Estadística con tecnología y lectura crítica
Entras a Instagram y ves un gráfico de una marca de refrescos con una barra gigante al lado de otra enanita, y un titular que grita «¡Ventas por las nubes!». ¿Es verdad o te lo están vendiendo? Saber estadística también sirve para defenderte: para leer un dato y preguntarte quién lo calculó, cómo y para qué.
Estadística con la hoja de cálculo
Una hoja de cálculo (Excel, Google Sheets, LibreOffice) hace en un segundo lo que a mano toma un rato. Las funciones más útiles, en español:
| Quiero… | Función |
|---|---|
| Media | =PROMEDIO(A1:A20) |
| Mediana | =MEDIANA(A1:A20) |
| Moda | =MODA(A1:A20) |
| Máximo / mínimo | =MAX(…) / =MIN(…) |
| Rango (máximo − mínimo) | =MAX(A1:A20)-MIN(A1:A20) |
| Cuartiles | =CUARTIL(A1:A20, 1) |
| Desviación típica (población) | =DESVEST.P(A1:A20) |
| Contar cuántos cumplen algo | =CONTAR.SI(A1:A20, 5) |
Según la configuración de la hoja, el separador de argumentos puede ser coma o punto y coma. Si tu programa usa otros nombres, busca la función por su descripción.
El rango es la medida de dispersión más sencilla: la distancia entre el dato mayor y el menor. Si una jugadora anota entre 6 y 20 puntos, su rango es $20-6=14$ puntos. Dice qué tan abierto es el abanico de datos, pero solo mira los dos extremos.
Práctica guiada: datos, cálculos, gráfico y conclusión
Usemos el tiempo de llegada al liceo, en minutos, de ocho estudiantes (datos ficticios para aprender el procedimiento): 4, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.
-
Escribe
Minutosen A1 y los ocho datos en A2:A9. Antes de calcular, estima: la media debería estar cerca de 10. -
En C1 escribe
Mediday en D1,Resultado. Completa C2:D5 con la tabla de abajo. -
En F1 escribe
Minutosy en G1,Frecuencia. En F2:F8 pon 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16. En G2 escribe=CONTAR.SI($A$2:$A$9,F2)y copia hasta G8. Debes obtener 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1; la suma es 8. -
Selecciona F1:G8 e inserta un gráfico de columnas. Ponle título, rotula los dos ejes y haz que el eje vertical empiece en cero.
| Celda C | Celda D: fórmula | Resultado esperado |
|---|---|---|
| Media | =PROMEDIO(A2:A9) |
10 min |
| Mediana | =MEDIANA(A2:A9) |
10 min |
| Desviación del conjunto | =DESVEST.P(A2:A9) |
aprox. 3.74 min |
| Proporción de tiempos de 10 min o menos | =CONTAR.SI(A2:A9,"<=10")/CONTAR(A2:A9) |
0.625 (62.5 %) |
Qué calcula la hoja y qué te toca a ti
La hoja y la calculadora hacen la cuenta; interpretar el resultado es cosa tuya. Tres ideas que te ayudan a razonar sin conocer los datos:
-
Si sumas una cantidad fija a todos los datos, la media y la mediana suben esa misma cantidad. La dispersión no cambia.
-
Si multiplicas todos los datos por un número, la media y la mediana quedan multiplicadas por ese número.
-
Si cambia un solo dato, la suma cambia, y la media nueva es (suma nueva) ÷ (cantidad de datos).
Para la desviación típica a mano se arma una tabla: dato, desviación $x_i-\bar{x}$ y su cuadrado. La varianza es la media de esos cuadrados, y la desviación típica es su raíz cuadrada:
$$\sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}\qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$En la hoja, para el dato de A2, la desviación se escribe =A2-PROMEDIO($A$2:$A$9) y su cuadrado, =(A2-PROMEDIO($A$2:$A$9))^2. Los signos $ fijan el rango al copiar la fórmula hacia abajo.
Media con datos agrupados
Si los datos vienen en intervalos, no conoces cada valor, así que la hoja usa la marca de clase (el punto medio de cada intervalo) como si todos los datos del intervalo valieran eso. La media es $\bar{x}=\dfrac{\sum f_i\, m_i}{n}$, con $m_i$ la marca de clase y $f_i$ la frecuencia.
Ejemplo: notas en los intervalos $[60, 70)$, $[70, 80)$ y $[80, 90)$ con frecuencias 2, 5 y 3. Las marcas son 65, 75 y 85, y la media es $\dfrac{2\times65+5\times75+3\times85}{10}=\dfrac{760}{10}=76$.
