Tablas de frecuencias
En el recreo, Yaritza preguntó a 20 compañeros cuántas veces fueron al cine el último mes. Tiene una lista de 20 números desordenados y así no se ve nada. ¿Cómo se convierte esa lista en información que se pueda leer de un vistazo? El primer paso de cualquier estudio es ordenar y contar: hacer una tabla de frecuencias.
Población, muestra y variable
Antes de contar hay que saber a quién se pregunta y qué se pregunta.
Las variables son de tres clases:
| Tipo | Qué es | Ejemplo |
|---|---|---|
| Cualitativa | Una cualidad, no un número | deporte favorito, color |
| Cuantitativa discreta | Número que se cuenta (valores sueltos) | hermanos, goles, "likes" |
| Cuantitativa continua | Número que se mide (cualquier valor en un tramo) | estatura, tiempo, peso |
¿Por qué se usa una muestra? Preguntar a toda la población casi siempre es caro o imposible. Si la muestra está bien elegida, representa a toda la población.
Para conocer la opinión sobre el uso de teléfonos celulares en el aula, se ha realizado una encuesta a $45$ estudiantes de un liceo que tiene un total de $600$ alumnos.…
Para conocer la opinión sobre el uso de teléfonos celulares en el aula, se ha realizado una encuesta a $45$ estudiantes de un liceo que tiene un total de $600$ alumnos. Indica cuáles son los elementos fundamentales de este estudio estadístico:
- a) La población objeto de estudio.
- b) La muestra seleccionada.
- c) El individuo.
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas basándote en los datos de una aplicación de música: a)…
Clasifica las siguientes variables estadísticas en cualitativas, cuantitativas discretas o cuantitativas continuas basándote en los datos de una aplicación de música:
- a) El género musical de las canciones (Pop, Rock, Trap...).
- b) El número de "likes" que tiene una lista de reproducción.
- c) El tiempo de duración de una canción en segundos.
- d) El nombre del artista o grupo.
- e) La capacidad de almacenamiento ocupada por la aplicación en el celular (en MB).
Se desea realizar un estudio sobre el tipo de contenido más visto en una conocida plataforma de streaming por los adolescentes de una ciudad. Para ello, se pregunta a…
Se desea realizar un estudio sobre el tipo de contenido más visto en una conocida plataforma de streaming por los adolescentes de una ciudad. Para ello, se pregunta a $150$ estudiantes de $3^\text{o}$ de secundaria de tres liceos diferentes elegidos al azar. Identifica los siguientes elementos del estudio estadístico:
- a) Población.
- b) Muestra.
- c) Individuo.
- d) Tipo de variable estadística.
Muestreo estratificado
A veces la población tiene grupos (estratos) distintos, como los cursos de un liceo. Para que la muestra los represente bien, se toma de cada grupo una cantidad proporcional a su tamaño. Esto se llama muestreo aleatorio estratificado con representación proporcional.
Se organiza en una tabla con la población, la muestra y la frecuencia relativa de cada estrato en la muestra ($h_i = f_i / N$).
Un centro educativo quiere realizar una encuesta representativa sobre el uso de libros digitales. El centro tiene $400$ alumnos en 1.° de secundaria, $350$ en 2.° de…
Un centro educativo quiere realizar una encuesta representativa sobre el uso de libros digitales. El centro tiene $400$ alumnos en 1.° de secundaria, $350$ en 2.° de secundaria, $300$ en 3.° de secundaria y $250$ en 4.° de secundaria. Quieren extraer una muestra de $130$ alumnos mediante un muestreo aleatorio estratificado con representación proporcional.
Dibuja la tabla de la población total y, a partir de ella, crea la tabla de frecuencias de la muestra que indique cuántos alumnos de cada curso deben ser encuestados. ¿Cuál es la frecuencia relativa de los alumnos de 3.° de secundaria en la muestra comparada con la de la población total?
Frecuencias
Un grupo de amigos anota el número de veces que han ido al cine en el último mes. Los datos obtenidos son: $2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.…
Un grupo de amigos anota el número de veces que han ido al cine en el último mes. Los datos obtenidos son:
$2, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 3, 2$.
Organiza estos datos en una tabla de frecuencias que incluya:
-
El recuento (usando palotes).
-
La frecuencia absoluta ($f_i$).
