Sistemas de ecuaciones
En el colmado, Yaritza paga $\text{RD}\$110$ por un refresco y dos fundas de papitas. Wilkin paga $\text{RD}\$80$ por un refresco y una funda de papitas. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Hay dos cosas que no sabes (el precio del refresco y el de las papitas) y dos pistas. Con una sola ecuación no basta: necesitas un sistema.
Qué es un sistema
Para comprobar, sustituyes en las dos: $50 + 2 \times 30 = 110$ ✓ y $50 + 30 = 80$ ✓. Si solo cumple una, no es solución.
Significado gráfico
Cada ecuación lineal con dos incógnitas es una recta (todos sus puntos son soluciones de esa ecuación). La solución del sistema es el punto donde las dos rectas se cortan. Mueve las rectas:
Hay tres posibilidades:
| Rectas | Tipo de sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| Se cortan | Compatible determinado (SCD) | Una |
| Paralelas | Incompatible (SI) | Ninguna |
| Coincidentes | Compatible indeterminado (SCI) | Infinitas |
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y…
Observa la representación gráfica de las dos rectas que forman un sistema de ecuaciones. Determina, sin realizar cálculos algebraicos, cuál es la solución del sistema y clasifícalo en Compatible Determinado, Compatible Indeterminado o Incompatible.
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:…
Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla de valores para las dos ecuaciones del sistema. Después, indica cuál es la solución común observando los resultados:
Sistema: $\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$
| $x$ | $y$ (Ecuación 1) | $y$ (Ecuación 2) |
|---|---|---|
| $1$ | ||
| $2$ | ||
| $3$ | ||
| $4$ |
Dos amigos, Lucía y Marcos, están acumulando puntos en su videojuego favorito para desbloquear una nueva recompensa. Las misiones de sigilo se representan por la…
Dos amigos, Lucía y Marcos, están acumulando puntos en su videojuego favorito para desbloquear una nueva recompensa. Las misiones de sigilo se representan por la incógnita $x$ y las misiones de asalto por la incógnita $y$. El sistema de ecuaciones que describe los objetivos que deben cumplir hoy es el siguiente:
$$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$$Comprueba de forma numérica si el par de valores $(x = 3, y = 2)$ es la solución del sistema. A la vista de la siguiente gráfica, indica si los amigos han conseguido encontrar el punto exacto donde se cumplen ambas condiciones (misiones totales y puntos acumulados).
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas: a) Indica las coordenadas…
Observa la siguiente representación gráfica de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas y responde a las cuestiones planteadas:
- a) Indica las coordenadas del punto de corte $P$ de ambas rectas.
- b) ¿Qué representa ese punto en relación con el sistema de ecuaciones?
- c) Clasifica el sistema según el número de soluciones que presenta.
- d) ¿Es el punto $P$ solución del siguiente sistema?
$\begin{cases} 2x + y = 8 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$
Explica brevemente por qué lo es o por qué no, verificando ambas igualdades.
Leer un sistema en su gráfica
Si te dan las rectas dibujadas, puedes recuperar sus ecuaciones con dos puntos, por ejemplo los interceptos con los ejes. Usa la forma $y = mx + b$: $b$ es el intercepto con el eje $y$ y la pendiente es $m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Clasificar sin dibujar. Dos rectas $y = m_1x + b_1$ e $y = m_2x + b_2$:
-
Si $m_1 \neq m_2$, se cortan: compatible determinado.
-
Si $m_1 = m_2$ y $b_1 \neq b_2$, son paralelas: incompatible.
-
Si $m_1 = m_2$ y $b_1 = b_2$, son la misma recta: compatible indeterminado.
Observa la siguiente representación gráfica de dos funciones lineales que forman un sistema de ecuaciones. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus…
Observa la siguiente representación gráfica de dos funciones lineales que forman un sistema de ecuaciones.
- a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte y su pendiente.
- b) Determina gráficamente la solución del sistema.
- c) Clasifica el sistema según su número de soluciones (SCD, SCI o SI).
Observa la representación gráfica de las rectas $r$ y $s$ que forman un sistema de ecuaciones. a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de…
Observa la representación gráfica de las rectas $r$ y $s$ que forman un sistema de ecuaciones.
- a) Identifica las ecuaciones de ambas rectas a partir de sus puntos de corte con los ejes.
- b) Determina, analíticamente y mediante el gráfico, si el sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.
- c) Halla el punto de intersección $(x, y)$.
Método de sustitución
Despejas una incógnita en una ecuación y la sustituyes en la otra. Es el mejor cuando alguna incógnita está "sola" (coeficiente 1 o −1). Se funda en que, si dos cantidades son iguales, una puede reemplazar a la otra.
