Parallelogramm und Dreieck in Parameterform · Mathematik (Leistungskurs) Q1 Leistungskurs

Die Ebene durch drei Punkte

Drei Punkte $A$, $B$, $C$, die nicht auf einer Geraden liegen, legen genau eine Ebene fest. Du wählst einen von ihnen als Stützpunkt, zum Beispiel $A$. Die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ sind dann die beiden Spannvektoren.

Warum funktioniert das? Von $A$ aus gehst du $r$-mal den Weg nach $B$ und $s$-mal den Weg nach $C$. Alle so erreichbaren Punkte liegen in der Ebene.

Ebene durch drei Punkte und Punktprobe

Gegeben sind $A(2|1|0)$, $B(4|1|1)$ und $C(2|3|2)$.

Spannvektoren bestimmen: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$. Die beiden sind nicht parallel, also liegen die Punkte nicht auf einer Geraden.

Ebenengleichung aufstellen:

$$E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$$

Punktprobe für $P(4|3|3)$: Du setzt $\overrightarrow{OP}$ gleich dem Term von $E$. Daraus folgt $\overrightarrow{AP}=r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$, also

$$\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$$

Zeile für Zeile lösen: I: $2=2r$, also $r=1$. II: $2=2s$, also $s=1$. Probe mit III: $r+2s=1+2=3$ ✓. Alle drei Gleichungen sind erfüllt, also liegt $P$ in $E$.

Prüfe selbst, ob $Q(4|2|1)$ in $E$ liegt.

???

$\overrightarrow{AQ}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$. Aus I folgt $r=1$, aus II folgt $s=\tfrac12$. In III ergibt sich $1+2\cdot\tfrac12=2\neq 1$. Das ist ein Widerspruch, also liegt $Q$ nicht in $E$.

Üben★☆☆

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|1|0)$ und $C(1|2|1)$. Geben Sie die Ebene durch $A$, $B$, $C$ in Parameterform an.

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|1|0)$ und $C(1|2|1)$.

Geben Sie die Ebene durch $A$, $B$, $C$ in Parameterform an.

Lösen

Üben★☆☆

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. Prüfen Sie, ob…

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

Prüfen Sie, ob $P(3|2|3)$ in $E$ liegt.

Lösen

Parallelogramm: den vierten Punkt finden

Ein Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm, wenn gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel sind. Als Vektorgleichung heißt das $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Die Parameter beschreiben die Fläche. Die ganze Ebene erhältst du für alle $r,s\in\mathbb{R}$. Das Parallelogramm selbst erhältst du für

$$0\le r\le 1\quad\text{und}\quad 0\le s\le 1.$$

Für $r=1$, $s=1$ landest du in $C$, denn $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OC}$.

Üben★☆☆

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $D(1|3|0)$. Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm. Berechnen Sie den Punkt $C$.

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $D(1|3|0)$. Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.

Berechnen Sie den Punkt $C$.

Lösen

Üben★★☆

Gegeben sind $A(1|2|0)$, $B(4|2|1)$, $C(5|5|3)$. a) Bestimmen Sie $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist. b) Stellen Sie die Parameterform der Ebene auf, in der das…

Gegeben sind $A(1|2|0)$, $B(4|2|1)$, $C(5|5|3)$.

a) Bestimmen Sie $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

b) Stellen Sie die Parameterform der Ebene auf, in der das Parallelogramm liegt, mit Einschränkung der Parameter für die Parallelogrammfläche.

Lösen

Das Dreieck: Parameterbereich und Schwerpunkt

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Mit $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$ gilt:

Der Schwerpunkt $S$ liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Seine Koordinaten sind der Mittelwert der Eckpunktkoordinaten:

$$\overrightarrow{OS}=\tfrac13\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right).$$

In der Parameterform entspricht er $r=s=\tfrac13$.

Dreieck, Parameter und Schwerpunkt

Gegeben ist das Dreieck $A(2|0|0)$, $B(8|0|0)$, $C(2|6|3)$.

Spannvektoren: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}$. Also

$$E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}.$$

Die Dreiecksfläche liefern genau die Werte $r,s\ge 0$ mit $r+s\le 1$.

Schwerpunkt: $\overrightarrow{OS}=\tfrac13\begin{pmatrix}2+8+2\\0+0+6\\0+0+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}$, also $S(4|2|1)$.

Zeige mit der Parameterform, dass $S$ zu $r=s=\tfrac13$ gehört.

