Problemas con ecuaciones
Yaritza quiere comprarse un celular de $\text{RD}\$15{,}000$. Ya tiene $\text{RD}\$3{,}000$ ahorrados y puede guardar $\text{RD}\$600$ cada semana. ¿Cuántas semanas necesita? Resolver una ecuación es la parte mecánica. Lo difícil es plantearla: convertir un enunciado en una igualdad con letras. Con un método claro y unas cuantas plantillas, la mayoría de los problemas se vuelven rutina. Al final de la página regresamos al celular de Yaritza.
El método en cuatro pasos
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Elige la incógnita y escribe qué significa: «$x$ = edad de Yeison hoy». Si hay varias cantidades, exprésalas con la misma letra siempre que puedas.
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Traduce cada dato al lenguaje algebraico.
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Plantea la ecuación con la condición que une los datos y resuélvela.
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Comprueba con el enunciado (no con la ecuación, que podría estar mal planteada) y responde con una frase y sus unidades.
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos,…
En un torneo de eSports, el equipo de Alex ha conseguido el triple de puntos que el equipo de Salma. Si entre los dos equipos han sumado un total de $152$ puntos, ¿cuántos puntos ha obtenido cada equipo?
Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y…
Un repartidor de una aplicación de comida a domicilio lleva en su mochila el doble de pizzas que de hamburguesas. Si en total transporta $12$ pedidos entre pizzas y hamburguesas, ¿cuántos hay de cada clase?
Un grupo de amigos compra entradas para un concierto. Las entradas de "pista" cuestan $900$ pesos más que las de "grada". Si compran una de cada tipo y el total de la…
Un grupo de amigos compra entradas para un concierto. Las entradas de "pista" cuestan $900$ pesos más que las de "grada". Si compran una de cada tipo y el total de la factura es de $5\,100$ pesos, ¿cuál es el precio de cada entrada?
Números y edades
Números consecutivos: $x,\ x + 1,\ x + 2$. Pares (o impares) consecutivos: $x,\ x + 2,\ x + 4$.
Edades: haz una tabla con «hoy» y «dentro de» (o «hace»). El tiempo pasa igual para todos: a todas las edades se les suma (o resta) la misma cantidad.
| Hoy | Dentro de 6 años | |
|---|---|---|
| Yeison | $x$ | $x + 6$ |
| Pamela | $x + 4$ | $x + 10$ |
Cuando la edad de uno es el cuadrado de la del otro, la ecuación sale de segundo grado. Se resuelve con la fórmula general o por factorización, y se descarta la solución que no tiene sentido (una edad negativa).
La suma de tres números de dorsal de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su…
La suma de tres números de dorsal de una carrera, que resultan ser tres números enteros consecutivos, es igual a $63$. ¿Qué números llevan esos tres corredores en su franela?
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada…
Actualmente, la edad de un padre es el triple que la de su hija. Dentro de $12$ años, la edad del padre será solamente el doble que la de su hija. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese…
La edad actual de una madre es el cuadrado de la edad de su hija. Dentro de $9$ años, la edad de la madre será solamente el triple de la edad que tenga su hija en ese momento. Halla las edades actuales de ambas.
Problemas geométricos
Dibuja siempre la figura y escribe sus medidas con $x$. Luego usa la fórmula adecuada: perímetro, área, Pitágoras…
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo…
Se quiere vallar un huerto escolar de forma rectangular para proteger los cultivos. Sabemos que el largo del huerto mide $5$ metros más que el ancho y que para rodearlo completamente se han necesitado $38$ metros de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del huerto?
Calcula el lado de un panel publicitario de forma cuadrada sabiendo que si su lado aumentara en $2$ metros, su área aumentaría en $16$ metros cuadrados.
Calcula el lado de un panel publicitario de forma cuadrada sabiendo que si su lado aumentara en $2$ metros, su área aumentaría en $16$ metros cuadrados.
