Biquadratische Gleichungen ohne Hilfsmittel
In der Klausur steht ohne Hilfsmittel: „Lösen Sie ohne Hilfsmittel $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.“ Es gibt keinen Taschenrechner, keinen CAS und keine Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades. Trotzdem ist die Aufgabe in etwa zwei Minuten lösbar. Wie das geht, siehst du in diesem Abschnitt. Am Ende kannst du auch begründen, wann eine solche Gleichung vier, drei, zwei, eine oder keine Lösung hat.
Die Substitution $z = x^2$
Eine Gleichung der Form
$$ax^4 + bx^2 + c = 0 \qquad (a \neq 0)$$heißt biquadratische Gleichung. Es kommen nur die Potenzen $x^4$, $x^2$ und eine Konstante vor, also keine ungeraden Potenzen.
Warum funktioniert das? Es ist $x^4 = (x^2)^2$. Wenn du jedes $x^2$ durch $z$ ersetzt, bleibt eine gewöhnliche quadratische Gleichung in $z$ übrig. Die kannst du mit der pq-Formel, der abc-Formel oder dem Satz von Vieta lösen. Danach musst du nur noch zurücksubstituieren: Aus $x^2 = z$ folgt $x = \pm\sqrt{z}$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.
Sonderfälle: ohne $x^2$-Glied oder ohne Absolutglied
Manchmal fehlt ein Summand. Dann geht es oft ohne pq-Formel.
Fall 1: kein $x^2$-Glied, also $x^4 = c$. Hier genügt Umformen und Wurzelziehen. Aus $x^4 - 16 = 0$ folgt $x^4 = 16$, also $x^2 = 4$ (die Lösung $x^2 = -4$ gibt es nicht) und damit $x = \pm 2$. Mit der dritten binomischen Formel geht es auch so:
$$x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0.$$Der Faktor $x^2 + 4$ ist immer positiv. Nullwerden kann nur $x^2 - 4$.
Fall 2: kein Absolutglied, also $ax^4 + bx^2 = 0$. Hier klammerst du $x^2$ aus und wendest den Satz vom Nullprodukt an:
$$x^4 + 3x^2 = x^2\,(x^2 + 3) = 0.$$Der Faktor $x^2$ ist null für $x = 0$. Der Faktor $x^2 + 3$ ist nie null. Also $L = \{0\}$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 - 16 = 0$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 - 16 = 0$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 + 3x^2 = 0$.
Lösen Sie ohne Hilfsmittel: $x^4 + 3x^2 = 0$.
Wie viele Lösungen gibt es?
Der Graph von $f(x) = x^4 - 6x^2 + a$ sieht aus wie ein „W“. Verschiebst du ihn nach oben oder unten (Änderung von $a$), ändert sich die Zahl der Schnittpunkte mit der x-Achse. Probiere es aus.
Die Zahl der Lösungen von $x^4 - 6x^2 + a = 0$ hängt von den $z$-Werten ab, denn jedes $z$ liefert je nach Vorzeichen ein, zwei oder kein $x$.
Ordne den Bereichen die Anzahlen zu:
| $a$ | $a < 0$ | $a = 0$ | $0 < a < 9$ | $a = 9$ | $a > 9$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Lösungen | 2 | 3 | 4 | 2 | 0 |
Bei „genau eine Lösung“ musst du aufpassen. Bei der obigen Familie tritt das nie ein. Es entsteht nur, wenn die $z$-Gleichung die einzige Lösung $z = 0$ hat, zum Beispiel bei $x^4 = 0$.
Für welche Werte von $a$ hat die Gleichung $x^4 - 4x^2 + a = 0$ genau vier, genau drei, genau zwei, genau eine bzw. keine reelle Lösung? Begründen Sie Ihre Aussagen.
Für welche Werte von $a$ hat die Gleichung $x^4 - 4x^2 + a = 0$ genau vier, genau drei, genau zwei, genau eine bzw. keine reelle Lösung? Begründen Sie Ihre Aussagen.
