Gauß-Verfahren

Beim Gauß-Verfahren ist der letzte Schritt das Rückwärtseinsetzen. Lösen Sie das folgende System, das bereits in Stufenform (Dreiecksform) vorliegt:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2y + 3z = 11 \\ 4z = 12 \end{cases}$$

Manchmal ist es günstig, die Reihenfolge der Gleichungen zu ändern, um die Rechnung zu erleichtern (eine „1“ als Pivotelement suchen). Ordnen Sie die Gleichungen um und lösen Sie das folgende System mit dem Gauß-Verfahren:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ 2x + y + z = 6 \\ x + y + z = 4 \end{cases}$$

Ein Leistungszentrum für Sport veranstaltet ein Sommercamp. Es hat insgesamt $45$ Betreuer aus den Bereichen Schwimmen, Leichtathletik und Radsport eingestellt.

• Die Zahl der Schwimmbetreuer ist doppelt so groß wie die der Leichtathletikbetreuer.

• Würde man $5$ Leichtathletikbetreuer mehr einstellen, wäre ihre Zahl gleich der der Radsportbetreuer.

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren, wie viele Betreuer es in jedem Bereich gibt.

Klassifizieren Sie das folgende System nach der Anzahl seiner Lösungen, nachdem Sie das Gauß-Verfahren angewendet haben. Geben Sie anhand der letzten Zeile an, ob es eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen hat oder unlösbar ist:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases}$$

Ein System mit unendlich vielen Lösungen ist mehrdeutig lösbar. Zeigen Sie mit dem Gauß-Verfahren, dass dies für das folgende System zutrifft, und geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter $\lambda$ an (setzen Sie $z = \lambda$):

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x - y + z = 2 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$$

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren. Falls das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, geben Sie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit von einem Parameter $\lambda$ an:

$$\begin{cases} 2x - y + 3z = 5 \\ x + 2y - z = 0 \\ x - 3y + 4z = 5 \end{cases}$$

Überlegen Sie vor dem Beginn, wie Sie das „Pivotelement" wählen, um die Rechnung zu erleichtern.

Interpretieren Sie die Lage der drei durch die folgenden Gleichungen festgelegten Ebenen zueinander geometrisch, indem Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren analysieren:

$$\pi_1: x + 2y - z = 3$$ $$\pi_2: 2x - y + z = 1$$ $$\pi_3: 5x + 5y - 2z = 10$$

Schneiden sie sich in einem Punkt, in einer Geraden oder haben sie keinen gemeinsamen Punkt? Begründen Sie Ihre Antwort, nachdem Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix umgeformt haben.

Gegeben ist das Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + kz = 5 \\ kx + y + z = 1 \end{cases}$$

1. a) Wenden Sie das Gauß-Verfahren an, um eine Matrix in Stufenform zu erhalten.
2. b) Bestimmen Sie, für welche Werte von $k$ das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.
3. c) Lösen Sie es für $k = 0$.

Nachdem das Gauß-Verfahren teilweise auf ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten $(x, y, z)$ angewendet wurde, ist man zu der folgenden erweiterten Koeffizientenmatrix gelangt:

$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & m^2-4 & | & m-2 \end{pmatrix}$$

Untersuchen Sie den Typ des Gleichungssystems (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar) in Abhängigkeit von den Werten des Parameters $m$. Gibt es einen Wert von $m$, für den das Gleichungssystem unlösbar ist?

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $k$:

$\begin{cases} kx + y + z = k^2 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = 1 \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren für die verschiedenen Werte von $k$.
2. b) Bestimmen Sie für den Fall, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat, die allgemeine Lösung und geben Sie eine spezielle Lösung an, deren Komponentensumme gleich 1 ist.
3. c) Gibt es einen Wert von $k$, für den das Gleichungssystem drei Ebenen darstellt, die sich in einer Geraden schneiden? Begründen Sie Ihre Antwort.

Betrachten Sie das Gleichungssystem:

$\begin{cases} x + ay + z = a \\ ax + y + z = 1 \\ x + y + az = a^2 \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie das Gleichungssystem für die verschiedenen reellen Werte von $a$.

1. b) Beschreiben Sie für $a = 1$ die Lösung geometrisch.

1. c) Zeigen Sie für $a = -2$ mit dem Gauß-Verfahren, dass das Gleichungssystem unlösbar ist. Welche geometrische Konfiguration bilden die drei Ebenen in diesem Fall? Begründen Sie Ihre Antwort mit der Lage der Ebenen zueinander (zum Beispiel durch Untersuchung ihrer Normalenvektoren) und nutzen Sie dazu eine selbst angefertigte Skizze.

