Fracciones y decimales
Tu celular marca que le queda $\frac{1}{4}$ de batería, y la calculadora dice que $\frac{1}{3} = 0.3333333$ y se queda tan tranquila. Pero tú sabes que ese 3 sigue para siempre. ¿Cómo se escribe eso sin tinta infinita? ¿Y cómo se recupera la fracción si solo tienes el decimal? En esta página repasas las fracciones, aprendes a pasar de fracción a decimal y al revés, y ordenas todos los tipos de números que conoces.
Fracciones: equivalentes, simplificación y fracción de una cantidad
Una fracción $\frac{a}{b}$ reparte un total en $b$ partes iguales y toma $a$ de ellas. Si la batería de un celular se divide en 8 barras y hay 2 encendidas, está cargada $\frac{2}{8}$.
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Se obtienen multiplicando o dividiendo numerador y denominador por el mismo número: $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Cuando ya no se puede dividir más, la fracción es irreducible.
Para comprobar si dos fracciones son equivalentes sin dibujar, multiplica en cruz: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ si $a \cdot d = b \cdot c$.
Para hallar la fracción de una cantidad, divide la cantidad entre el denominador y multiplica por el numerador. Los $\frac{3}{5}$ de 200 pasajeros: $200 \div 5 = 40$ y $40 \times 3 = 120$.
Fracciones en la recta numérica
Cada fracción tiene su lugar en la recta. Divide cada unidad en tantas partes como diga el denominador y cuenta desde el cero. Las negativas van a la izquierda del 0.
Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar tu respuesta, utiliza el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifica…
Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes. Para justificar tu respuesta, utiliza el método del producto cruzado (multiplicar en cruz) o simplifica ambas fracciones hasta obtener la irreducible.
- a) $\frac{3}{5}$ y $\frac{9}{15}$
- b) $\frac{4}{7}$ y $\frac{10}{21}$
- c) $\frac{-2}{3}$ y $\frac{8}{-12}$
Representa en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación. Números a representar: $A = \frac{3}{2}$…
Representa en la siguiente recta numérica, de forma aproximada, los números racionales que se indican a continuación.
Números a representar:
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$A = \frac{3}{2}$
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$B = -\frac{1}{2}$
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$C = \frac{3}{4}$
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$D = -1.5$
Observa la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular. 1. Escribe la fracción que representa la parte cargada de la…
Observa la siguiente ilustración que representa el nivel de carga de la batería de un teléfono celular.
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Escribe la fracción que representa la parte cargada de la batería respecto al total.
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Simplifica dicha fracción hasta obtener su fracción irreducible.
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Si la batería tiene una capacidad total de $4000 \text{ mAh}$, ¿cuántos mAh de energía quedan disponibles?
Operaciones con fracciones
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Sumar y restar: primero se reducen a común denominador; se operan los numeradores y el denominador se queda igual.
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Multiplicar: numerador por numerador y denominador por denominador.
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Dividir: se multiplica por la fracción inversa: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$.
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Potencias: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ y $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, es decir, el exponente negativo invierte la fracción: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$.
En las operaciones combinadas se respeta la jerarquía: paréntesis, potencias, multiplicaciones y divisiones (de izquierda a derecha), y al final sumas y restas.
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerda simplificar el resultado final siempre que sea posible y respeta la jerarquía de las operaciones…
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones. Recuerda simplificar el resultado final siempre que sea posible y respeta la jerarquía de las operaciones (primero paréntesis, luego multiplicaciones/divisiones, y finalmente sumas/restas).
- a) $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{5}$
- b) $\left( \frac{3}{2} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{2}$
- c) $\frac{5}{6} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3}$
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Recuerda simplificar el resultado final hasta obtener la…
Realiza las siguientes operaciones combinadas con fracciones, respetando la jerarquía de las operaciones. Recuerda simplificar el resultado final hasta obtener la fracción irreducible.
$$ \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right)^{-2} + \frac{5}{3} \times \left( \frac{2}{5} - 1 \right) - \frac{1}{2} : \frac{3}{4} $$Problemas con fracciones
Casi todos los problemas con fracciones son «fracción del resto». Cada paso se calcula sobre lo que queda del paso anterior.