En una clase de 3.° de secundaria se ha preguntado por el deporte favorito de los estudiantes. Completa los valores que faltan en la siguiente tabla de frecuencias: |…
En una clase de 3.° de secundaria se ha preguntado por el deporte favorito de los estudiantes. Completa los valores que faltan en la siguiente tabla de frecuencias:
| Deporte | Frecuencia absoluta ($f_i$) | Frecuencia relativa ($h_i$) | Porcentaje (%) |
|---|---|---|---|
| Baloncesto | $6$ | $0.24$ | $24\%$ |
| Fútbol | $10$ | ||
| Tenis | $4$ | $0.16$ | |
| Natación | $0.20$ | $20\%$ | |
| Total | $25$ | $1.00$ | $100\%$ |
Un grupo de $25$ jóvenes ha anotado el número de veces que han ido al cine en el último trimestre, obteniendo los siguientes datos:…
Un grupo de $25$ jóvenes ha anotado el número de veces que han ido al cine en el último trimestre, obteniendo los siguientes datos:
$2, 1, 0, 3, 2, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 1, 2, 3, 2, 0, 1, 2, 1, 0, 2, 1$
Organiza esta información en una tabla de frecuencias que incluya: frecuencia absoluta ($n_i$), frecuencia relativa ($h_i$) y frecuencia porcentual ($\%$).
Completar tablas con huecos
Muchas veces falta información. Se resuelve con dos ideas: $h_i = f_i/N$ y que las columnas suman $N$ y 1.
-
Si conoces una pareja $f_i$ y $h_i$, hallas el total: $N = \dfrac{f_i}{h_i}$.
-
Con $N$ y $h_i$: $f_i = h_i \times N$.
-
Lo que falta para completar el total se obtiene restando.
-
Un porcentaje se pasa a $h_i$ dividiendo entre 100 (35 % = 0.35).
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias de un barrio. Por un error, se han borrado algunos datos de la tabla. Sabiendo que se…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias de un barrio. Por un error, se han borrado algunos datos de la tabla. Sabiendo que se encuestó a un total de $40$ familias, calcula los valores que faltan:
| Nº Mascotas | Familias ($f_i$) | Frecuencia Relativa ($h_i$) |
|---|---|---|
| $0$ | $12$ | $0.30$ |
| $1$ | $0.45$ | |
| $2$ | $7$ | |
| $3$ | $3$ | $0.075$ |
| Total | $40$ | $1.00$ |
Completa los huecos de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta: | Dato ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) | Frec. relativa ($h_i$) | Frec.…
Completa los huecos de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta:
| Dato ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) | Frec. relativa ($h_i$) | Frec. porcentual ($\%$) |
|---|---|---|---|
| $1$ | $8$ | $0.20$ | |
| $2$ | $0.35$ | ||
| $3$ | $12$ | ||
| $4$ | $15\%$ | ||
| Total | $N=$ | $1.00$ | $100\%$ |
Se ha realizado una encuesta a los empleados de una oficina sobre el número de idiomas que hablan. Sabemos que el $40\%$ habla solo un idioma, el $35\%$ habla dos…
Se ha realizado una encuesta a los empleados de una oficina sobre el número de idiomas que hablan. Sabemos que el $40\%$ habla solo un idioma, el $35\%$ habla dos idiomas, el $20\%$ habla tres idiomas y el resto habla cuatro idiomas.
Si en la oficina trabajan un total de $60$ personas, construye la tabla de frecuencias completa (absoluta, relativa y porcentual). ¿Cuántas personas hablan exactamente cuatro idiomas?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Gráfico circular: los grados
Para dibujar un gráfico circular (o de pastel) cada categoría ocupa un sector. Como la vuelta completa mide $360°$, el ángulo de cada sector es
$$\text{ángulo} = h_i \times 360° = \frac{f_i}{N} \times 360°$$¿Por qué? Si una categoría es la mitad de los datos, le toca la mitad de la circunferencia.
En una clase de Educación Física se les preguntó a los estudiantes por su deporte favorito fuera del horario escolar. Los resultados son: Fútbol: $12$ estudiantes.…
En una clase de Educación Física se les preguntó a los estudiantes por su deporte favorito fuera del horario escolar. Los resultados son:
-
Fútbol: $12$ estudiantes.
-
Baloncesto: $8$ estudiantes.
-
Natación: $6$ estudiantes.
-
Tenis: $4$ estudiantes.
Crea una tabla que recoja las frecuencias absolutas y calcula los grados necesarios para representar estos datos en un gráfico circular (amplitud del ángulo central).