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:…
Resuelve por el método de sustitución el siguiente sistema, aprovechando que una de las incógnitas ya se encuentra despejada en la primera ecuación:
$\begin{cases} y = 3x \\ 2x + y = 10 \end{cases}$
En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $\text{RD\$}\ 900…
En la organización de un evento de E-sports, se han vendido un total de 250 entradas. Existen dos tipos de localidades: las "Gamer", que cuestan $\text{RD\$}\ 900$, y las "Pro", que cuestan $\text{RD\$}\ 1\,500$. Si la recaudación total ha sido de $\text{RD\$}\ 282\,000$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántas entradas de cada tipo se han vendido utilizando el método de sustitución.
Método de igualación
Despejas la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualas las expresiones. Es como una sustitución donde las dos ecuaciones ya tienen la forma "incógnita = algo".
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:…
Resuelve por el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones. Fíjate que la incógnita $x$ ya está despejada en ambas expresiones:
$\begin{cases} x = 5 - y \\ x = 2y - 1 \end{cases}$
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en el patio del liceo. El arquitecto ha establecido que el perímetro total debe ser de $56$ metros. Además, para…
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en el patio del liceo. El arquitecto ha establecido que el perímetro total debe ser de $56$ metros. Además, para que haya espacio suficiente para las canastas, el largo de la zona debe ser $4$ metros menor que el triple del ancho.
Calcula las dimensiones de la zona de juegos planteando un sistema de ecuaciones y resolviéndolo por el método de igualación.
Método de reducción
Multiplicas las ecuaciones por números adecuados para que, al sumarlas (o restarlas), una incógnita desaparezca. Funciona porque sumar miembro a miembro dos igualdades da otra igualdad.
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar…
Resuelve por el método de reducción el siguiente sistema. Observa que los coeficientes de la incógnita $y$ son iguales pero de signo contrario, por lo que puedes sumar las ecuaciones directamente:
$\begin{cases} 4x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases}$
En una tienda de productos a granel, queremos preparar una mezcla especial de $20\ kg$ de frutos secos que salga a un precio de $\text{RD\$}\ 510/kg…
En una tienda de productos a granel, queremos preparar una mezcla especial de $20\ kg$ de frutos secos que salga a un precio de $\text{RD\$}\ 510/kg$. Para ello, utilizaremos anacardos que cuestan $\text{RD\$}\ 600/kg$ y cacahuetes que cuestan $\text{RD\$}\ 360/kg$.
Aplica el método de reducción para averiguar cuántos kilogramos de anacardos y cuántos de cacahuetes debemos mezclar.
Plantear problemas con sistemas
-
Elige dos incógnitas y escribe qué significa cada una.
-
Traduce cada dato del enunciado a una ecuación.
-
Resuelve con el método que prefieras y comprueba en el enunciado, no solo en las ecuaciones.
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable: "En…
Traduce al lenguaje algebraico la siguiente situación y plantea un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, indicando claramente qué representa cada variable:
"En una cafetería, un grupo de amigos pagó $\text{RD\$}\ 660$ por $2$ refrescos y $3$ fundas de papitas. Otro grupo pagó $\text{RD\$}\ 780$ por $4$ refrescos y $1$ funda de papitas".
En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $\text{RD\$}\ 3\,000…
En una tienda de videojuegos se venden mandos y juegos de segunda mano. Marcos ha comprado un mando y un juego por $\text{RD\$}\ 3\,000$. Si el precio del juego es el triple que el del mando, ¿cuánto cuesta cada artículo?
Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo por el método que prefieras.
Dos conocidos streamers* están comparando sus años de experiencia en la plataforma. La suma de sus edades actuales es de $44$ años. Dentro de $10$ años, la edad del…
Dos conocidos streamers están comparando sus años de experiencia en la plataforma. La suma de sus edades actuales es de $44$ años. Dentro de $10$ años, la edad del mayor será exactamente el doble de la edad que el menor tiene en la actualidad.
Plantea un sistema de ecuaciones lineales y averigua la edad actual de cada uno.
Números de dos cifras, edades y vehículos
Un número de dos cifras con decenas $x$ y unidades $y$ vale $10x + y$. Si invierte el orden, vale $10y + x$.
Un número de dos cifras tiene una propiedad curiosa: la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si restamos $27$ a dicho número, obtenemos el…
Un número de dos cifras tiene una propiedad curiosa: la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Si restamos $27$ a dicho número, obtenemos el número resultante de invertir el orden de sus cifras.
Traduce el enunciado a un sistema de ecuaciones (recuerda expresar el número en forma polinómica: $10x + y$) y halla de qué número se trata.
Una empresa de mensajería utiliza drones y furgonetas para sus repartos. Sabemos que el doble del número de drones excede en 2 unidades al triple del número de…
Una empresa de mensajería utiliza drones y furgonetas para sus repartos. Sabemos que el doble del número de drones excede en 2 unidades al triple del número de furgonetas. Además, si compraran 2 drones más y perdieran una furgoneta, tendrían el triple de drones que de furgonetas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y halla cuántos vehículos de cada tipo tiene la empresa.
Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de dichas cifras, el número resultante es $18$ unidades mayor…
Halla un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus dígitos es $12$ y que, si se invierte el orden de dichas cifras, el número resultante es $18$ unidades mayor que el número original.
Nota: Recuerda que un número de cifras $xy$ se escribe algebraicamente como $10x + y$.
Mezclas y desplazamientos
Mezclas. Se plantean dos ecuaciones: una con las cantidades y otra con la sustancia pura (cantidad × porcentaje).
Cuerpos en movimiento. Usa $e = v \cdot t$. Si uno sale más tarde, su tiempo es menor. En un alcance, ambos han recorrido la misma distancia; en un cruce, la suma de las distancias es la separación inicial.
En un laboratorio de química se quieren mezclar dos soluciones salinas. La primera tiene una concentración del $15\%$ de sal y la segunda del $40\%$. Si se necesitan…
En un laboratorio de química se quieren mezclar dos soluciones salinas. La primera tiene una concentración del $15\%$ de sal y la segunda del $40\%$. Si se necesitan obtener exactamente $20$ litros de una mezcla con una concentración del $30\%$, ¿cuántos litros de cada solución se deben utilizar? Plantea y resuelve el sistema de ecuaciones.
Dos ciclistas, Paula y Sergio, recorren una pista circular de $400$ metros. Si corren en sentidos opuestos, se cruzan cada $20$ segundos. Si corren en el mismo sentido,…
Dos ciclistas, Paula y Sergio, recorren una pista circular de $400$ metros. Si corren en sentidos opuestos, se cruzan cada $20$ segundos. Si corren en el mismo sentido, Paula (que es más rápida) adelanta a Sergio cada $100$ segundos.
Sabiendo que el espacio recorrido es igual a la velocidad por el tiempo ($e = v \times t$), plantea un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad de cada ciclista en metros por segundo.
Dos ciclistas, Ioana y Boris, participan en una carrera de larga distancia. Boris sale de la meta a una velocidad constante de $24\text{ km/h}$. Media hora más tarde,…
Dos ciclistas, Ioana y Boris, participan en una carrera de larga distancia. Boris sale de la meta a una velocidad constante de $24\text{ km/h}$. Media hora más tarde, Ioana sale en su persecución a una velocidad de $32\text{ km/h}$.
- a) ¿Cuánto tiempo tardará Ioana en alcanzar a Boris?
- b) ¿A qué distancia de la línea de meta se producirá el encuentro?
Sugerencia: Utiliza el sistema de ecuaciones basado en la fórmula $e = v \times t$.
Retos: suma y producto, discriminante y fracciones
Suma y producto
Cuando un sistema trae una ecuación de segundo grado, se sustituye y se obtiene una cuadrática.
Con un rectángulo de perímetro $P$ y área $A$: el semiperímetro $x + y = P/2$ y $xy = A$. Es el mismo caso.
Discriminante con un parámetro
En $x^2 - 8x + k = 0$ hay una única solución (doble) cuando $\Delta = b^2 - 4ac = 0$.
Ecuaciones con fracciones
Multiplica todo por el mcm de los denominadores y cuida el signo menos que precede a un paréntesis: cambia el signo de todos sus términos.
Estudia el discriminante de la siguiente ecuación de segundo grado y determina para qué valor del parámetro $k$ la ecuación tiene una única solución real (solución…
Estudia el discriminante de la siguiente ecuación de segundo grado y determina para qué valor del parámetro $k$ la ecuación tiene una única solución real (solución doble). Una vez hallado $k$, resuelve la ecuación:
$$x^2 - 12x + k = 0$$Halla las dimensiones de un marco rectangular de madera sabiendo que su perímetro es de $60\text{ cm}$ y que su área es de $216\text{ cm}^2$. Para resolverlo, deberás…
Halla las dimensiones de un marco rectangular de madera sabiendo que su perímetro es de $60\text{ cm}$ y que su área es de $216\text{ cm}^2$. Para resolverlo, deberás plantear un sistema donde una de las ecuaciones sea de segundo grado o resolverlo mediante una ecuación de segundo grado usando la relación entre la suma y el producto de las raíces.
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a la simplificación de las fracciones y al signo negativo que precede a los paréntesis:…
Resuelve la siguiente ecuación de primer grado, prestando especial atención a la simplificación de las fracciones y al signo negativo que precede a los paréntesis:
$$\frac{2(x - 3)}{5} - \frac{x - 1}{2} = \frac{3x - 4}{10} - \frac{5(1 - x)}{4}$$Vuelve al principio: el refresco cuesta $\text{RD}\$50$ y cada funda de papitas $\text{RD}\$30$. Yaritza: $50 + 2 \times 30 = 110$; Wilkin: $50 + 30 = 80$.