Gleichungssysteme mit zwei und drei Variablen – Klassifikation

Klassifizieren Sie die folgenden Gleichungssysteme mit zwei Variablen nach der Anzahl ihrer Lösungen (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar), nachdem Sie versucht haben, sie mit einem Verfahren Ihrer Wahl zu lösen:

1. a) $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 6y = 15 \end{cases}$

1. b) $\begin{cases} x - y = 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$

1. c) $\begin{cases} 3x + y = 5 \\ 6x + 2y = 10 \end{cases}$

In einem Geschäft für Gaming-Zubehör kaufen drei Freunde verschiedene Produkte.

• Markus kauft 2 Mäuse und 1 Tastatur für $110$ €.

• Julia kauft 1 Maus und 2 Tastaturen für $130$ €.

Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf, um den Preis jedes Artikels zu bestimmen, und klassifizieren Sie es nach der Anzahl der Lösungen, die Sie erwarten.

Überprüfen Sie, ob das Tripel $(x, y, z) = (1, 2, -1)$ eine Lösung des folgenden Gleichungssystems ist:

$\begin{cases} 3x - y + z = 0 \\ x + y + z = 2 \\ 2x + 3y - z = 9 \end{cases}$

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit drei Variablen, das bereits in Stufenform vorliegt:

$\begin{cases} 2x + y - z = 5 \\ \quad \quad 3y + 2z = 7 \\ \quad \quad \quad \quad 4z = 8 \end{cases}$

Geometrisch stellt eine lineare Gleichung mit drei Variablen eine Ebene im Raum dar. Betrachten Sie die Skizze und beschreiben Sie, welche Art von System (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar) der Schnitt zweier Ebenen darstellen würde, die zueinander parallel sind.

Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden Systems aus 4 Gleichungen mit 3 Variablen:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ 2x + z = 5 \\ 3x + y + 2z = 11 \end{cases}$

Ist das System lösbar, bestimmen Sie die eindeutige Lösung. Andernfalls geben Sie an, welche Gleichung die Unlösbarkeit verursacht.

Ein E-Sports-Team hat ein Preisgeld von 12.000 € gewonnen, das unter seinen drei Mitgliedern aufgeteilt werden soll: dem Kapitän (A), dem Strategen (B) und dem Scharfschützen (C). Es ist bekannt:

• Die Summe dessen, was B und C erhalten, ist gleich dem, was A erhält.

• Würde der Stratege (B) 1.000 € mehr erhalten, hätte er genau so viel wie der Scharfschütze (C).

1. a) Stellen Sie ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen auf, um zu bestimmen, wie viel jeder erhält.
2. b) Klassifizieren Sie das System und lösen Sie es.

Stellen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Matrixform $A \cdot X = B$ dar und geben Sie dabei die Koeffizientenmatrix $A$, die Variablenmatrix $X$ und die Matrix der Absolutglieder $B$ klar an:

$\begin{cases} x - 2y + 3z = 0 \\ 2x + y - z = 4 \\ 3x - y + 2z = -1 \end{cases}$

Klassifizieren Sie das folgende lineare Gleichungssystem hinsichtlich der Anzahl der Lösungen mithilfe des Gauß-Verfahrens:

$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \\ 5x + 5y - 2z = 10 \end{cases}$

Falls es lösbar ist, bestimmen Sie seine Lösung bzw. Lösungen. Ist die Lösung nicht eindeutig, geben Sie sie in Parameterform an.

Begründen Sie ohne aufwendige Rechnung, warum das folgende homogene System unendlich viele Lösungen besitzt, indem Sie den Zusammenhang zwischen seinen Gleichungen untersuchen:

$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \\ 3x - y + 2z = 0 \end{cases}$

In einer Klassenarbeit klassifiziert Karl das folgende homogene System:

$$\begin{cases} x - 2y + z = 0 \\ 2x - 4y + 2z = 0 \\ -x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Nachdem er die Proportionalität zwischen den Gleichungen bemerkt hat, schreibt Karl in seiner Lösung: „Da die zweite Zeile das Doppelte der ersten ist und die dritte die erste mit vertauschtem Vorzeichen, ergibt sich beim Umformen auf Stufenform $0 = 0$. Da sich die Variablen in dieser Gleichung vollständig aufheben, hat das System keine Lösung und ist somit unlösbar.“

1. a) Erklären Sie mit Begründung die zwei begrifflichen Fehler, die Karl macht: einen zur allgemeinen Definition homogener Systeme und einen zur Interpretation einer Nullzeile der Form $0x + 0y + 0z = 0$.
2. b) Korrigieren Sie die Aufgabe: Schreiben Sie die Koeffizientenmatrix $A$ auf, bestimmen Sie die richtige Klassifizierung des Systems (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar) und begründen Sie, wie viele Lösungen es hat.