Es solo una aproximación: dentro de cada intervalo los datos reales pueden estar más arriba o más abajo del punto medio. Por eso la media con marcas de clase no tiene por qué coincidir exactamente con la media de los datos originales, aunque suele quedar cerca.
La figura muestra una hoja de cálculo con las edades de los miembros de un club de lectura. En las celdas B11 y B12 la hoja muestra los resultados de las fórmulas…
La figura muestra una hoja de cálculo con las edades de los miembros de un club de lectura. En las celdas B11 y B12 la hoja muestra los resultados de las fórmulas $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$ y $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$, respectivamente. En la barra superior aparece la fórmula de la celda B11, que es la celda seleccionada.
- a) ¿Qué calcula la fórmula de la celda B11, $=\text{PROMEDIO}(B2:B9)$?
- b) ¿Y la de la celda B12, $=\text{MEDIANA}(B2:B9)$?
- c) Calcula a mano los dos valores a partir de las edades de B2 a B9 y comprueba que coinciden con los que muestra la hoja en B11 y B12.
Una calculadora estadística indica que la media de las $10$ notas de un grupo es $6.4$ y la mediana es $6.5$. a) Si el profesor decide subir $0.5$ puntos a todos los…
Una calculadora estadística indica que la media de las $10$ notas de un grupo es $6.4$ y la mediana es $6.5$.
- a) Si el profesor decide subir $0.5$ puntos a todos los alumnos, ¿cuáles serán la nueva media y la nueva mediana? Razona la respuesta sin conocer las notas.
- b) Si en lugar de eso multiplica todas las notas por $1.1$, ¿qué les ocurre a la media y a la mediana?
- c) La suma de las $10$ notas era $64$. Después de revisar, una nota de $4$ pasa a ser un $7$. ¿Cuál es la nueva media?
La figura muestra una hoja de cálculo con los puntos por partido de una jugadora de baloncesto, como se muestra a continuación. a) ¿Qué valor mostrará la celda B10 si…
La figura muestra una hoja de cálculo con los puntos por partido de una jugadora de baloncesto, como se muestra a continuación.
- a) ¿Qué valor mostrará la celda B10 si contiene la fórmula $=\text{PROMEDIO}(B2:B8)$? Calcúlalo.
- b) La celda B11 contiene $=\text{MAX}(B2:B8) - \text{MIN}(B2:B8)$. ¿Qué parámetro estadístico calcula y cuánto vale?
- c) Escribe con tus palabras la fórmula que habría que introducir para obtener el número de partidos en los que anotó más de $15$ puntos.
Para calcular la desviación típica de los datos $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ con una hoja de cálculo, se construye una tabla con columnas auxiliares: | Dato $x_i$ |…
Para calcular la desviación típica de los datos $4$, $6$, $7$, $7$, $9$, $11$ con una hoja de cálculo, se construye una tabla con columnas auxiliares:
| Dato $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| $4$ | ||
| $6$ | ||
| $7$ | ||
| $7$ | ||
| $9$ | ||
| $11$ |
- a) Calcula la media $\bar{x}$ y completa la tabla en tu cuaderno.
- b) ¿Qué fórmula de hoja de cálculo daría el valor de la celda de la segunda columna para el dato $4$? ¿Y la de la tercera columna?
- c) Calcula la media de los cuadrados de la tercera columna (la varianza) y, con la calculadora, halla la raíz cuadrada para obtener la desviación típica.
- d) La suma de la segunda columna da $0$. ¿Es casualidad o le ocurriría con cualquier conjunto de datos? Justifícalo.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Comparar con media y desviación típica
La media dice dónde está el centro; la desviación típica dice cuánto se reparten los datos alrededor. Dos grupos pueden tener casi la misma media y ser muy distintos.
Imagina dos equipos de béisbol con la misma media de carreras por juego. Si uno anota siempre entre 3 y 5 y el otro alterna entre 0 y 10, el primero es más regular (desviación típica menor) y el segundo, más impredecible.
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Desviación pequeña: datos agrupados cerca de la media; el comportamiento es previsible.
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Desviación grande: datos muy dispersos; es difícil predecir un valor concreto.