Anwendungen bei Funktionen
Biquadratische Gleichungen tauchen in der Analysis überall auf: bei den Nullstellen von $f(x) = ax^4 + bx^2 + c$, bei Schnittpunkten zweier Graphen und bei der Bestimmung von Extremstellen. Denn für $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$ ist $f'(x) = x^3 - 4x = x(x^2 - 4)$, und das lässt sich nach demselben Prinzip lösen. Außerdem ist jede solche Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, weil nur gerade Potenzen vorkommen. Die Nullstellen liegen also immer paarweise symmetrisch zu $0$.
Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(x) = x^4 - 13x^2 + 36$ ohne Hilfsmittel und geben Sie $f$ in faktorisierter Form an.
Bestimmen Sie die Nullstellen von $f(x) = x^4 - 13x^2 + 36$ ohne Hilfsmittel und geben Sie $f$ in faktorisierter Form an.
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. a) Berechnen Sie die Nullstellen. b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f$ und deren Art.
Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen.
- b) Bestimmen Sie die Extremstellen von $f$ und deren Art.
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen von $f(x) = x^4 - 3x^2$ und $g(x) = 2x^2 - 4$ ohne Hilfsmittel.
Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Graphen von $f(x) = x^4 - 3x^2$ und $g(x) = 2x^2 - 4$ ohne Hilfsmittel.
Biquadratische Gleichungen mit Parameter und Flächen
Bei einer Funktionsschar wie $f_k(x) = x^4 - 2kx^2 + 1$ steckt der Parameter $k$ in den Koeffizienten. Du arbeitest wie bisher: substituiere, löse die $z$-Gleichung mit der pq-Formel (hier hängt der Radikand von $k$ ab) und untersuche die Vorzeichen von $z_1$ und $z_2$. Beachte: Der Radikand entscheidet, ob es überhaupt $z$-Lösungen gibt. Die Vorzeichen entscheiden, ob daraus $x$-Lösungen werden. Denke dabei an die Fallunterscheidung mit Vieta wie oben.
Bei Flächenaufgaben mit biquadratischen Funktionen brauchst du zuerst die Nullstellen, damit du weißt, auf welchen Teilintervallen $f$ das Vorzeichen wechselt. Dann integrierst du mit der Stammfunktion, zum Beispiel
$$\int_{-1}^{1} (x^4 - 3x^2 + 2)\,\mathrm{d}x = \left[\tfrac{1}{5}x^5 - x^3 + 2x\right]_{-1}^{1} = \left(\tfrac{1}{5} - 1 + 2\right) - \left(-\tfrac{1}{5} + 1 - 2\right) = \tfrac{12}{5}.$$Weil $f$ achsensymmetrisch ist, hättest du auch $2\cdot\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$ rechnen können. Das halbiert den Rechenaufwand.
Gegeben ist $f_k(x) = x^4 - 2kx^2 + 1$ mit $k \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ und geben Sie für…
Gegeben ist $f_k(x) = x^4 - 2kx^2 + 1$ mit $k \in \mathbb{R}$.
Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $k$ die Anzahl der Nullstellen von $f_k$ und geben Sie für $k=\frac{5}{4}$ alle Nullstellen an.
Der Graph von $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ schließt mit der x-Achse im Intervall $[-1;1]$ eine Fläche ein. a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$. b) Berechnen Sie ohne…
Der Graph von $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$ schließt mit der x-Achse im Intervall $[-1;1]$ eine Fläche ein.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.
- b) Berechnen Sie ohne Hilfsmittel den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse über $[-1;1]$.
Zurück zum Anfang: Die Aufgabe $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ ohne Taschenrechner löst du mit der Substitution $z = x^2$. Es folgt $z \in \{1;\,4\}$ und damit $L = \{-2;\,-1;\,1;\,2\}$.