Rotationskörper mit ganzrationalen Funktionen
Eine Glasbläserei in Thüringen fertigt Vasen auf der Drehbank: Ein Glasrohling dreht sich um eine Achse, und die Form der Vase ist die „Drehspur“ einer Randkurve. Wie viele Milliliter passen hinein, ohne dass jemand die Vase vollgießen muss? Das lässt sich mit der Integralrechnung ausrechnen.
Die Idee: Scheiben aufsummieren
Der Graph einer Funktion $f$ rotiert im Intervall $[a;b]$ um die x-Achse. Dabei entsteht ein Rotationskörper.
Zerlege den Körper in dünne Scheiben der Dicke $\Delta x$. An der Stelle $x$ ist jede Scheibe fast ein Zylinder mit Radius $f(x)$ und Höhe $\Delta x$. Sein Volumen ist
$$\pi\cdot f(x)^2\cdot \Delta x .$$Das ist wieder eine Produktsumme, und beim Übergang $\Delta x \to 0$ wird daraus ein Integral.
Warum das Quadrat? Der Kreis hat die Fläche $\pi r^2$ mit $r=f(x)$. Beachte: Es wird erst quadriert, dann integriert.
Der Graph von $f(x) = 2$ im Intervall $[0;3]$ rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers mit der Formel $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ und…
Der Graph von $f(x) = 2$ im Intervall $[0;3]$ rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers mit der Formel $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx$ und benennen Sie den Körper.
Der Graph von $f(x) = x$ im Intervall $[0;3]$ rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers und vergleichen Sie mit der Kegelformel.
Der Graph von $f(x) = x$ im Intervall $[0;3]$ rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers und vergleichen Sie mit der Kegelformel.
Ganzrationale Funktionen: quadrieren und integrieren
Bei $f(x)=x^2$ ist $f(x)^2=x^4$, die Stammfunktion ist $\tfrac15x^5$. Bei Summen im Term brauchst du die binomischen Formeln.
Der Graph von $f(x) = x^2$ im Intervall $[0;2]$ rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen exakt.
Der Graph von $f(x) = x^2$ im Intervall $[0;2]$ rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen exakt.
Eine Vase aus Glas aus Thüringen entsteht durch Rotation des Graphen von $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ für $0 \le x \le 4$ um die x-Achse (1 LE = 1 cm). Berechnen Sie das…
Eine Vase aus Glas aus Thüringen entsteht durch Rotation des Graphen von $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 1$ für $0 \le x \le 4$ um die x-Achse (1 LE = 1 cm).
Berechnen Sie das Fassungsvermögen der Vase in Millilitern, gerundet auf eine Dezimalstelle.
Fläche zwischen Graph und x-Achse, Fläche zwischen zwei Graphen
Oft ist das Intervall nicht gegeben. Dann bestimmst du die Nullstellen (bzw. Schnittstellen) als Integrationsgrenzen.
Liegt ein Teil der Fläche unterhalb der x-Achse, ist das kein Problem: Wegen $f(x)^2\ge 0$ ist das Volumen immer positiv, das Quadrat beseitigt das Vorzeichen.
Rotiert die Fläche zwischen zwei Graphen $f$ und $g$ mit $f(x)\ge g(x)\ge 0$ um die x-Achse, entsteht ein Körper mit „Loch“: Du ziehst das innere Volumen vom äußeren ab.
Die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = x^2 - 4x$ und der x-Achse rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers.
Die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = x^2 - 4x$ und der x-Achse rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Körpers.
Die Fläche zwischen den Graphen von $f(x) = x$ und $g(x) = x^2$ rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Körpers.
Die Fläche zwischen den Graphen von $f(x) = x$ und $g(x) = x^2$ rotiert um die x-Achse.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers.
Volumen in Abhängigkeit von einer Grenze oder einem Parameter
Steht im Intervall eine Variable $h$ oder $c$, wird das Volumen zu einer Funktion $V(h)$. Das Integral liefert dann einen Term in $h$, den du mit einer Bedingung gleichsetzt.
Die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = x(2-x)$ und der x-Achse rotiert um die x-Achse. a) Berechnen Sie das Volumen. b) Für welchen Wert $c$ hat der Körper, der…
Die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x) = x(2-x)$ und der x-Achse rotiert um die x-Achse.
- a) Berechnen Sie das Volumen.
- b) Für welchen Wert $c$ hat der Körper, der durch Rotation von $f$ über $[0;c]$ mit $0
Ein Sektglas wird durch Rotation von $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ für $0\le x\le h$ um die x-Achse modelliert (Maße in cm). a) Bestimmen Sie das Volumen $V(h)$ in Abhängigkeit…
Ein Sektglas wird durch Rotation von $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ für $0\le x\le h$ um die x-Achse modelliert (Maße in cm).
- a) Bestimmen Sie das Volumen $V(h)$ in Abhängigkeit von $h$.
- b) Bestimmen Sie $h$, sodass das Glas 100 ml fasst (auf mm genau).
Die Funktion $f_a(x) = a\,x$ mit $a>0$ rotiert über $[0;h]$ um die x-Achse. a) Zeigen Sie mithilfe der Integralrechnung die Kegelformel $V=\frac13\pi r^2h$, wobei $r$…
Die Funktion $f_a(x) = a\,x$ mit $a>0$ rotiert über $[0;h]$ um die x-Achse.
- a) Zeigen Sie mithilfe der Integralrechnung die Kegelformel $V=\frac13\pi r^2h$, wobei $r$ der Radius der Grundfläche des entstehenden Kegels ist.
- b) Der Kegel hat Höhe 12 cm und Volumen $100\pi\ \text{cm}^3$. Bestimmen Sie $a$.
Auf einen Blick
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Rotation von $f$ über $[a;b]$ um die x-Achse: $V=\pi\int_a^b f(x)^2\,\mathrm{d}x$.
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Erst $f(x)$ quadrieren (binomische Formeln!), dann integrieren; $\pi$ bleibt vor dem Integral.
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Zwischen zwei Graphen mit $f\ge g\ge 0$: $V=\pi\int_a^b\left(f^2-g^2\right)\mathrm{d}x$, Grenzen sind die Schnittstellen.
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Unterhalb der x-Achse ist das Volumen trotzdem positiv, weil $f(x)^2\ge 0$.
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Ist eine Grenze eine Variable, erhältst du $V(h)$ und löst die Bedingung nach $h$ auf.
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Vorlage: Zylinder ($f$ konstant) und Kegel ($f(x)=ax$) bestätigen die bekannten Formeln.
Zurück zum Anfang: Die Vase mit $f(x)=\tfrac12x^2+1$ fasst etwa $240{,}4\ \text{ml}$.