Un entrenador usa una aplicación para comparar los minutos jugados por dos equipos de baloncesto a lo largo de $10$ partidos. La aplicación muestra estos resultados:…
Un entrenador usa una aplicación para comparar los minutos jugados por dos equipos de baloncesto a lo largo de $10$ partidos. La aplicación muestra estos resultados:
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Equipo Norte: media $= 18.4$ min, desviación estándar $= 7.9$ min.
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Equipo Sur: media $= 17.8$ min, desviación estándar $= 2.1$ min.
- a) ¿Qué equipo reparte los minutos de forma más igualitaria entre sus jugadores? ¿Qué parámetro te lo indica?
- b) Si el entrenador del Norte quiere que un jugador en específico juegue mucho, ¿es previsible que lo consiga? ¿Y en el Sur?
- c) La media del equipo Norte es algo mayor. ¿Significa eso que todos sus jugadores juegan más que los del Sur? Justifica tu respuesta.
Un club de atletismo debe fichar a un relevista y tiene los tiempos de las dos candidatas en sus últimas $8$ carreras de $100\ \text{m}$: Candidata 1: media…
Un club de atletismo debe fichar a un relevista y tiene los tiempos de las dos candidatas en sus últimas $8$ carreras de $100\ \text{m}$:
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Candidata 1: media $= 12.40\ \text{s}$, desviación típica $= 0.45\ \text{s}$.
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Candidata 2: media $= 12.55\ \text{s}$, desviación típica $= 0.10\ \text{s}$.
- a) El entrenador necesita una corredora que baje de $12.9\ \text{s}$ con la máxima fiabilidad en el campeonato, porque un mal tiempo elimina al equipo. ¿A quién ficha? Razona la respuesta usando la media y la desviación típica.
- b) Si en cambio buscara la corredora capaz de conseguir la mejor marca del día, ¿cambiaría tu elección? ¿Por qué?
- c) Calcula el coeficiente de variación de cada candidata, $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$, y explica qué información añade respecto a la desviación típica.
Gráficos que engañan
En un gráfico de barras, cortar el eje vertical puede exagerar una diferencia pequeña, porque interpretamos la longitud de la barra como cantidad. En gráficos de evolución (líneas) a veces se justifica un eje que no empiece en cero, pero la escala debe estar claramente indicada.
Otras trampas habituales:
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Sectores que no suman 100 %, o gráficos circulares 3D donde el sector de adelante parece más grande. Si los porcentajes suman más de 100 %, la gente pudo elegir varias opciones: ahí conviene un diagrama de barras, no uno circular.
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Pictogramas en los que una figura al doble de alta también es el doble de ancha: ¡ocupa 4 veces más área!
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Escalas distintas en dos gráficos que se comparan.
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Porcentajes sin la base: «las ventas suben un 100 %» (¡de 2 a 4 unidades!).
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Titulares exagerados: calcula tú el aumento real con los valores del gráfico: $\dfrac{\text{final}-\text{inicial}}{\text{inicial}}\times 100\%$.
Elegir bien el gráfico también es parte de la honestidad:
| Datos | Gráfico adecuado |
|---|---|
| Partes de un total (porcentajes que suman 100 %) | Gráfico circular o de barras |
| Categorías o datos discretos (número de mascotas) | Diagrama de barras |
| Evolución en el tiempo (temperatura mes a mes) | Polígono de frecuencias o gráfico de líneas |
| Datos continuos agrupados en intervalos (notas de una clase) | Histograma |
Una cadena de televisión mostró este gráfico de barras sobre la audiencia de dos programas, como se muestra en la figura. a) A simple vista, ¿cuántas veces más audiencia…
Una cadena de televisión mostró este gráfico de barras sobre la audiencia de dos programas, como se muestra en la figura.
- a) A simple vista, ¿cuántas veces más audiencia parece tener el programa B que el A?
- b) Lee los valores reales de las barras y calcula la proporción verdadera entre ambas audiencias.
- c) ¿Qué truco usa el gráfico para exagerar la diferencia? ¿Cómo debería ser el eje vertical para que no engañara?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Para cada uno de estos conjuntos de datos, elige el gráfico más adecuado (diagrama de barras, de sectores, gráfico de líneas, polígono de frecuencias o histograma) y…
Para cada uno de estos conjuntos de datos, elige el gráfico más adecuado (diagrama de barras, de sectores, gráfico de líneas, polígono de frecuencias o histograma) y justifica tu elección:
- a) El porcentaje de tiempo que dedica un adolescente a dormir, estudiar, ocio y pantallas.
- b) La evolución de la temperatura media de una ciudad mes a mes durante un año.