Un grupo de amigos compra una pizza gigante para cenar. Ana se come $\frac{1}{6}$ de la pizza. Carlos se come $\frac{2}{6}$ de la pizza. Beatriz se come $\frac{1}{3}$ de…
Un grupo de amigos compra una pizza gigante para cenar.
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Ana se come $\frac{1}{6}$ de la pizza.
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Carlos se come $\frac{2}{6}$ de la pizza.
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Beatriz se come $\frac{1}{3}$ de la pizza.
- a) ¿Qué fracción de la pizza se han comido entre los tres? (Recuerda reducir a común denominador si es necesario).
- b) ¿Qué fracción de pizza ha sobrado?
Javier ha estado revisando el almacenamiento de su celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observa la siguiente distribución de sus datos: 1. El…
Javier ha estado revisando el almacenamiento de su celular, que tiene una capacidad total de $128 \text{ GB}$. Observa la siguiente distribución de sus datos:
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El sistema operativo y las aplicaciones preinstaladas ocupan $\frac{1}{8}$ del total.
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Las fotos y videos de sus vacaciones ocupan $\frac{2}{5}$ del resto (lo que queda libre tras contar el sistema).
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Sus juegos ocupan $\frac{1}{4}$ de lo que quedaba tras guardar las fotos.
¿Qué fracción del total representa el espacio que aún tiene libre? ¿Cuántos Gigabytes (GB) son? Apóyate en el siguiente esquema para visualizar el problema.
De fracción a decimal
Para pasar una fracción a decimal basta con dividir el numerador entre el denominador. Lo interesante es qué tipo de decimal sale:
| Tipo | Ejemplo | Cómo es |
|---|---|---|
| Exacto | $\frac{3}{8} = 0.375$ | Tiene un número finito de decimales. |
| Periódico puro | $\frac{5}{11} = 0.454545\ldots = 0.\overline{45}$ | El grupo que se repite (el periodo) empieza justo después del punto. |
| Periódico mixto | $\frac{7}{6} = 1.1666\ldots = 1.1\overline{6}$ | Antes del periodo hay cifras que no se repiten (el anteperiodo). |
El periodo se marca con una raya encima: $0.\overline{45}$. En otros libros se usa un arco: $0.\widehat{45}$. Significan lo mismo.
¿Por qué se repiten las cifras?
Al dividir entre 7, el resto solo puede ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Si nunca sale 0, tarde o temprano un resto se repite, y a partir de ahí la división vuelve a dar las mismas cifras. Por eso $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$ y el periodo tiene como mucho 6 cifras.
De decimal a fracción: la fracción generatriz
Todo decimal exacto o periódico viene de una fracción, que se llama su fracción generatriz.
Exacto. Se pone el número sin punto en el numerador y un 1 seguido de tantos ceros como decimales en el denominador. Luego se simplifica.
$$3.75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4}$$Periódico. El truco es multiplicar por una potencia de 10 para que, al restar, los periodos infinitos se anulen.
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en…
Clasifica los siguientes números decimales según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos. Después, convierte los dos primeros (apartados a y b) en su correspondiente fracción generatriz.
- a) $2.5$
- b) $1.333...$
- c) $4.1252525...$
- d) $0.08$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo primero todos los números decimales a su fracción generatriz. No utilices aproximaciones decimales durante el proceso.
$$ \frac{1.2 - 0,\widehat{6}}{1 - 0.8\widehat{3}} : 3^{-1} $$Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0. Sabiendo que: Su anteperiodo tiene 2 cifras. Su periodo tiene 1 cifra. La fracción generatriz…
Sea $x$ un número decimal periódico mixto cuya parte entera es 0.
Sabiendo que:
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Su anteperiodo tiene 2 cifras.
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Su periodo tiene 1 cifra.
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La fracción generatriz irreducible de dicho número tiene como denominador 900.
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El número satisface que: $\frac{1}{8} < x < \frac{1}{7}$
Encuentra todos los posibles valores de $x$ y exprésalos como fracción y como número decimal.