???

$\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}+\tfrac13\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+\tfrac13\begin{pmatrix}0\\6\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+2+0\\0+0+2\\0+0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}$ ✓. Wegen $\tfrac13+\tfrac13\le 1$ liegt $S$ im Dreieck.

Gleichschenkliges Dreieck in einer Ebene

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $E:\ \vec{x}=r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$. Bestimme $C\in E$ so, dass $ABC$ gleichschenklig mit Basis $AB$ ist und $C$ von der Geraden $AB$ den Abstand $3$ hat.

Bei Basis $AB$ liegt $C$ auf der Mittelsenkrechten. Der Mittelpunkt der Basis ist $M(2|0|0)$. Der Vektor $\overrightarrow{MC}$ muss senkrecht zu $\overrightarrow{AB}$ sein.

In $E$ ist $\vec{v}=\begin{pmatrix}0\\3\\4\end{pmatrix}$ ein Richtungsvektor mit $\vec{v}\circ\overrightarrow{AB}=0$, und $|\vec{v}|=\sqrt{9+16}=5$. Der Einheitsvektor ist $\tfrac15\vec{v}$.

Abstand $3$: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}\pm 3\cdot\tfrac15\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\pm\begin{pmatrix}0\\1{,}8\\2{,}4\end{pmatrix}$. Eine Lösung ist $C(2|1{,}8|2{,}4)$, die andere $C'(2|-1{,}8|-2{,}4)$.

Flächeninhalt: $A_\Delta=\tfrac12\cdot|AB|\cdot h=\tfrac12\cdot 4\cdot 3=6$.

Üben★★☆

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|6|6)$. a) Geben Sie die Parameterform der Ebene an, in der das Dreieck liegt, und beschreiben Sie, welche…

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|6|6)$.

a) Geben Sie die Parameterform der Ebene an, in der das Dreieck liegt, und beschreiben Sie, welche Parameterwerte $r,s$ die Punkte des Dreiecks liefern.

b) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks.

Lösen

Üben★★★

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(2|1|0)$ und die Ebene $E:\vec{x}=r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$. a) Bestimmen Sie einen Punkt $C$…

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(2|1|0)$ und die Ebene $E:\vec{x}=r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

a) Bestimmen Sie einen Punkt $C$ in $E$, sodass $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$ ist und $C$ den Abstand $3$ von der Geraden $AB$ hat.

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von $ABC$.

Lösen

Rechteck nachweisen, Flächeninhalt, Koordinatenform

Rechteck nachweisen

Ein Viereck $ABCD$ ist ein Rechteck, wenn es ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist. Du zeigst also zwei Dinge:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (Parallelogramm).
$\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0$ (rechter Winkel bei $A$).

Flächeninhalt

Koordinatenform

Aus der Parameterform $\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}+s\vec{v}$ bekommst du die Koordinatenform $ax+by+cz=d$ so:

Bestimme einen Normalenvektor $\vec{n}$ mit $\vec{n}\circ\vec{u}=0$ und $\vec{n}\circ\vec{v}=0$. Das ist ein LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, du darfst eine Unbekannte frei wählen. Alternativ nimmst du $\vec{u}\times\vec{v}$.
Setze $\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ein und berechne $d=\vec{n}\circ\vec{p}$.

Dach: Rechteck, Koordinatenform und Flächeninhalt

Ein Dach hat die Eckpunkte $A(0|0|4)$, $B(6|0|4)$, $C(6|4|7)$, $D(0|4|7)$ (Maße in m).

Parallelogramm: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}$ ✓.

Rechter Winkel: $\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$. Es ist $\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0+0+0=0$. Also ist $ABCD$ ein Rechteck.

Parameterform: $E:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}6\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\4\\3\end{pmatrix}$.

Normalenvektor: $\vec{n}=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ mit $6a=0$ und $4b+3c=0$. Also $a=0$. Wähle $c=4$, dann ist $b=-3$ und $\vec{n}=\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix}$. Mit $d=\vec{n}\circ\overrightarrow{OA}=16$ ergibt sich

$$E:\ -3y+4z=16.$$

Probe mit $C$: $-12+28=16$ ✓.

Dachfläche: $|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|=6\cdot\sqrt{16+9}=6\cdot 5=30\ \text{m}^2$.

