Kreuzprodukt

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (0, 4, 1)$. Berechnen Sie ihr Kreuzprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ mithilfe der Determinantenregel mit den Vektoren der Standardbasis $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Gegeben sind die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ und $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Berechnen Sie die folgenden Kreuzprodukte:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Begründen Sie anhand der Ergebnisse, ob das Kreuzprodukt kommutativ ist.

Lea soll die Koordinaten eines Vektors bestimmen, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (1, 4, -2)$ ist. Dazu stellt sie die Determinante mit den Vektoren der Standardbasis auf und schreibt in ihre Klausur:

Nach dem Ausrechnen folgert sie, dass der gesuchte Vektor $\vec{w} = (-10, -7, 9)$ ist.

1. a) Zeigen Sie mithilfe des Skalarprodukts, ohne das Kreuzprodukt erneut vollständig zu berechnen, dass der von Lea erhaltene Vektor $\vec{w}$ nicht senkrecht zu $\vec{u}$ ist.
2. b) Finden Sie den begrifflichen oder rechnerischen Fehler, den Lea bei der Entwicklung der Determinante gemacht hat, und erklären Sie ihn genau.
3. c) Korrigieren Sie die Rechnung und geben Sie die richtigen Koordinaten des Vektors $\vec{u} \times \vec{v}$ an.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $\vec{u} = (5, 0, 0)$ und $\vec{v} = (2, 3, 0)$ aufgespannt wird. Welchen Zusammenhang erkennen Sie zwischen diesem Ergebnis und dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundseite 5 und der Höhe 3 in der Ebene $XY$?

Im dreidimensionalen Raum sind die Eckpunkte eines Dreiecks gegeben: $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $C(2|5|1)$ (Koordinaten in Metern).

1. a) Betrachten Sie vor jeder Berechnung einer Determinante oder eines Kreuzprodukts die geometrische Lage der Punkte: Die Seite $AB$ liegt auf der $X$-Achse und der Eckpunkt $C$ liegt bei $y = 5$ mit einer kleinen Höhenkoordinate ($z = 1$). Schätzen Sie ausgehend vom Flächeninhalt der Projektion des Dreiecks auf die waagerechte Ebene $XY$ den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ im Raum begründet ab und geben Sie an, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sein Wert liegen muss.
2. b) Berechnen Sie den exakten Flächeninhalt des Dreiecks über den Betrag des Kreuzprodukts $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Vergleichen Sie den exakten Wert mit Ihrer vorherigen Schätzung und begründen Sie, warum der tatsächliche Flächeninhalt im Raum etwas größer ist als der des auf die waagerechte Ebene projizierten Dreiecks.

Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters $k$ so, dass der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a} = (k, 1, 2)$ und $\vec{b} = (1, k, 0)$ aufgespannten Parallelogramms genau $\sqrt{21}$ Flächeneinheiten beträgt.

Berechnen Sie einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{a} = (1, 1, 1)$ und $\vec{b} = (3, 0, 2)$ ist. Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie das Skalarprodukt des erhaltenen Vektors mit $\vec{a}$ bilden.

Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht zu der Ebene steht, die durch die Punkte $P(0|0|0)$, $Q(1|2|3)$ und $R(2|0|1)$ verläuft.

Beim Entwurf eines Industrieteils muss die Richtung der Geraden $r$ bekannt sein, die als Schnitt zweier Ebenen mit den Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ und $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$ entsteht. Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu beiden Normalenvektoren. Bestimmen Sie ihn mithilfe des Kreuzprodukts.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, -2, 3)$ und $\vec{v} = (0, 1, 4)$. Berechnen Sie die Koordinaten eines Vektors $\vec{w}$, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{u}$ und zu $\vec{v}$ ist und den Betrag $\sqrt{130}$ Einheiten hat. Wie viele mögliche Lösungen gibt es für diesen Vektor?

Überprüfen Sie, ob die Vektoren $\vec{u} = (1, -2, 4)$ und $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ parallel sind, indem Sie ihr Kreuzprodukt berechnen. Erklären Sie, welche Bedingung das Ergebnis eines Kreuzprodukts erfüllen muss, damit zwei Vektoren dieselbe Richtung haben.