Porcentajes, fracciones y decimales
Un porcentaje es una fracción con denominador 100: 25 % significa $\frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0.25$. Las tres formas son el mismo número.
Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplica por el decimal: el 15 % de 80 pesos es $80 \times 0.15 = 12$ pesos. Para saber qué porcentaje es una parte, divide y multiplica por 100: 12 de 80 es $\frac{12}{80} = 0.15 = 15\%$.
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales. a) $25\%$ b) $0.75$ c) $10\%$ d) $1.5$
Calcula la fracción irreducible equivalente a cada uno de los siguientes porcentajes y números decimales.
- a) $25\%$
- b) $0.75$
- c) $10\%$
- d) $1.5$
En un liceo de 500 alumnos, se realizó una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes: $\frac{1}{2}$ de los alumnos prefiere el fútbol.…
En un liceo de 500 alumnos, se realizó una encuesta sobre sus deportes favoritos. Los resultados son los siguientes:
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$\frac{1}{2}$ de los alumnos prefiere el fútbol.
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$\frac{3}{10}$ de los alumnos prefiere el baloncesto.
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El resto de los alumnos prefiere otros deportes.
- a) ¿Cuántos alumnos prefieren el fútbol?
- b) ¿Cuántos alumnos prefieren el baloncesto?
- c) ¿Qué fracción del total de alumnos prefiere "otros deportes"?
Tres amigos, Ana, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\text{RD\$}\ 7\,200$. Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total. Beto aporta $\frac{1}{3}…
Tres amigos, Ana, Beto y Carla, deciden comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $\text{RD\$}\ 7\,200$.
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Ana aporta $\frac{2}{5}$ del total.
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Beto aporta $\frac{1}{3}$ del total.
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Carla pone el resto.
- a) ¿Qué fracción del total aporta Carla?
- b) ¿Cuántos pesos paga cada uno?
- c) Si hubieran decidido pagar en partes iguales, ¿qué fracción del total habría pagado cada uno y cuánto dinero sería?
Todos los números: de los naturales a los reales
Cada vez que una operación «no se podía hacer», los matemáticos ampliaron los números:
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Con los naturales $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ no puedes hacer $3 - 5$.
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Por eso aparecen los enteros $\mathbb{Z} = \{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}$. Pero con ellos no puedes hacer $3 \div 5$.
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Así llegan los racionales $\mathbb{Q}$: todos los que se escriben como fracción (decimales exactos y periódicos).
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Aun así faltan números: los irracionales $\mathbb{I}$, decimales con infinitas cifras sin periodo, como $\sqrt{2} = 1.41421356\ldots$ o $\pi = 3.14159265\ldots$
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Racionales e irracionales juntos forman los reales $\mathbb{R}$: todos los puntos de la recta.
La recta real y los intervalos
Cada número real ocupa un punto de la recta, y cada punto de la recta es un número real. Para hablar de tramos de la recta se usan intervalos: $(a, b)$ no incluye los extremos, $[a, b]$ sí los incluye, y $[a, b)$ incluye $a$ pero no $b$. Así, «los racionales entre $\frac{13}{9}$ y $1.4\overline{5}$» son los números del intervalo $\left(\frac{13}{9}, 1.4\overline{5}\right)$.
Entre dos números reales distintos siempre hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Para ubicar uno, pasa los extremos a decimales y compáralos cifra a cifra.
¿Dónde está $\sqrt{2}$ en la recta?
Aunque sus decimales no acaben nunca, $\sqrt{2}$ tiene un sitio exacto. Dibuja un cuadrado de lado 1: por el teorema de Pitágoras su diagonal mide $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Con el compás llevas esa diagonal a la recta:
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales…
Clasifica los siguientes números en el conjunto numérico más pequeño al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ o $\mathbb{Q}$) y, para aquellos que sean decimales (exactos o periódicos), halla su fracción generatriz simplificada.
- a) $4.25$
- b) $-7$
- c) $3.1\widehat{6}$
- d) $5,\widehat{27}$
- e) $-\frac{18}{3}$
Una vez obtenidas las fracciones, ordénalas de menor a mayor.