Untersuchen Sie das folgende Gleichungssystem aus 4 Gleichungen mit 3 Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren:

$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 3y + z = 3 \\ ax + 10y + 4z = 11 \\ 3x + 4y + 2z = a \end{cases}$

1. a) Bestimmen Sie, für welchen Wert von $a$ das Gleichungssystem lösbar ist.
2. b) Lösen Sie das Gleichungssystem für diesen Wert von $a$ und geben Sie an, ob die Lösung eindeutig ist.
3. c) Welche Lage zueinander haben die vier durch die Gleichungen festgelegten Ebenen, wenn das Gleichungssystem lösbar ist?

Betrachten Sie das folgende homogene Gleichungssystem:

$$\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + y - z = 0 \\ 2x - y - 4z = 0 \end{cases}$$

1. a) Zeigen Sie durch Umformung der Koeffizientenmatrix in Stufenform, dass das Gleichungssystem Lösungen außer der trivialen Lösung ($x=0, y=0, z=0$) besitzt.
2. b) Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Lösung des Gleichungssystems.

Gegeben ist das homogene Gleichungssystem mit dem Parameter $m$:

$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ 2x + y + mz = 0 \end{cases}$

1. a) Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren die Werte von $m$, für die das Gleichungssystem Lösungen außer der trivialen Lösung $(0,0,0)$ besitzt.
2. b) Lösen Sie das Gleichungssystem für den in Teilaufgabe a) gefundenen ganzzahligen Wert von $m$ und geben Sie die Parameterdarstellung der Lösung an.
3. c) Geben Sie eine spezielle, von der trivialen verschiedene Lösung an, bei der die Unbekannten ganze Zahlen sind.

Zur Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems:

$$\begin{cases} 3x - y + 2z = 7 \\ x + y + z = 4 \\ 2x - 3y + z = 1 \end{cases}$$

werden zwei auf Zeilenumformungen beruhende Wege vorgeschlagen:

• Weg A (klassisches Gauß-Verfahren): Die Zeilen so vertauschen, dass ein günstiges Pivotelement entsteht, die erweiterte Koeffizientenmatrix durch Erzeugen von Nullen unterhalb der Hauptdiagonale auf Dreiecksform bringen und die Lösung durch Rückwärtseinsetzen bestimmen.

• Weg B (Gauß-Jordan-Verfahren): Die Zeilen vertauschen und die Zeilenumformungen fortsetzen, bis auch oberhalb der Hauptdiagonale Nullen stehen, sodass die Koeffizientenmatrix in die Einheitsmatrix umgeformt wird und man die Lösung direkt ablesen kann.

1. a) Begründen Sie, welcher Zeilentausch vor Beginn der Rechnung sinnvoll ist, um Brüche zu vermeiden, und vergleichen Sie beide Wege: Wie viele Eliminationsschritte (Nullsetzen von Einträgen) führt Weg B durch, die Weg A nicht durchführt? In welcher praktischen Situation lohnt sich der zusätzliche Aufwand des Gauß-Jordan-Verfahrens gegenüber dem klassischen Gauß-Verfahren?
2. b) Wenden Sie Weg A an: Geben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix in jedem Schritt der Umformung auf Stufenform an und berechnen Sie die Lösung durch Rückwärtseinsetzen.
3. c) Der Vektor der Konstanten des Gleichungssystems werde durch $(0, 0, 0)$ ersetzt. Erklären Sie, ohne das System zu lösen, ob das gesamte Gauß-Verfahren nötig wäre, um es zu klassifizieren und mindestens eine Lösung zu finden.

In einem intelligenten Stromnetz erfüllen die Stromstärken $I_1, I_2, I_3$ und $I_4$ in vier Knoten die folgenden Kirchhoffschen Gesetze, skaliert mit einem Widerstandsfaktor $R$:

$\begin{cases} I_1 + I_2 - I_3 + I_4 = 0 \\ 2I_1 - I_2 + I_3 = 5 \\ I_1 + I_3 - 2I_4 = 1 \\ 3I_1 + I_4 = 6 \end{cases}$

1. a) Lösen Sie das Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Verfahren (erzeugen Sie dabei möglichst viele Nullen in der Matrix).
2. b) Ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar? Begründen Sie, ob es möglich ist, eine der Messungen wegzulassen, ohne Information über die Stromstärken zu verlieren.

Es soll ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten konstruiert werden, das gleichzeitig Folgendes erfüllt:

1. Es hat unendlich viele Lösungen.

2. Eine seiner Lösungen ist $(1, 0, 2)$.

3. Beim Anwenden des Gauß-Verfahrens ist die letzte Zeile der Stufenmatrix die Nullzeile.

1. a) Entwerfen Sie ein eigenes Gleichungssystem, das diese Bedingungen erfüllt.
2. b) Erklären Sie Schritt für Schritt den Prozess der Umformung in Stufenform bei Ihrem Gleichungssystem, um zu zeigen, dass es tatsächlich unendlich viele Lösungen hat.