- c) Las notas de matemáticas de una clase de $28$ alumnos.
- d) El número de mascotas que tienen en casa los alumnos de un curso.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Una marca de bebidas publicó este gráfico circular sobre las preferencias de los consumidores, como se muestra en la figura. a) Suma los porcentajes de todos los…
Una marca de bebidas publicó este gráfico circular sobre las preferencias de los consumidores, como se muestra en la figura.
- a) Suma los porcentajes de todos los sectores. ¿Qué resultado obtienes? ¿Es posible en un gráfico de sectores?
- b) Explica qué puede haber ocurrido en la encuesta para obtener esos datos y por qué el gráfico de sectores no es adecuado para presentarlos.
- c) ¿Qué tipo de gráfico elegirías tú para representar esos porcentajes correctamente?
Tarea de decisión. Un periódico digital publica el titular «¡El gasto en videojuegos de los adolescentes se dispara!» junto al gráfico de la figura, como se muestra a…
Tarea de decisión. Un periódico digital publica el titular «¡El gasto en videojuegos de los adolescentes se dispara!» junto al gráfico de la figura, como se muestra a continuación.
- a) Lee los valores reales del gasto anual en el gráfico y calcula el aumento porcentual verdadero entre el primer y el último año.
- b) ¿Por qué el gráfico da una impresión mucho más alarmante que los datos? Señala al menos dos decisiones de diseño que lo causan.
- c) Reescribe el titular de forma honesta usando los datos.
- d) ¿Qué preguntas harías sobre la muestra de la encuesta antes de aceptar incluso ese aumento moderado?
Muestras sesgadas y causas falsas
Un dato correcto puede venir de una muestra mal elegida. La población es el grupo del que quieres hablar (los 850 estudiantes de un liceo); la muestra es la parte a la que de verdad preguntas. Si encuestas a la salida del gimnasio, preguntas sobre todo a quienes ya hacen deporte: la muestra está sesgada y la conclusión no sirve para todo el liceo.
Una buena muestra es aleatoria (todos tienen la misma posibilidad de salir, por ejemplo sorteando números de lista) y de tamaño razonable. El porcentaje que representa la muestra es $\dfrac{\text{muestra}}{\text{población}}\times100\%$.
Preguntas para leer con ojo crítico cualquier dato: ¿quién lo publicó y para qué?, ¿cuántos encuestaron y cómo los eligieron?, ¿sobre qué base está el porcentaje?, ¿dónde empieza el eje?
El consejo escolar de un liceo de $850$ estudiantes quiere decidir qué nueva actividad extracurricular ofrecer. Una estudiante encuesta a $40$ compañeros a la salida del…
El consejo escolar de un liceo de $850$ estudiantes quiere decidir qué nueva actividad extracurricular ofrecer. Una estudiante encuesta a $40$ compañeros a la salida del gimnasio y concluye: «el $70\ \%$ de los estudiantes quiere más deporte, así que hay que abrir un club de escalada».
- a) ¿Cuál es el tamaño de la muestra? ¿Y la población?
- b) ¿Qué defecto tiene la forma de elegir la muestra? ¿Cómo afecta a la conclusión?
- c) Propón una forma mejor de seleccionar a los $40$ encuestados y explica por qué la conclusión sería más confiable.
- d) ¿Qué porcentaje de la población representa la muestra? Exprésalo con dos decimales.
Indica si cada afirmación sobre el uso de la tecnología en estadística es verdadera o falsa y justifica tu respuesta: a) «La media calculada con una hoja de cálculo a…
Indica si cada afirmación sobre el uso de la tecnología en estadística es verdadera o falsa y justifica tu respuesta:
- a) «La media calculada con una hoja de cálculo a partir de datos agrupados en intervalos (usando las marcas de clase) es exactamente igual que la calculada con los datos originales.»
- b) «Si un gráfico estadístico está hecho con un programa informático, no puede ser engañoso.»
- c) «Una calculadora científica puede dar la desviación típica aunque no entendamos la fórmula, pero interpretarla sigue siendo nuestra tarea.»
- d) «Para comparar la dispersión de dos conjuntos de datos con medias muy distintas es mejor usar la desviación típica que el coeficiente de variación.»
Vuelve al principio: el gráfico del refresco con barras gigantes casi siempre esconde un eje cortado, una muestra pequeña o un porcentaje sin base. Con los valores reales y las preguntas de arriba, puedes comprobarlo tú mismo.