Frecuencias acumuladas
Se ha realizado un estudio sobre el número de libros leídos por los alumnos de un club de lectura durante el verano. Observa la tabla y responde a las preguntas…
Se ha realizado un estudio sobre el número de libros leídos por los alumnos de un club de lectura durante el verano. Observa la tabla y responde a las preguntas utilizando las frecuencias acumuladas:
| Libros leídos ($x_i$) | Alumnos ($f_i$) | Frecuencia acumulada ($F_i$) |
|---|---|---|
| $0$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $5$ | $7$ |
| $2$ | $8$ | $15$ |
| $3$ | $6$ | $21$ |
| $4$ | $4$ | $25$ |
- a) ¿Cuántos alumnos han leído exactamente $2$ libros?
- b) ¿Cuántos alumnos han leído $2$ libros o menos?
- c) ¿Cuál es el número total de alumnos que participan en el estudio?
Una empresa de mensajería estudia el peso de los paquetes que envía diariamente. Ha organizado la información en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas relativas…
Una empresa de mensajería estudia el peso de los paquetes que envía diariamente. Ha organizado la información en la siguiente tabla de frecuencias acumuladas relativas ($H_i$):
| Peso (kg) | $f_i$ | $h_i$ | $H_i$ |
|---|---|---|---|
| $[0, 2)$ | $20$ | $0.40$ | $0.40$ |
| $[2, 4)$ | $15$ | $0.30$ | $0.70$ |
| $[4, 6)$ | $10$ | $0.20$ | $0.90$ |
| $[6, 8)$ | $5$ | $0.10$ | $1.00$ |
Contesta a las siguientes preguntas a partir de la tabla:
- a) ¿Qué porcentaje de paquetes pesan menos de $4$ kg?
- b) ¿Qué frecuencia relativa representan los paquetes que pesan $6$ kg o más?
- c) ¿Cuál es el número total de paquetes analizados en este estudio?
En una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias en un barrio, se obtuvieron los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias…
En una encuesta sobre el número de mascotas que tienen las familias en un barrio, se obtuvieron los resultados que se muestran en la siguiente tabla de frecuencias absolutas:
| N.º de mascotas ($x_i$) | N.º de familias ($n_i$) |
|---|---|
| $0$ | $12$ |
| $1$ | $18$ |
| $2$ | $14$ |
| $3$ | $6$ |
Calcula la columna de las frecuencias absolutas acumuladas ($N_i$) y las frecuencias relativas acumuladas ($H_i$). ¿Qué porcentaje de familias tienen como máximo $2$ mascotas?
Datos agrupados en intervalos
Con variables continuas (o discretas con muchos valores distintos) se agrupan los datos en intervalos o clases, normalmente de la misma amplitud. Se escriben $[10, 20)$: incluye el 10 pero no el 20.
-
Amplitud: la diferencia entre los extremos, $b - a$.
-
Marca de clase $x_i$: el punto medio del intervalo, $\dfrac{a+b}{2}$. Representa a todos los datos del intervalo en los cálculos.
| Tiempo en la guagua (min) | Marca $x_i$ | $f_i$ | $F_i$ |
|---|---|---|---|
| $[0, 10)$ | 5 | 3 | 3 |
| $[10, 20)$ | 15 | 8 | 11 |
| $[20, 30)$ | 25 | 6 | 17 |
| $[30, 40]$ | 35 | 3 | 20 |
El último intervalo se cierra con corchete para incluir el valor máximo.
Para un estudio sobre el peso de las mochilas de los estudiantes, se han agrupado los datos en intervalos de $1$ kg. Calcula la marca de clase ($x_i$) para cada uno de…
Para un estudio sobre el peso de las mochilas de los estudiantes, se han agrupado los datos en intervalos de $1$ kg. Calcula la marca de clase ($x_i$) para cada uno de los intervalos de la tabla:
| Peso (kg) | Marca de clase ($x_i$) | Frecuencia ($f_i$) |
|---|---|---|
| $[2, 3)$ | $4$ | |
| $[3, 4)$ | $12$ | |
| $[4, 5)$ | $9$ | |
| $[5, 6)$ | $5$ |
Se ha medido el tiempo, en minutos, que tardan $20$ alumnos en llegar desde su casa al liceo. Los datos son:…
Se ha medido el tiempo, en minutos, que tardan $20$ alumnos en llegar desde su casa al liceo. Los datos son:
$5, 12, 18, 24, 7, 15, 30, 10, 22, 14, 8, 11, 28, 5, 19, 13, 16, 25, 12, 9$
Construye una tabla de frecuencias agrupando los datos en $5$ intervalos de igual amplitud, comenzando en $5$ y terminando en $30$. Incluye en la tabla las marcas de clase ($x_i$) y las frecuencias absolutas ($n_i$).