Gegeben ist das Gleichungssystem mit dem reellen Parameter $a$:

$$\begin{cases} x + a y + z = 1 \\ a x + y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}$$

Um das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren zu untersuchen, stellt Marcus die erweiterte Koeffizientenmatrix auf und führt die folgenden elementaren Umformungen durch:

$$\begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ a & 1 & 1 & | & a \\ 1 & 1 & a & | & a^2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\substack{F_2 \leftarrow F_2 - a F_1 \\ F_3 \leftarrow F_3 - F_1}} \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 - a^2 & 1 - a & | & 0 \\ 0 & 1 - a & a - 1 & | & a^2 - 1 \end{pmatrix}$$

Anschließend bemerkt Marcus, dass man in der zweiten und dritten Zeile den Faktor $(1 - a)$ ausklammern kann, und rechnet:

$$F_2 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_2, \quad F_3 \leftarrow \frac{1}{1-a} F_3 \implies \begin{pmatrix} 1 & a & 1 & | & 1 \\ 0 & 1 + a & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & -(a + 1) \end{pmatrix}$$

Danach vertauscht er $F_2 \leftrightarrow F_3$, eliminiert die Unbekannte in der letzten Zeile und folgert: „Der einzige besondere Wert ist $a = -2$, bei dem das letzte Pivotelement null wird; für $a = 1$ gibt es kein Problem, weil die Zeile gekürzt wurde, und das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar."

1. a) Finden Sie die beiden begrifflichen Fehler, die Marcus bei der Anwendung des Gauß-Verfahrens mit Parametern macht, und begründen Sie sie (einer betrifft die algebraische Zulässigkeit der durchgeführten Umformung, der andere die Schlussfolgerung für $a = 1$).
2. b) Erklären Sie, warum das Dividieren einer Zeile durch einen Term, der von einem Parameter abhängt, die Äquivalenz der Gleichungssysteme zerstören kann und welche Wirkung das auf die Lösungen hat.
3. c) Führen Sie die korrekte und vollständige Diskussion des Gleichungssystems mit dem Gauß-Verfahren durch, indem Sie die Matrix in Stufenform bringen, ohne durch Faktoren zu dividieren, die den Parameter enthalten (oder indem Sie die erforderlichen Fallunterscheidungen vorab treffen), und bestimmen Sie $\operatorname{rg}(A)$ und $\operatorname{rg}(A^*)$ für jedes $a \in \mathbb{R}$.
4. d) Bestimmen Sie für den Fall $a = 1$ die Lösung anhand der korrekten Stufenmatrix und interpretieren Sie die Lage der drei ursprünglichen Ebenen zueinander geometrisch.

Ein Grafikdesign-Studio stattet seine Arbeitsplätze mit drei Bestellungen beim selben Komponentenhändler aus:

• Erste Bestellung: 1 Tastatur, 1 Maus und 1 Mauspad für $55\ \text{€}$.

• Zweite Bestellung: 2 Tastaturen, 2 Mäuse und 1 Mauspad für $102\ \text{€}$.

• Dritte Bestellung: 1 Tastatur und 2 Mauspads für $51\ \text{€}$.

Stellen Sie das Gleichungssystem auf und berechnen Sie mit dem Gauß-Verfahren den Einzelpreis jedes Artikels.

Ein Technologieunternehmen stellt drei Grafikkartenmodelle her: GT, Pro und Ultra. Man weiß:

• Die Gesamtkosten für die Herstellung je einer Einheit jedes Modells betragen $950 \text{ €}$.

• Die Kosten für die Herstellung von zwei Einheiten des Modells GT sind gleich der Summe der Kosten je einer Einheit Pro und Ultra.

• Werden drei Einheiten Ultra hergestellt, übersteigen die Kosten die Kosten für je eine Einheit der beiden anderen Modelle zusammen (GT und Pro) um $100 \text{ €}$.

Stellen Sie ein Gleichungssystem auf und bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren (Umformung in Stufenform) die Herstellungskosten jedes Modells.

Ein Labor für Luft- und Raumfahrttechnik entwickelt eine neue Legierung aus drei Metallen: Titan ($x$), Aluminium ($y$) und Vanadium ($z$). Die Massenanteile müssen das folgende Gleichungssystem erfüllen, wobei $\alpha$ und $\beta$ Parameter sind, die von der Schmelztemperatur abhängen:

$\begin{cases} x + y + z = \alpha \\ \alpha x + y + z = 1 \\ x + \alpha y + z = \beta \end{cases}$

1. a) Untersuchen Sie die Lösbarkeit des Gleichungssystems in Abhängigkeit von den Werten von $\alpha$ und $\beta$.
2. b) Für $\alpha = -1$: Welchen Wert muss $\beta$ haben, damit das Gleichungssystem lösbar ist? Lösen Sie es in diesem Fall mit dem Gauß-Verfahren.
3. c) Interpretieren Sie die Ergebnisse für den Fall, dass das Gleichungssystem unlösbar wäre, im Hinblick auf die Herstellung der Legierung.