Gegeben ist das homogene System in Abhängigkeit vom Parameter $a$:

$\begin{cases} ax + y + z = 0 \\ x + ay + z = 0 \\ x + y + az = 0 \end{cases}$

1. a) Klassifizieren Sie das System in Abhängigkeit von den Werten von $a$.
2. b) Bestimmen Sie, für welche Werte von $a$ das System neben der trivialen Lösung ($x=0, y=0, z=0$) weitere Lösungen besitzt.
3. c) Lösen Sie das System für $a = -2$.

Gegeben sind die Geraden $r$ und $s$, die in der folgenden Grafik dargestellt sind. Schreiben Sie das Gleichungssystem auf, das ihren Schnitt beschreibt, und klassifizieren Sie es nach seiner Geometrie.

Entwerfen Sie für jede der folgenden Situationen ein konkretes Beispiel und begründen Sie Ihre Überlegung mithilfe des Zusammenhangs zwischen den Koeffizienten oder der Struktur der erweiterten Matrix:

1. a) Ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ($x$ und $y$), das unlösbar ist, wobei die erste Gleichung zwingend $2x - 3y = 5$ lauten soll.
2. b) Ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ($x$ und $y$), das unendlich viele Lösungen besitzt und unter diesen die spezielle Lösung $(x, y) = (1, -2)$ hat.
3. c) Ein homogenes System aus zwei linearen Gleichungen mit drei Variablen ($x, y, z$). Begründen Sie anhand der Anzahl der Variablen und des maximal möglichen Rangs der Koeffizientenmatrix, warum es unmöglich ist, dass dieses System eindeutig lösbar ist.

Zur Klassifizierung und Lösung des Systems:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x - 2y = -3 \end{cases}$$

schlagen zwei Schüler unterschiedliche Strategien vor:

• Irene schlägt vor, die erweiterte Koeffizientenmatrix $A^* = (A|B)$ aufzustellen und das Gauß-Verfahren bis zur Stufenform anzuwenden.

• David schlägt vor, $x$ direkt in der dritten Gleichung ($x = 2y - 3$) aufzulösen, diesen Term in die erste und zweite Gleichung einzusetzen, um das Problem auf ein System mit zwei Variablen ($y, z$) zu reduzieren, und dieses dann mit dem gewöhnlichen Einsetzungsverfahren zu lösen.

1. a) Vergleichen Sie beide Verfahren für diesen speziellen Fall mit Begründung: Welches erfordert den geringeren Rechenaufwand und minimiert das Risiko von Rechenfehlern? Wie beeinflusst das Fehlen der Variablen $z$ in der dritten Gleichung diese Wahl?
2. b) Wenden Sie das Verfahren an, das Sie für das effizientere halten, um das System formal zu klassifizieren und seine Lösung zu bestimmen.
3. c) Hätte das ursprüngliche System 4 Gleichungen mit 4 Variablen ohne verschwindende Koeffizienten, bliebe Davids Verfahren gegenüber dem Gauß-Algorithmus mit Matrizen konkurrenzfähig? Begründen Sie Ihre Antwort im Hinblick auf Größenordnung und Skalierbarkeit.

Gegeben ist das Gleichungssystem:

$$\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ x + y - 3z = 2 \end{cases}$$

1. a) Fügen Sie eine Gleichung der Form $ax + by + cz = d$ hinzu, sodass das entstehende System eindeutig lösbar ist und die Lösung $(1, 1, 0)$ hat.
2. b) Fügen Sie eine Gleichung hinzu, sodass das System unlösbar ist.
3. c) Ist es möglich, eine Gleichung hinzuzufügen, sodass das System unendlich viele Lösungen hat, aber eine andere Lösung als das ursprüngliche System? Begründen Sie Ihre Antwort.

Zwei Überwachungsdrohnen $D_1$ und $D_2$ bewegen sich in einer Ebene auf geradlinigen Bahnen, die durch die folgenden Gleichungen gegeben sind:

Drohne 1: $2x - 3y = 5$

Drohne 2: $x + ky = 2$

Aufgaben:

1. a) Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Drohnen in einem Punkt zusammenstoßen (das System eindeutig lösbar ist).

1. b) Gibt es einen Wert von $k$, für den die Drohnen auf parallelen Bahnen fliegen und sich nie begegnen? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe von Rängen.

1. c) Stellen Sie die Situation grafisch dar, falls $k = -1,5$.

Sie können dies auf Papier erledigen und ein Foto Ihrer Antwort einsenden.

Untersuchen Sie die Lösbarkeit des folgenden Systems in Abhängigkeit vom reellen Parameter $m$ mithilfe des Satzes von Rouché-Frobenius:

$\begin{cases} mx + y + z = 1 \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m^2 \end{cases}$

Geben Sie an, für welche Werte von $m$ das System eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen besitzt oder unlösbar ist.