Un nutricionista analiza la cantidad de azúcar (en gramos) por cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrescos distintos. Los resultados se han agrupado en la siguiente tabla: |…
Un nutricionista analiza la cantidad de azúcar (en gramos) por cada $100\text{ ml}$ de $40$ refrescos distintos. Los resultados se han agrupado en la siguiente tabla:
| Cantidad de azúcar ($g$) | Marca de clase ($x_i$) | Frec. absoluta ($n_i$) |
|---|---|---|
| $[0, 4)$ | $5$ | |
| $[4, 8)$ | $12$ | |
| $[8, 12)$ | $18$ | |
| $[12, 16]$ | $5$ |
- a) Completa la columna de marcas de clase.
- b) Calcula la columna de frecuencias relativas ($h_i$).
- c) Indica cuántos refrescos tienen $8$ gramos de azúcar o más.
Reconstruir tablas con acumuladas
Cuando faltan las frecuencias individuales, se recuperan restando acumuladas consecutivas:
$$f_i = F_i - F_{i-1} \qquad\qquad N = \dfrac{F_i}{H_i}$$¿Por qué? $F_i$ ya contiene todo lo anterior; al quitar $F_{i-1}$ queda solo lo que aporta el valor $x_i$.
En una tienda de videojuegos han realizado un estudio sobre el número de periféricos (mandos, teclados, ratones) que compran los clientes en una sola visita. Sin…
En una tienda de videojuegos han realizado un estudio sobre el número de periféricos (mandos, teclados, ratones) que compran los clientes en una sola visita. Sin embargo, se ha perdido parte de la información de la tabla de frecuencias. Sabemos que el estudio se realizó sobre un total de $N = 80$ clientes.
Completa los datos que faltan en la tabla sabiendo que la frecuencia relativa acumulada de comprar 3 periféricos o menos es de $0.875$.
| Periféricos ($x_i$) | Freq. absoluta ($f_i$) | Freq. relativa ($h_i$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) | Freq. relativa acumulada ($H_i$) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | |||
| 2 | ||||
| 3 | 16 | |||
| 4 | ||||
| 5 | 6 |
Se dispone de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta $X$ que representa el número de veces que un grupo de alumnos ha ido al cine este…
Se dispone de la siguiente tabla de frecuencias de una variable cuantitativa discreta $X$ que representa el número de veces que un grupo de alumnos ha ido al cine este mes. Sin embargo, las frecuencias absolutas $f_2$ y $f_3$ se han borrado.
| $x_i$ | $f_i$ | $F_i$ | $H_i$ |
|---|---|---|---|
| 0 | 5 | 5 | $0.125$ |
| 1 | $0.400$ | ||
| 2 | 31 | ||
| 3 | 9 | $1.000$ |
Calcula el número total de datos ($N$) y las frecuencias que faltan para completar la tabla. Justifica cada paso utilizando las propiedades de las frecuencias acumuladas y relativas.
Para organizar un torneo de e-sports, la organización analiza las horas semanales que dedican los jóvenes de un club a entrenar. La siguiente tabla de frecuencias…
Para organizar un torneo de e-sports, la organización analiza las horas semanales que dedican los jóvenes de un club a entrenar. La siguiente tabla de frecuencias relativas acumuladas ($H_i$) muestra la distribución, pero faltan los datos de las categorías centrales.
Si sabemos que hay el mismo número de jóvenes que entrenan "De 5 a 10 horas", "De 10 a 15 horas" y "De 15 a 20 horas", y que el club tiene un total de $120$ socios, calcula cuántos socios entrenan exactamente en cada uno de los intervalos de la tabla.
| Horas de entrenamiento | Freq. relativa acumulada ($H_i$) |
|---|---|
| $[0, 5)$ | $0.15$ |
| $[5, 10)$ | |
| $[10, 15)$ | $0.65$ |
| $[15, 20)$ | |
| $[20, 25]$ | $1.00$ |
Intervalos, marcas y media
Dos herramientas más para tablas difíciles:
-
Si todos los intervalos tienen la misma amplitud $a$, las marcas de clase consecutivas se separan exactamente $a$. Con dos marcas seguidas sacas la amplitud, y con el primer límite inferior reconstruyes todos los intervalos: límite superior = inferior + amplitud.