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total…
Se está diseñando una nueva zona de juegos rectangular en un parque municipal. Se sabe que el largo de la zona debe ser $5$ metros mayor que el ancho. Si el área total destinada a los juegos es de $150$ $m^2$, calcula las dimensiones (largo y ancho) que tendrá dicha zona.
Áreas con bordes y triángulos rectángulos
Aquí aparecen dos situaciones que producen ecuaciones de segundo grado.
Un borde de grosor $x$ alrededor de un rectángulo de $a \times b$: el borde se suma por los dos lados, así que las dimensiones totales son $(a + 2x)$ y $(b + 2x)$.
Triángulo rectángulo: el área es $\dfrac{\text{cateto}_1 \cdot \text{cateto}_2}{2}$ y se cumple Pitágoras, $c_1^2 + c_2^2 = h^2$. En un triángulo isósceles, la altura sobre el lado desigual lo divide en dos mitades y forma un triángulo rectángulo.
Si el dato es el área y la hipotenusa, no hay una relación directa entre los catetos. Usa dos incógnitas (un sistema) y la identidad $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$…
Calcula las dimensiones de un triángulo isósceles sabiendo que el lado desigual mide $4$ $cm$ menos que cada uno de los lados iguales y que el perímetro total es de $26$ $cm$. Una vez hallados los lados, calcula el área del triángulo.
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de…
Un diseñador gráfico está trabajando en el logo de una nueva empresa. El diseño consiste en un rectángulo central para el nombre, rodeado por un borde decorativo de grosor uniforme $x$. El rectángulo interior tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ por $8\text{ cm}$. Si el área total del logo (incluyendo el borde) debe ser exactamente el doble del área del rectángulo interior, ¿cuál debe ser el grosor $x$ de dicho borde?
El área de un triángulo rectángulo es de $30\text{ cm}^2$ y su hipotenusa mide $13\text{ cm}$. Calcula la medida de los dos catetos del triángulo.
El área de un triángulo rectángulo es de $30\text{ cm}^2$ y su hipotenusa mide $13\text{ cm}$. Calcula la medida de los dos catetos del triángulo.
Desplazamientos: encuentros y alcances
Recuerda que $\text{distancia} = \text{velocidad} \times \text{tiempo}$. Haz un esquema de la carretera y escribe qué distancia recorre cada vehículo o persona.
| Tipo | Ecuación típica |
|---|---|
| Encuentro (salen uno hacia el otro) | $v_1 t + v_2 t = \text{distancia total}$ |
| Alcance (mismo sentido) | $v_1 t = \text{ventaja} + v_2 t$ |
| Salida con retraso | el que sale tarde viaja $t - \text{retraso}$ |
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad…
Dos ciclistas, Lucía y Marcos, se encuentran a una distancia de $60$ $km$ y deciden encontrarse en un punto intermedio. Lucía parte de $A$ hacia Marcos a una velocidad constante de $20$ $km/h$. Al mismo tiempo, Marcos parte de $B$ hacia Lucía a una velocidad de $10$ $km/h$. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse y a qué distancia del punto $A$ ocurrirá el encuentro?
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de…
Dos ciudades, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $155\text{ km}$. A las 10:00 h, un ciclista sale de $A$ hacia $B$ a una velocidad constante de $20\text{ km/h}$. Una hora y media más tarde, una moto sale de $B$ hacia $A$ a una velocidad de $80\text{ km/h}$. ¿A qué hora se cruzarán y a qué distancia de la ciudad $A$ se producirá el encuentro?
Mezclas, precios e intereses
En estos problemas se reparte una cantidad total $T$ en dos partes: llama $x$ a una y $T - x$ a la otra. Después se escribe una segunda condición sobre el precio, la concentración o el interés.
| Tipo | Ecuación típica |
|---|---|
| Mezcla por precio | $p_1 x + p_2 (T - x) = p_m \cdot T$ |
| Mezcla por concentración | $c_1 x + c_2 (T - x) = c_m \cdot T$ |
| Dos inversiones | $r_1 x + r_2 (T - x) = \text{beneficio total}$ |
Las tres tienen la misma forma: cada parte se multiplica por su «valor» (precio, porcentaje o tasa) y el total debe coincidir con lo que se pide. Los porcentajes se pasan a decimal ($25\% = 0.25$).
