Ecuaciones de segundo grado

Para cada una de las siguientes ecuaciones de segundo grado, identifica los coeficientes $a$, $b$ y $c$ e indica si se trata de una ecuación completa o incompleta:

1. a) $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. b) $2x^2 - 32 = 0$
3. c) $x^2 + 8x = 0$
4. d) $3 - x^2 + 2x = 0$

Comprueba, sin resolver la ecuación, si los valores de $x$ propuestos son solución de la igualdad $x^2 - 4x + 3 = 0$:

1. a) $x = 1$
2. b) $x = 0$
3. c) $x = 3$
4. d) $x = -1$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + c = 0$. Recuerda que si el resultado de la raíz cuadrada no es un número real, debes indicarlo:

1. a) $x^2 - 25 = 0$
2. b) $3x^2 - 12 = 0$
3. c) $x^2 + 16 = 0$
4. d) $2x^2 = 50$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas del tipo $ax^2 + bx = 0$ mediante la extracción de factor común:

1. a) $x^2 - 7x = 0$
2. b) $2x^2 + 10x = 0$
3. c) $3x^2 = 6x$
4. d) $x^2 + x = 0$

Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas utilizando el método más rápido (extracción de factor común o despeje directo de la raíz):

1. a) $4x^2 - 100 = 0$
2. b) $3x^2 + 15x = 0$
3. c) $\frac{x^2}{2} - 8 = 0$
4. d) $5x^2 = 2x$

El área de la base cuadrada de una caja de almacenamiento para videojuegos es de $144\text{ cm}^2$. Calcula cuánto mide el lado de la base planteando una ecuación de segundo grado.

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Resuelve la siguiente ecuación de segundo grado simplificando primero las expresiones algebraicas mediante el desarrollo de los productos notables:

Recuerda que para aplicar la fórmula general, primero debes reducir la ecuación a la forma $ax^2 + bx + c = 0$.

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 + kx + 12 = 0$, calcula el valor del coeficiente $k$ sabiendo que una de las soluciones de la ecuación es $x = 3$. Una vez encontrado $k$, halla la otra solución de la ecuación.

Aplica la fórmula general $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para hallar las soluciones de las siguientes ecuaciones completas:

1. a) $x^2 - 6x + 8 = 0$
2. b) $x^2 + x - 12 = 0$

Calcula el valor del discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ para cada ecuación e indica si tiene dos soluciones, una solución doble o ninguna solución real (no es necesario que calcules las soluciones):

1. a) $x^2 - 4x + 4 = 0$
2. b) $x^2 + 2x + 5 = 0$
3. c) $x^2 - 5x - 1 = 0$

Estudia el discriminante ($\Delta = b^2 - 4ac$) de las siguientes ecuaciones y determina, sin resolverlas, cuántas soluciones reales tiene cada una. Justifica tu respuesta en cada caso:

1. a) $x^2 - 6x + 9 = 0$
2. b) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
3. c) $3x^2 - 4x - 2 = 0$

¿Qué valor debería tomar el término independiente en la ecuación a) para que de repente no tuviera solución?

Dada la ecuación de segundo grado $x^2 - (k-2)x + k = 0$, determina qué valores debe tomar el parámetro $k$ para que la ecuación tenga una única solución real (solución doble).

Resuelve la siguiente ecuación operando previamente para simplificar los miembros y utilizando los productos notables donde sea necesario:

$\frac{(2x - 3)^2}{8} - \frac{x(x + 1)}{2} = \frac{x - 5}{4} - 1$

Resuelve la siguiente ecuación. Para ello, busca el mínimo común múltiplo de los denominadores para eliminar las incógnitas de los mismos y comprueba que las soluciones obtenidas no anulan ningún denominador:

$\frac{x}{x - 2} + \frac{2}{x} = \frac{x^2}{x^2 - 2x}$

Las ecuaciones bicuadradas se pueden resolver haciendo un cambio de variable $t = x^2$. Utiliza esta técnica para encontrar las cuatro soluciones reales de la siguiente ecuación:

Si al cuadrado de un número entero le sumamos su triple, obtenemos como resultado cero. ¿De qué números podría tratarse? Plantea la ecuación y halla las posibles soluciones.

El producto de dos números naturales consecutivos es igual a su suma aumentada en $19$ unidades. ¿De qué números estamos hablando?

Queremos colocar un marco de madera de ancho constante $x$ alrededor de una fotografía rectangular de $10\text{ cm}$ por $15\text{ cm}$. Si sabemos que el área total (foto más marco) debe ser de $300\text{ cm}^2$, ¿cuál debe ser el ancho $x$ del marco?

Un programador de videojuegos está diseñando una interfaz para una nueva aplicación. Necesita crear un botón rectangular cuya base sea $5\text{ cm}$ más larga que su altura. Si el área total que debe ocupar el botón en la pantalla es de $84\text{ cm}^2$, ¿cuáles deben ser las dimensiones (base y altura) del botón?

Plantea una ecuación de segundo grado y resuélvela.

Calcula las dimensiones de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados son tres números enteros consecutivos.

Un dron de vigilancia despega y sigue una trayectoria cuya altura en metros respecto al tiempo en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -2t^2 + 20t + 5$. Calcula en qué instantes de tiempo el dron se encuentra exactamente a $53 \text{ metros}$ de altura.

Dos impresoras 3D trabajando juntas tardan $2$ horas en completar una maqueta compleja. Si trabajasen por separado, la impresora más antigua tardaría $3$ horas más que la impresora nueva. ¿Cuánto tiempo tardaría cada una en hacer la maqueta en solitario? (Ayuda: recuerda que el trabajo realizado en una hora es la inversa del tiempo total).

Se dispone de un cable de $40 \text{ cm}$ de longitud que se corta en dos trozos para formar dos cuadrados diferentes. Si la suma de las áreas de los dos cuadrados es de $58 \text{ cm}^2$, ¿cuánto mide el lado de cada uno de estos cuadrados?