-
La media a partir de la tabla es $\bar{x} = \sum x_i \cdot h_i$ (con intervalos, $x_i$ es la marca de clase). Si faltan frecuencias relativas, se plantea una ecuación con esta igualdad y con $\sum h_i = 1$.
Un laboratorio de tecnología está probando la duración en horas de una nueva batería para drones. Han agrupado los resultados en una tabla de frecuencias de variable…
Un laboratorio de tecnología está probando la duración en horas de una nueva batería para drones. Han agrupado los resultados en una tabla de frecuencias de variable continua, pero solo nos han proporcionado las marcas de clase ($x_i$) y algunas frecuencias.
Se sabe que todos los intervalos tienen la misma amplitud y que el límite inferior del primer intervalo es $1.2$ horas. Reconstruye la tabla completa (intervalos, marcas de clase y frecuencias) sabiendo que la frecuencia absoluta acumulada del tercer intervalo es $42$ y que el total de drones probados es $N = 50$.
| Marca de clase ($x_i$) | Freq. absoluta ($f_i$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) |
|---|---|---|
| $1.45$ | 8 | |
| $1.95$ | 14 | |
| $2.45$ | ||
| $2.95$ | ||
| $3.45$ | 3 |
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas en $200$ familias. Los resultados se presentan en la siguiente tabla incompleta de frecuencias relativas…
Se ha realizado una encuesta sobre el número de mascotas en $200$ familias. Los resultados se presentan en la siguiente tabla incompleta de frecuencias relativas ($h_i$).
| Nº Mascotas | $h_i$ |
|---|---|
| 0 | $0.35$ |
| 1 | $x$ |
| 2 | $y$ |
| 3 | $0.12$ |
| 4 o más | $0.08$ |
Calcula los valores de $x$ e $y$ sabiendo que la media del número de mascotas es exactamente $1.25$ (para el intervalo "4 o más" utiliza el valor $4$ como marca de clase). Una vez hallados, construye la tabla de frecuencias absolutas completa.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Cuando cambian los datos
Si se corrige un dato o llegan datos nuevos, hay que rehacer la tabla: se mueven o se suman frecuencias absolutas y se recalculan $N$, $h_i$ y $F_i$.
En un estudio sobre el consumo de agua por vivienda en una urbanización, se han obtenido los siguientes datos de frecuencias acumuladas, pero se han omitido las…
En un estudio sobre el consumo de agua por vivienda en una urbanización, se han obtenido los siguientes datos de frecuencias acumuladas, pero se han omitido las frecuencias absolutas individuales.
| Consumo ($m^3$) | Freq. absoluta acumulada ($F_i$) |
|---|---|
| $[0, 10)$ | $12$ |
| $[10, 20)$ | $30$ |
| $[20, 30)$ | $65$ |
| $[30, 40)$ | $90$ |
| $[40, 50]$ | $100$ |
Se ha decidido que las viviendas que consumen más de $30 m^3$ paguen un recargo. Sin embargo, tras una revisión, se descubre que $10$ viviendas del intervalo $[20, 30)$ realmente consumían $32 m^3$. Calcula la nueva tabla de frecuencias relativas porcentuales ($\%$) corregida y determina qué porcentaje del total de viviendas deberá pagar el recargo finalmente.
Un ayuntamiento analiza la edad de los usuarios de un polideportivo. Los datos de los primeros $160$ usuarios se resumen en esta tabla de frecuencias acumuladas: | Edad…
Un ayuntamiento analiza la edad de los usuarios de un polideportivo. Los datos de los primeros $160$ usuarios se resumen en esta tabla de frecuencias acumuladas:
| Edad | $F_i$ |
|---|---|
| $[0, 18)$ | $40$ |
| $[18, 35)$ | $95$ |
| $[35, 60)$ | $140$ |
| $[60, 85]$ | $160$ |
Si durante la tarde se inscriben $40$ nuevos usuarios, todos ellos pertenecientes al grupo de edad de $[18, 35)$, ¿cómo varía la tabla de frecuencias relativas? Calcula la tabla de frecuencias relativas porcentuales ($\%$) resultante tras las nuevas inscripciones y comenta cómo ha afectado este cambio a la importancia relativa del grupo de mayores de $60$ años.
Vuelve al principio: la lista de 20 números de Yaritza se convierte, con rayitas, en una tabla donde se lee, por ejemplo, que el 40 % de sus compañeros fue exactamente una vez al cine.