Pyramide: Höhe und Seitenfläche

Eine Pyramide hat die Grundfläche $A(1|1|0)$, $B(5|1|0)$, $C(5|4|0)$, $D(1|4|0)$ und die Spitze $S(3|2{,}5|h)$. Es gilt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}=0$, die Grundfläche ist also ein Rechteck mit $G=4\cdot 3=12$.

Die Mitte der Diagonale $AC$ ist $\tfrac12\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)=(3|2{,}5|0)$. Das ist der Schnittpunkt der Diagonalen. $S$ hat dieselben $x$- und $y$-Koordinaten und liegt deshalb senkrecht darüber.

Volumen $V=\tfrac13\cdot G\cdot h=4h$. Aus $4h=36$ folgt $h=9$.

Seitenfläche $ABS$ mit $S(3|2{,}5|9)$: $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{AS}=\begin{pmatrix}2\\1{,}5\\9\end{pmatrix}$, also

$$\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}2\\1{,}5\\9\end{pmatrix}.$$

Üben★★☆

Ein Dach in Köln hat die Eckpunkte $A(0|0|3)$, $B(8|0|3)$, $C(8|6|6)$ und $D(0|6|6)$ (Maße in m). a) Zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Rechteck ist. b) Geben Sie die Ebene des…

Ein Dach in Köln hat die Eckpunkte $A(0|0|3)$, $B(8|0|3)$, $C(8|6|6)$ und $D(0|6|6)$ (Maße in m).

a) Zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Rechteck ist.

b) Geben Sie die Ebene des Dachs in Parameterform und in Koordinatenform an.

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Üben★★★

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|2|0)$ und $C(2|3|1)$. a) Bestimmen Sie alle Punkte $D$, sodass $A$, $B$, $C$, $D$ ein Parallelogramm bilden (es gibt drei Möglichkeiten).…

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|2|0)$ und $C(2|3|1)$.

a) Bestimmen Sie alle Punkte $D$, sodass $A$, $B$, $C$, $D$ ein Parallelogramm bilden (es gibt drei Möglichkeiten).

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Lösen

Üben★★★

Die Punkte $A(1|1|0)$, $B(5|1|0)$, $C(5|4|0)$ und $D(1|4|0)$ bilden die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze $S(3|2{,}5|h)$. a) Zeigen Sie, dass die Grundfläche ein…

Die Punkte $A(1|1|0)$, $B(5|1|0)$, $C(5|4|0)$ und $D(1|4|0)$ bilden die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze $S(3|2{,}5|h)$.

a) Zeigen Sie, dass die Grundfläche ein Rechteck ist und die Spitze über dem Diagonalenschnittpunkt liegt.

b) Bestimmen Sie $h$ so, dass das Volumen der Pyramide $36\ \text{VE}$ beträgt.

c) Geben Sie die Seitenfläche $ABS$ in Parameterform an.

Lösen

Vom Dach zurück zur Frage

Zurück zum Anfang: Die Dachfläche beschreibst du durch die Parameterform der Ebene mit $0\le r\le 1$ und $0\le s\le 1$. Ob ein Punkt auf dem Dach liegt, prüfst du mit der Punktprobe. Du löst zwei Zeilen nach $r$ und $s$ auf, prüfst die dritte Zeile und kontrollierst, ob die Parameter in $[0;1]$ liegen.

Auf einen Blick

Ebene durch $A$, $B$, $C$: $\vec{x}=\overrightarrow{OA}+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$. Die Punktprobe verlangt, dass alle drei Zeilen stimmen.
Parallelogramm $ABCD$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, also $D=A+C-B$. Die Fläche entspricht $0\le r,s\le 1$.
Dreieck $ABC$: $r,s\ge 0$ und $r+s\le 1$. Schwerpunkt $S=\tfrac13(A+B+C)$.
Rechteck: Parallelogramm mit $\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}=0$.
Flächeninhalt: Parallelogramm $|\vec{u}\times\vec{v}|$, Dreieck $\tfrac12|\vec{u}\times\vec{v}|$. Pyramide: $V=\tfrac13\,G\,h$.
Koordinatenform: Normalenvektor aus $\vec{n}\circ\vec{u}=0$ und $\vec{n}\circ\vec{v}=0$, dann $d=\vec{n}\circ\vec{p}$.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|1|0)$ und $C(1|2|1)$. Geben Sie die Ebene durch $A$, $B$,…★☆☆ Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $D(1|3|0)$. Das Viereck $ABCD$ ist ein…★☆☆ Gegeben ist die Ebene…