Gegeben sind die Gleichungen dreier Ebenen im Raum:

$\pi_1: x + y + z = 2$

$\pi_2: 2x + 3y + z = 3$

$\pi_3: kx + 10y + 4z = 11$

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den sich die drei Ebenen in einer Geraden schneiden (Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen).
2. b) Bestimmen Sie für den gefundenen Wert von $k$ die Gleichung dieser Geraden.
3. c) Wie liegen die Ebenen zueinander, falls $k = 5$?

Schreiben Sie ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen auf, das gleichzeitig Folgendes erfüllt:

1. Es besitzt unendlich viele Lösungen.

2. Eine seiner Lösungen ist $(1|0|2)$.

3. Die Koeffizientenmatrix hat die Form:

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & a \\ 3 & 0 & b \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die erforderlichen Werte von $a$ und $b$ und schlagen Sie passende Absolutglieder vor. Begründen Sie Ihre Konstruktion mithilfe von Rängen.

Auf Grundlage der Daten der Erhebung zum städtischen Verkehr des Statistischen Bundesamtes (Destatis) untersucht ein kommunales Verkehrsunternehmen in Deutschland die monatlichen Verkäufe von drei Arten von Fahrausweisen: Jugendticket ($x$), Standardticket ($y$) und Seniorenticket ($z$). Aus einem Untersuchungszeitraum sind folgende Daten bekannt:

• Insgesamt wurden $12\,000$ Fahrausweise ausgestellt.

• Der Monatspreis beträgt $20$ € für das Jugendticket, $40$ € für das Standardticket und $10$ € für das Seniorenticket; die Gesamteinnahmen betragen $290\,000$ €.

• Die Anzahl der verkauften Jugendtickets war genau doppelt so groß wie die Summe der verkauften Standard- und Seniorentickets.

1. a) Modellieren Sie die Situation, indem Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen aufstellen und in Matrixform $A \cdot X = B$ schreiben. Geben Sie genau an, was jede Matrix und jeder Vektor darstellt.
2. b) Schreiben Sie die zum Problem gehörende erweiterte Koeffizientenmatrix $A^* = (A|B)$ auf.
3. c) Bringen Sie die erweiterte Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Stufenform, um das System nach der Anzahl der Lösungen zu klassifizieren (eindeutig lösbar, unendlich viele Lösungen oder unlösbar). Deuten Sie anhand dieser Klassifizierung, ob die Angaben des kommunalen Unternehmens die genaue Anzahl der verkauften Tickets jeder Art sicher bestimmen lassen oder ob die Informationen unzureichend oder widersprüchlich sind.

Diskutieren Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von den verschiedenen Werten der reellen Parameter $a$ und $b$. Lösen Sie es nur in dem Fall, dass das System unendlich viele Lösungen hat:

$$\begin{cases} ax + y + z = b \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{cases}$$

Ein Biotechnologie-Labor entwickelt ein neues Serum aus drei Verbindungen: $A$, $B$ und $C$. Die Kosten pro Gramm jeder Verbindung hängen von einem Importfaktor $k$ ab. Das System, das die erforderlichen Mengen $x, y, z$ (in Gramm) zur Stabilisierung von 100 ml Serum beschreibt, lautet:

$$\begin{cases} kx + y + z = k \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k \end{cases}$$

1. a) Bestimmen Sie, für welche Werte von $k$ das Labor keine eindeutige Menge jeder Verbindung zur Herstellung des Serums festlegen kann.
2. b) Ist es für $k = -2$ möglich, das Serum in diesen Verhältnissen herzustellen? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der Lösbarkeit des Systems.

Gegeben sind drei Ebenen im Raum mit den Gleichungen:

$\pi_1: x + ay + z = 1$

$\pi_2: ax + y + (a-1)z = a$

$\pi_3: x + ay + (a+1)z = b$

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der drei Ebenen in Abhängigkeit von den Parametern $a$ und $b$. Für welche Werte der Parameter schneiden sich die drei Ebenen in genau einer Geraden?

Gegeben ist das homogene, vom Parameter $m$ abhängige Gleichungssystem:

$$\begin{cases} mx + y + z = 0 \\ x + my + z = 0 \\ mx + my + 2z = 0 \end{cases}$$

1. a) Bestimmen Sie den Wert von $m$, für den das System von der trivialen Lösung verschiedene Lösungen besitzt.
2. b) Bestimmen Sie für diesen Wert von $m$ die allgemeine Lösung und geben Sie eine von der trivialen Lösung verschiedene spezielle Lösung an.

