Flächeninhalt unter einer Kurve
Eine Rampe im Skatepark, ein Brückenbogen, das Profil einer Halle: Für Dreiecke, Trapeze und Kreise kennst du Formeln. Aber wie groß ist die Fläche zwischen dem Graphen von $f(x)=x^2$, der x-Achse und den Geraden $x=0$ und $x=2$? Für diese Form gibt es keine Formel aus der Geometrie. Genau dafür wurde das bestimmte Integral erfunden.
Annäherung mit Rechtecken: die Produktsumme
Wenn du die Fläche einer krummen Form nicht kennst, nähere sie durch Formen an, die du berechnen kannst. Teile das Intervall $[a;b]$ in schmale Streifen der Breite $\Delta x$ und setze in jeden Streifen ein Rechteck, dessen Höhe ungefähr dem Funktionswert in diesem Streifen entspricht.
Je mehr Rechtecke du nimmst (je schmaler sie sind), desto kleiner wird der Unterschied zwischen der Treppenfigur und der echten Fläche.
In der Physik lässt sich der zurückgelegte Weg eines Objekts als Flächeninhalt unter der Kurve in einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm berechnen. Wenn sich ein…
In der Physik lässt sich der zurückgelegte Weg eines Objekts als Flächeninhalt unter der Kurve in einem Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm berechnen. Wenn sich ein E-Scooter-Fahrer in der ersten halben Stunde ($t = 0,5$ h) mit einer konstanten Geschwindigkeit von $v(t) = 12$ km/h bewegt, stellen Sie das bestimmte Integral auf, das die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke darstellt, und berechnen Sie es.
Das bestimmte Integral: Schreibweise und Bedeutung
Lässt du die Anzahl der Rechtecke über alle Grenzen wachsen ($n\to\infty$, $\Delta x\to 0$), nähern sich die Produktsummen einer festen Zahl. Das ist ein propädeutischer Grenzwertbegriff: Es genügt, dass die Werte sich immer weiter einer Zahl annähern.
Ist $f(x)\ge 0$ auf $[a;b]$, dann ist das Integral genau der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse. Bei einfachen Funktionen kannst du das mit bekannten Formeln überprüfen.
Integralfunktion und Flächeninhaltsfunktion
Hält man die untere Grenze $a$ fest und lässt die obere Grenze $x$ variieren, erhält man eine Funktion der oberen Grenze. Die Integrationsvariable heißt dann $t$ (variable Bezeichnung), damit sie nicht mit der Grenze $x$ verwechselt wird.
Betrachten Sie die lineare Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der Grafik schraffierten Fläche, die von der Funktion, der Achse…
Betrachten Sie die lineare Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der in der Grafik schraffierten Fläche, die von der Funktion, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 4$ begrenzt wird. Gehen Sie dazu wie folgt vor:
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Berechnen Sie den Flächeninhalt mit elementaren geometrischen Formeln (Flächeninhalt eines Trapezes).
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Berechnen Sie das bestimmte Integral $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung und überprüfen Sie, dass beide Ergebnisse übereinstimmen.
Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals der Polynomfunktion $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ im Intervall $[1; 2]$. Bestimmen Sie also das Ergebnis von: $$\int_{1}^{2}…
Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals der Polynomfunktion $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ im Intervall $[1; 2]$. Bestimmen Sie also das Ergebnis von:
$$\int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 5) \, dx$$Orientierter Flächeninhalt: Flächen unterhalb der x-Achse
Eine Produktsumme „weiß“ nicht, was oben und unten ist: Ist $f(x)<0$, hat jedes Rechteck eine negative Höhe und geht mit negativem Vorzeichen in die Summe ein. Das Integral liefert deshalb einen orientierten Flächeninhalt.
Im Sachkontext bedeutet das: Ist $v(t)$ die Geschwindigkeit, so ist $\int v(t)\,\mathrm{d}t$ die Änderung des Ortes. Fährt man zurück, ist $v<0$ und der Beitrag negativ.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 9$ und der x-Achse ($OX$) begrenzt wird.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x) = x^2 - 9$ und der x-Achse ($OX$) begrenzt wird.
