y construir conjuntos de datos
Inventar datos que cumplan condiciones
Para construir una lista que cumpla condiciones, ordénala y fija primero lo más restrictivo.
Una tienda de ropa joven quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:…
Una tienda de ropa joven quiere analizar la edad de sus clientes. Para ello, toma una muestra de 10 personas un sábado por la mañana:
$14, 15, 16, 14, 22, 15, 17, 14, 35, 16$
- a) Calcula el rango y la media de edad.
- b) La mediana es $15.5$ años. Si eliminamos al cliente de 35 años (que se considera un valor atípico), calcula la nueva media y la nueva mediana. ¿Qué parámetro ha cambiado más? ¿Por qué crees que ocurre esto?
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\text{RD\$}\ 66\,000, \text{RD\$}\ 72\,000, \text{RD\$}\ 75\,000, \text{RD\$}\ 78\,000$ y $\text{RD\$}\…
En una pequeña empresa, los salarios de los $5$ empleados son: $\text{RD\$}\ 66\,000, \text{RD\$}\ 72\,000, \text{RD\$}\ 75\,000, \text{RD\$}\ 78\,000$ y $\text{RD\$}\ 84\,000$. El gerente tiene un salario de $\text{RD\$}\ 270\,000$.
- a) Calcula la media y la mediana de los salarios incluyendo al gerente.
- b) ¿Cuál de las dos medidas representa mejor el sueldo "típico" de la empresa? Explica el efecto que produce el salario del gerente (valor extremo) sobre la media y por qué la mediana es un parámetro más robusto en este caso.
- c) Si se quiere dar una imagen de prosperidad en la publicidad de la empresa, ¿qué parámetro se utilizaría? ¿Sería engañoso?
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones: 1. La moda es $4$. 2. La mediana es $5$.…
Inventa una serie de $6$ datos estadísticos (números enteros positivos) que cumplan simultáneamente las siguientes condiciones:
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La moda es $4$.
-
La mediana es $5$.
-
El rango es $10$.
-
La media es mayor que la mediana.
Muestra los cálculos que verifiquen que tu serie cumple todos los requisitos.