También puedes resolverlos con dos incógnitas ($x + y = T$ y la segunda condición) y un sistema por sustitución: es exactamente lo mismo.
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $720$ pesos/kg y el café "Robusta" cuesta $480$ pesos/kg. Si queremos…
En una tienda gourmet se quieren mezclar dos tipos de café. El café "Arábica" tiene un precio de $720$ pesos/kg y el café "Robusta" cuesta $480$ pesos/kg. Si queremos obtener una mezcla de $20$ $kg$ que salga a un precio de $630$ pesos/kg, ¿cuántos kilos de cada tipo de café debemos utilizar?
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y…
En un laboratorio químico se necesitan $20\text{ litros}$ de una solución ácida al $25\%$. El técnico dispone de dos garrafas: una con una mezcla al $10\%$ de ácido y otra con una mezcla concentrada al $50\%$. ¿Cuántos litros de cada garrafa debe mezclar para obtener la concentración deseada?
Mario ha ganado $\text{RD\$}\ 72\,000…
Mario ha ganado $\text{RD\$}\ 72\,000$ en un concurso de programación y los divide en dos partes para depositarlas en dos productos financieros diferentes. El primero ofrece una rentabilidad del $4\%$ anual, mientras que el segundo, más arriesgado, ofrece un $7\%$ anual. Si al finalizar el año los beneficios totales obtenidos han sido de $\text{RD\$}\ 3\,780$, ¿qué cantidad destinó a cada producto?
Repartos y trabajos en equipo
Algunos problemas llevan la incógnita en el denominador. Se resuelven multiplicando toda la ecuación por el denominador común.
Reparto: si un gasto $G$ se divide entre $x$ personas, cada una paga $\dfrac{G}{x}$. Si se suman personas, el pago baja.
Trabajo en equipo: si una llave llena un depósito en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac{1}{x}$ del depósito. Los «trabajos por hora» se suman: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{t}$, con $t$ el tiempo juntas.
Otro tipo de problema: un número natural cumple una condición con su cuadrado. Se plantea $x^2 - 3x = 40$, se lleva a la forma $x^2 - 3x - 40 = 0$ y se resuelve. Si el enunciado pide un número natural, descarta las soluciones negativas o fraccionarias.
Halla un número natural tal que la diferencia entre su cuadrado y su triple sea igual a $40$. ¿Es única la solución para este problema en el conjunto de los números…
Halla un número natural tal que la diferencia entre su cuadrado y su triple sea igual a $40$. ¿Es única la solución para este problema en el conjunto de los números naturales? Justifica tu respuesta planteando la ecuación correspondiente.
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $7\,200$ pesos. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se…
Un grupo de amigos quiere comprar un regalo de cumpleaños que cuesta $7\,200$ pesos. Al principio eran un número determinado de personas, pero en el último momento se apuntaron $2$ amigos más, lo que hizo que cada uno tuviera que pagar $300$ pesos menos. ¿Cuántos amigos había inicialmente en el grupo?
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más…
Dos tuberías conectadas a un depósito pueden llenarlo juntas en $4\text{ horas}$. Si se utilizan por separado, la tubería de menor diámetro tarda $6\text{ horas}$ más que la tubería de mayor diámetro en llenar el depósito completo. ¿Cuánto tiempo tardaría cada tubería en solitario?
Resumen
Volvamos al celular de Yaritza. Si $x$ son las semanas, $3{,}000 + 600x = 15{,}000$, de donde $600x = 12{,}000$ y $x = 20$. Necesita 20 semanas. Comprobación: $3{,}000 + 20 \cdot 600 = 15{,}000$ ✓