Beweisen Sie mithilfe der Eigenschaften des Kreuzprodukts, dass für jedes Paar von Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ im Raum die folgende Gleichung gilt:

Überprüfen Sie anschließend das Ergebnis für die Vektoren $\vec{u} = (1, 0, -1)$ und $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (2, -1, 0)$ und $\vec{b} = (1, 2, -2)$. Bestimmen Sie einen dritten Vektor $\vec{c}$ so, dass die Menge $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ eine Orthogonalbasis des Raumes bildet (d. h., die Vektoren sind paarweise senkrecht zueinander).

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, 1, -1)$ und $\vec{v} = (1, 0, 3)$. Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{x}$, die gleichzeitig die folgenden Gleichungen erfüllen:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Hinweis: Verwenden Sie die Distributivität des Kreuzprodukts und die Linearitätsbedingung.)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1|0|2)$, $B(3|1|2)$ und $C(1|2|5)$ im Raum.

In der Physik ergibt sich das Drehmoment einer in einem Punkt angreifenden Kraft $\vec{F}$ bezüglich eines Ursprungs aus dem Kreuzprodukt $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, wobei $\vec{r}$ der Ortsvektor des Angriffspunkts ist. Berechnen Sie das Drehmoment einer Kraft $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newton, die im Punkt mit den Koordinaten $\vec{r} = (3, 0, 0)$ Meter angreift. Die Abbildung zeigt eine Skizze (nicht maßstabsgetreu) von $\vec{r}$ und $\vec{F}$.

Ein Vermessungsteam misst ein dreieckiges Grundstück in unebenem Gelände. Die Eckpunkte des Dreiecks, bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem in Metern, sind $A(1|0|2)$, $B(3|4|0)$ und $C(5|1|-3)$. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Grundstücks mithilfe des Kreuzprodukts.

Ein Umweltingenieur berechnet die Effizienz eines ebenen Solarpanels. Das Panel wird durch die Punkte $P(1|1|1)$, $Q(2|3|1)$ und $R(1|2|4)$ festgelegt. Um die Energieausbeute zu maximieren, benötigt er den Einheitsnormalenvektor der Panelfläche. Bestimmen Sie diesen Vektor.

Im Schulhof eines Gymnasiums in Dortmund soll ein dreieckiges Sonnensegel installiert werden, um einen Schattenbereich gegen die hohen Temperaturen zu schaffen. Die Plane wird an drei Haltepunkten befestigt, die an den umliegenden Mauern angebracht sind. Ihre Raumkoordinaten bezogen auf den waagerechten Boden (Ebene $XY$, in Metern) sind $A(0|0|3)$, $B(4|0|4)$ und $C(0|6|5)$.

1. a) Modellieren Sie die gespannte Fläche als Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ und berechnen Sie mithilfe des Kreuzprodukts ihren exakten Flächeninhalt (in $\text{m}^2$).
2. b) Damit sich bei starkem Regen kein Wasser ansammelt, muss die Neigung der Plane kontrolliert werden. Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht zur Fläche des Sonnensegels steht, und berechnen Sie den Winkel, den er mit der Senkrechten $\vec{k} = (0, 0, 1)$ bildet. Leiten Sie daraus die Neigung des Sonnensegels gegenüber der waagerechten Bodenebene ab.

Betrachten Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten $A(k|0|1)$, $B(1|2|1)$ und $C(0|-1|k)$, wobei $k$ ein reeller Parameter ist.

1. a) Bestimmen Sie den Term für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $k$.
2. b) Bestimmen Sie die Werte von $k$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks genau $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ Flächeneinheiten beträgt.

Sei $V$ das Volumen des Spats (Parallelepipeds), das von den Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aufgespannt wird.

Es seien $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ und $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Bestimmen Sie die Werte von $m$, für die das Volumen 4 Volumeneinheiten beträgt.
2. b) Berechnen Sie für jeden dieser Werte von $m$ den Flächeninhalt der Seitenfläche des Spats, die von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird, und bestimmen Sie damit die Höhe des Spats bezüglich dieser Grundfläche.