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo: $$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1.4\widehat{5}…
Encuentra dos números racionales y dos números irracionales que se encuentren estrictamente comprendidos en el intervalo:
$$ \left( \frac{13}{9} \, , \, 1.4\widehat{5} \right) $$Explica detalladamente el procedimiento que has seguido para encontrarlos y demuestras que, efectivamente, pertenecen a dicho intervalo.
Error absoluto y error relativo
Al medir, el valor que obtienes (valor aproximado) casi nunca es el valor real.
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Error absoluto $= |\text{valor aproximado} - \text{valor real}|$. Se expresa en la misma unidad.
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Error relativo $= \dfrac{\text{error absoluto}}{|\text{valor real}|}$. No tiene unidad; se suele dar en porcentaje.
El error relativo dice cuánto pesa el error respecto a lo medido, y por eso sirve para comparar la precisión de mediciones distintas.
Si los datos vienen en notación científica, opera con las potencias de 10: $2.4 \cdot 10^{-4} - 2.3 \cdot 10^{-4} = 0.1 \cdot 10^{-4} = 1 \cdot 10^{-5}$.
Tenemos dos básculas diferentes. Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24.5 \text{ g}$. El valor real exacto es…
Tenemos dos básculas diferentes.
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Báscula A: Se utiliza en un laboratorio y al pesar una probeta nos da un valor de $24.5 \text{ g}$. El valor real exacto es $\frac{49}{2} \text{ g}$.
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Báscula B: Se utiliza en un almacén y al pesar una caja nos da un valor de $5.4 \text{ kg}$. El valor real exacto es $\frac{16}{3} \text{ kg}$.
Calcula el error absoluto y el error relativo cometido en cada medición. ¿Cuál de las dos mediciones es más precisa? Justifica tu respuesta basándote en el error relativo.
En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica. El valor real de la…
En un laboratorio de química se están realizando mediciones de precisión. Dos estudiantes, Álex y Bea, miden la longitud de una fibra microscópica.
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El valor real de la longitud de la fibra es $2.345 \times 10^{-4}$ metros.
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Álex obtiene una medida de $2.3 \times 10^{-4}$ metros.
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Bea obtiene una medida de $2.4 \times 10^{-4}$ metros.
Responde justificando tus respuestas con cálculos:
a) Calcula el error absoluto cometido por cada estudiante. Expresa el resultado en notación científica.
b) Calcula el error relativo de cada medición y exprésalo como un porcentaje.
c) Basándote en el error relativo, ¿cuál de las dos mediciones es más precisa y por qué?
d) Si truncamos el valor real a las diezmilésimas, ¿coincide con el redondeo a las diezmilésimas? Explícalo.
Problemas de fracciones más completos
Aquí se juntan las ideas anteriores. Tres tipos que aparecen mucho:
Rendimientos (llaves y desagües). Si una llave llena un depósito en $t$ horas, en una hora llena $\frac{1}{t}$ del depósito. Los rendimientos se suman, y los desagües se restan. Si todo funciona junto, el tiempo es el inverso de la suma.
Mezclas con fracciones. Si el primer material tiene fracción $f_1$ de oro y el segundo $f_2$, y mezclas $x$ g del primero con $T - x$ g del segundo, el oro total es $f_1 x + f_2 (T - x)$. Se iguala a la fracción deseada por el total y se despeja $x$. Una razón «5 partes de oro por 2 de cobre» significa que el oro es $\frac{5}{7}$ del total.
Fracción de un área. Si una figura se reparte en partes iguales, la fracción sombreada es (partes sombreadas) $\div$ (partes totales). Si las partes no son iguales, divide la figura con líneas auxiliares hasta que lo sean, o calcula las áreas y divide.
Se quiere vallar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ metros y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base. a)…
Se quiere vallar un terreno rectangular. Sabemos que la longitud de su base es de $\frac{15}{2}$ metros y su altura mide $\frac{2}{3}$ de la medida de la base.
- a) Calcula el perímetro del rectángulo en forma de fracción y en forma decimal.
- b) Calcula el área del terreno en metros cuadrados ($\text{m}^2$).
- c) Si el metro de valla cuesta $\text{RD\$}\ 8.50$, ¿cuánto costará cercar todo el terreno?
Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad…
Una bacteria se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Inicialmente, en un cultivo hay un número determinado de bacterias que ocupa $\frac{1}{64}$ de la capacidad total de la placa de Petri.
- a) Si cada hora se duplica la población, ¿qué fracción de la placa estará ocupada después de 3 horas? Expresa el resultado como una potencia de base 2.
- b) ¿Cuántas horas en total tendrán que pasar (desde el inicio) para que la placa esté completamente llena (es decir, la fracción sea 1)?
- c) Si al inicio había 500 bacterias (correspondientes a ese $\frac{1}{64}$), ¿cuántas bacterias habrá cuando la placa esté a la mitad de su capacidad?
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado…
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión, convirtiendo previamente todos los números decimales a su fracción generatriz irreducible y simplificando el resultado paso a paso:
$$ \frac{1.1\widehat{6} - \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \times 0.1}{2 - \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}} + \sqrt{0,\widehat{4}} $$Nota: Recuerda respetar la jerarquía de las operaciones y trabajar con fracciones durante todo el proceso para evitar errores de redondeo.
Un servidor de almacenamiento en la nube ha sufrido una serie de cargas masivas de datos y borrados accidentales durante el fin de semana. 1. El sábado por la mañana, el…
Un servidor de almacenamiento en la nube ha sufrido una serie de cargas masivas de datos y borrados accidentales durante el fin de semana.
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El sábado por la mañana, el servidor estaba lleno hasta los $\frac{3}{4}$ de su capacidad total.
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Al mediodía, un script automático borró $\frac{1}{5}$ de los datos que había almacenados en ese momento.
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Por la tarde, se subieron nuevos archivos que ocuparon $\frac{2}{3}$ de la capacidad que había quedado libre tras el borrado.
Si al final del día aún quedaban 120 GB de espacio libre en el disco duro del servidor:
a) ¿Qué fracción del total del disco representa el espacio libre final?
b) ¿Cuál es la capacidad total de almacenamiento del servidor en GB?
Observa la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo. Calcula qué fracción del área total del cuadrado…
Observa la siguiente figura geométrica que representa un terreno cuadrado dividido en diferentes parcelas de cultivo.
Calcula qué fracción del área total del cuadrado representa la zona sombreada (color naranja). Expresa el resultado como una fracción irreducible.
Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua en un depósito, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo. La llave $A$ llena el depósito en 4 horas si funciona sola. La llave $B$…
Tres llaves ($A$, $B$ y $C$) vierten agua en un depósito, y un desagüe ($D$) permite vaciarlo.
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La llave $A$ llena el depósito en 4 horas si funciona sola.
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La llave $B$ llena el depósito en 6 horas si funciona sola.
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La llave $C$ llena el depósito en 12 horas si funciona sola.
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El desagüe $D$ vacía el depósito lleno en 8 horas.
El depósito está inicialmente vacío. Se abren las tres llaves ($A$, $B$, $C$) y el desagüe ($D$) simultáneamente. Sin embargo, a las 2 horas de funcionamiento, se cierra la llave $A$ por una avería, dejando las otras dos y el desagüe funcionando.
Calcula el tiempo total (en horas y minutos) que tardará el depósito en llenarse por completo desde el inicio.
Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre. El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre. El segundo lingote…
Un joyero dispone de dos lingotes de una aleación de oro y cobre.
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El primer lingote tiene una pureza tal que por cada 5 partes de oro hay 2 de cobre.
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El segundo lingote es de menor calidad, teniendo 3 partes de oro por cada 4 partes de cobre.
El joyero funde una cierta cantidad del primer lingote con una cierta cantidad del segundo para obtener un nuevo lingote de 420 gramos. Si desea que la fracción final de oro en el nuevo lingote sea exactamente $\frac{2}{3}$ del peso total:
¿Cuántos gramos debe cortar y fundir de cada uno de los dos lingotes originales?
Vuelve al principio: el número de la pantalla se escribe sin tinta infinita como $0.\overline{3}$, y recuperas su fracción restando colas: $10x - x = 3.333\ldots - 0.333\ldots \Rightarrow 9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.