Eine Autowaschstraße hat eine Metallkonstruktion, deren Oberseite der Form der Parabel $f(x) = -x^2 + 4$ folgt. Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen (frontalen)…
Eine Autowaschstraße hat eine Metallkonstruktion, deren Oberseite der Form der Parabel $f(x) = -x^2 + 4$ folgt. Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen (frontalen) Fläche, die von der Parabelkonstruktion und dem Boden (Achse $OX$) begrenzt wird, wenn die Auflagepunkte am Boden $x = -2$ und $x = 2$ sind.
Lea soll den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 1$, der x-Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird. In…
Lea soll den Flächeninhalt der Fläche berechnen, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 1$, der x-Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 2$ begrenzt wird. In ihrer Klausur schreibt sie die folgende Rechnung auf:
$$\text{Flächeninhalt} = \int_{0}^{2} (x^2 - 1)\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_0^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - 0 = \frac{2}{3} \approx 0,67\text{ u}^2$$- a) Erklären Sie, ohne zunächst neu zu rechnen, ausführlich den begrifflichen Fehler, den Lea gemacht hat, anhand des Vorzeichens von $f(x)$ im Intervall $[0;2]$, und erklären Sie, warum ihr Endergebnis kleiner ist als der tatsächliche Flächeninhalt.
- b) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie das Integrationsintervall geeignet aufteilen, und berechnen Sie den exakten Flächeninhalt.
Vorzeichenwechsel: Das Integral an den Nullstellen teilen
Liegt der Graph teils über, teils unter der x-Achse, mischt $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ positive und negative Beiträge. Sie können sich gegenseitig aufheben. Der Integralwert ist dann nicht der Flächeninhalt. Bestimme erst die Nullstellen und teile das Integral an den Stellen, an denen sich das Vorzeichen ändert.
Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der Fläche, die von der Geraden $f(x) = x - 2$, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 3$ begrenzt wird.…
Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der Fläche, die von der Geraden $f(x) = x - 2$, der Achse $OX$ und den senkrechten Geraden $x = 0$ und $x = 3$ begrenzt wird.
Hinweis: Beachten Sie, dass die Funktion die Achse $OX$ an einer Stelle innerhalb des gegebenen Intervalls schneidet, sodass Sie die Fläche in zwei Teilflächen zerlegen müssen.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs zwischen der Kurve $f(x) = x^3 - 4x$ und der Achse $OX$ im Intervall $[-1; 2]$. Beachten Sie, dass die Funktion im Intervall…
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs zwischen der Kurve $f(x) = x^3 - 4x$ und der Achse $OX$ im Intervall $[-1; 2]$. Beachten Sie, dass die Funktion im Intervall das Vorzeichen wechseln kann, sodass Sie das Integral gegebenenfalls aufteilen müssen.
Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
Oft wird eine Fläche von zwei Graphen begrenzt, etwa von einer Parabel und einer Geraden. Die Integrationsgrenzen sind dann die Schnittstellen der beiden Graphen. Auf dem Intervall zwischen zwei Schnittstellen liegt ein Graph oben, der andere unten.
Tangente und Normale als begrenzende Geraden
Manchmal wird eine Fläche von einer Tangente oder Normalen begrenzt. Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$ hat die Steigung $m=f'(x_0)$ und geht durch $P(x_0|f(x_0))$: $t(x)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente; ihre Steigung ist $-\tfrac{1}{f'(x_0)}$ (für $f'(x_0)\ne0$), weil das Produkt der Steigungen zweier orthogonaler Geraden $-1$ ist: $n(x)=-\tfrac{1}{f'(x_0)}\cdot(x-x_0)+f(x_0)$.