Diskutieren Sie die Lösbarkeit des folgenden Systems aus 4 Gleichungen mit 3 Variablen in Abhängigkeit von den Werten des Parameters $k$:

$$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + y - z = 2 \\ x - y + kz = 1 \\ 3x + 2y + (k-1)z = 5 \end{cases}$$

Bestimmen Sie für die Fälle, in denen das System lösbar ist, ob die Lösung eindeutig ist.

Drei Kurierunternehmen ($P_1, P_2, P_3$) teilen sich den Markt einer Stadt. Jeden Monat wechseln 20 % der Kunden von $P_1$ zu $P_2$ und 10 % zu $P_3$. Von den Kunden von $P_2$ wechseln 10 % zu $P_1$ und 10 % zu $P_3$. Von den Kunden von $P_3$ wechseln 10 % zu $P_1$ und 20 % zu $P_2$.

Die aktuellen Marktanteile sind $x, y, z$ und wir wollen, dass die Marktanteile im nächsten Monat unverändert bleiben (Gleichgewichtszustand). Stellen Sie ein Gleichungssystem auf. Zeigen Sie, dass dieses System unendlich viele Lösungen hat, und berechnen Sie das Verhältnis der Marktanteile im Gleichgewicht.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$, für die das folgende System unendlich viele, von einem einzigen Parameter abhängige Lösungen hat:

$$\begin{cases} x + ay + 2z = 3 \\ x + (2a-1)y + (a+2)z = 2b + 3 \\ x + y + az = b \end{cases}$$

Geben Sie für die gefundenen Werte die Lösung in Parameterform an.

In einer Umweltüberwachungsstation der AEMET müssen die normierten theoretischen Messwerte von drei Größen ($x$: Temperatur, $y$: relative Luftfeuchtigkeit, $z$: Druck) das folgende lineare Gleichungssystem erfüllen, wobei $k$ einen von einem Hilfssensor übermittelten Messwert darstellt:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 2z = k \\ -x - 2y + z = -3 \end{cases}$$

1. a) Schätzphase: Analysieren Sie, ohne formale Stufenumformungen durchzuführen, die Koeffizienten der Variablen und die konstanten Glieder der drei Gleichungen. Schätzen Sie ab und begründen Sie, welche Art von System Sie in zwei Fällen erwarten: $k = 6$ und $k \neq 6$. Deuten Sie geometrisch, was jede Gleichung darstellt (eine Ebene in $\mathbb{R}^3$), und sagen Sie die gegenseitige Lage der drei Ebenen in jedem Fall voraus.
2. b) Prüfphase: Schreiben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix $A^* = (A|B)$ auf und wenden Sie das Gauß-Verfahren mit elementaren Linearkombinationen an, um das System in Abhängigkeit vom Parameter $k$ formal zu klassifizieren.
3. c) Vergleich und kritische Bewertung: Vergleichen Sie die in b) erhaltene algebraische Herleitung mit Ihrer vorherigen Schätzung in a). Bestimmen Sie im Fall $k = 6$, von wie vielen freien Parametern die Lösungsmenge abhängt, und erklären Sie, warum die tatsächliche geometrische Konfiguration zusammenfallenden Ebenen entspricht und nicht Ebenen, die sich in einer Geraden schneiden. Differenzieren Sie dabei Ihre anfängliche Intuition über die Freiheitsgrade des Systems.

Es geht um die analytische und theoretische Konstruktion von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Variablen ($x, y, z$):

1. a) Entwerfen Sie ein lineares Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Variablen $A \cdot X = B$, wobei alle Koeffizienten der Matrix $A$ reelle Zahlen ungleich null sein sollen. Das Gesamtsystem soll unlösbar sein, aber jedes Teilsystem aus zwei beliebigen Gleichungen soll lösbar mit unendlich vielen Lösungen sein. Schreiben Sie die drei Gleichungen explizit auf, geben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix $A^* = (A|B)$ an und weisen Sie nach, dass beide Bedingungen exakt erfüllt sind.
2. b) Deuten Sie die gegenseitige Lage der drei Ebenen, die durch die Gleichungen Ihres Systems im dreidimensionalen Raum dargestellt werden, und beschreiben Sie die geometrische Figur, die sie miteinander bilden.
3. c) Betrachten Sie nun das zugehörige homogene System $A \cdot X = 0$ mit genau derselben Koeffizientenmatrix $A$, die Sie in Teilaufgabe a) konstruiert haben. Beantworten Sie die folgenden Fragen mit Begründung und ohne zusätzliche algebraische Rechnungen:

1. Warum kann dieses homogene System strukturbedingt nicht unlösbar sein?

2. Besitzt es nur die triviale Lösung $(0, 0, 0)$ oder unendlich viele Lösungen? Begründen Sie Ihre Aussage, indem Sie die lineare Abhängigkeit, die Sie den Zeilen von $A$ in Teilaufgabe a) gegeben haben, mit dem Rang dieser Matrix in Beziehung setzen.