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von $f(x)$, der Achse $OX$, der Achse $OY$ und der Tangente…
Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen von $f(x)$, der Achse $OX$, der Achse $OY$ und der Tangente an die Kurve an der Stelle $x = 3$ begrenzt wird.
Ein Architekt entwirft das Seitenprofil einer neuen Sporthalle. Die Haupttragstruktur folgt dem Graphen der Funktion $f(x) = -x^2 + 6x$. Zur Stabilisierung soll eine…
Ein Architekt entwirft das Seitenprofil einer neuen Sporthalle. Die Haupttragstruktur folgt dem Graphen der Funktion $f(x) = -x^2 + 6x$. Zur Stabilisierung soll eine Metallverstärkung angebracht werden, die der Tangente an die Kurve an der Stelle $x = 4$ folgt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion $f(x)$, der genannten Tangente und der y-Achse begrenzt wird.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die im ersten Quadranten von der Kurve $f(x) = \sqrt{x}$, der Achse $OX$ und der Geraden $y = -x + 6$ begrenzt wird. Hilfe:…
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die im ersten Quadranten von der Kurve $f(x) = \sqrt{x}$, der Achse $OX$ und der Geraden $y = -x + 6$ begrenzt wird. Hilfe: Bestimmen Sie zuerst den Schnittpunkt zwischen der Kurve und der Geraden, um die Integrationsgrenzen zu ermitteln.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ und der waagerechten Geraden durch den Hochpunkt dieser Funktion begrenzt wird.…
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Funktion $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ und der waagerechten Geraden durch den Hochpunkt dieser Funktion begrenzt wird.
Hilfe: Bestimmen Sie zunächst den Hochpunkt mithilfe der Ableitung, ermitteln Sie den y-Wert in diesem Punkt und bestimmen Sie dann die Schnittpunkte zwischen der Kurve und der entstehenden Geraden.
Die Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$ sei gegeben. Wir wollen den Bereich der Ebene untersuchen, der zwischen dieser Kurve und der waagerechten Geraden $y = 5$…
Die Funktion $f(x) = |x^2 - 4|$ sei gegeben. Wir wollen den Bereich der Ebene untersuchen, der zwischen dieser Kurve und der waagerechten Geraden $y = 5$ „eingeschlossen“ wird.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die oben von der Geraden $y = 5$ und unten vom Graphen der Funktion $f(x)$ begrenzt wird. Hinweis: Beachten Sie die Schnittpunkte und die Definition der Betragsfunktion, um das Integral gegebenenfalls aufzuteilen.
Rechenregeln: Linearität und Vertauschen der Grenzen
Hinweis zu den Stammfunktionen: In Q1 integrierst du ganzrationale Funktionen. Zu $x^n$ (mit $n\ne-1$) ist $\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ eine Stammfunktion; Summen integrierst du summandenweise, konstante Faktoren bleiben stehen. Zum Beispiel ist $\int_0^{2}(3x^2+1)\,\mathrm{d}x=\left[x^3+x\right]_0^{2}=10$.
Die Produktsumme zeigt, wie sich Integrale verhalten: Ein konstanter Faktor lässt sich vor die Summe ziehen, und Summen lassen sich einzeln addieren. Das überträgt sich beim Grenzübergang auf das Integral.
Verwenden Sie die Eigenschaften des bestimmten Integrals, um die folgende Aufgabe zu lösen: Es sei $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ und $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$.…
Verwenden Sie die Eigenschaften des bestimmten Integrals, um die folgende Aufgabe zu lösen:
Es sei $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ und $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$. Berechnen Sie begründet den Wert von:
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$\int_{1}^{6} f(x) \, dx$
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$\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$
Zurück zum Anfang: Die Fläche unter $f(x)=x^2$ zwischen $x=0$ und $x=2$ ist $\int_0^2x^2\,\mathrm{d}x=\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^2=\tfrac83$ FE, also etwa $2{,}67$ FE. Die Obersumme mit 4 Rechtecken ($3{,}75$) lag darüber.