Informationen zur Funktion – Funktionsuntersuchung · Mathematik (Leistungskurs) Q1 Leistungskurs

Das Schema der Funktionsuntersuchung

Eine Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) sammelt alle wichtigen Eigenschaften einer Funktion, damit Sie den Graphen $G_f$ zeichnen oder Fragen zum Sachkontext beantworten können. Bei ganzrationalen Funktionen gehen Sie immer in dieser Reihenfolge vor:

Schema für ganzrationale Funktionen

Definitionsbereich: Für ganzrationale Funktionen ist $D=\mathbb{R}$, im Sachkontext kann $D$ eingeschränkt sein.
Symmetrie: Gilt $f(-x)=f(x)$, ist $G_f$ achsensymmetrisch zur y-Achse. Gilt $f(-x)=-f(x)$, ist $G_f$ punktsymmetrisch zum Ursprung. Sonst liegt keine einfache Symmetrie vor.
Verhalten für $x\to\pm\infty$: Der Summand mit der höchsten Potenz entscheidet.
Achsenschnittpunkte: y-Achsenabschnitt $f(0)$ und Nullstellen aus $f(x)=0$.
Ableitungen $f'$, $f''$, $f'''$.
Extrempunkte: notwendig $f'(x_0)=0$, hinreichend $f''(x_0)\neq0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f'$).
Wendepunkte: notwendig $f''(x_0)=0$, hinreichend $f'''(x_0)\neq0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f''$).
Monotonie und Krümmung angeben, dann den Graphen skizzieren.
Wendetangente: Tangente im Wendepunkt $W(x_W|f(x_W))$ mit $y=m\cdot x+n$, wobei $m=f'(x_W)$ ist und $n$ durch Einsetzen von $W$ folgt.

Warum diese Reihenfolge? Jeder Schritt liefert Punkte oder Hinweise für den nächsten. Die Symmetrie halbiert die Arbeit, das Verhalten im Unendlichen sagt, wie die Enden der Kurve aussehen, und die Nullstellen sind ohnehin Teil der Skizze.

Beim Verhalten für $x\to\pm\infty$ zählt nur der Summand mit der höchsten Potenz. Bei $f(x)=x^3-3x^2$ dominiert $x^3$: Für $x\to+\infty$ gilt $f(x)\to+\infty$, für $x\to-\infty$ gilt $f(x)\to-\infty$.

Funktionsuntersuchung von $f(x)=x^3-3x^2$ (hilfsmittelfrei)

Definitionsbereich und Symmetrie: $D=\mathbb{R}$. Es ist $f(-x)=-x^3-3x^2$. Das ist weder $f(x)$ noch $-f(x)$, also liegt keine einfache Symmetrie vor.

Verhalten im Unendlichen: Der Summand $x^3$ dominiert, also $f(x)\to+\infty$ für $x\to+\infty$ und $f(x)\to-\infty$ für $x\to-\infty$.

Achsenschnittpunkte: $f(0)=0$, also schneidet $G_f$ die y-Achse in $(0\mid0)$. Nullstellen: $x^3-3x^2=x^2(x-3)=0$ liefert $x=0$ (doppelt) und $x=3$.

Ableitungen: $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, $f''(x)=6x-6$, $f'''(x)=6$.

Extrempunkte: $f'(x)=0$ liefert $x=0$ und $x=2$. Es ist $f''(0)=-6<0$, also ein Hochpunkt $H(0\mid0)$. Es ist $f''(2)=6>0$, also ein Tiefpunkt mit $f(2)=8-12=-4$, also $T(2\mid-4)$.

Wendepunkt: $f''(x)=6x-6=0$ liefert $x=1$. Wegen $f'''(1)=6\neq0$ liegt dort ein Wendepunkt, und mit $f(1)=-2$ ist $W(1\mid-2)$.

Aufgabe für Sie: Geben Sie die Monotonie- und Krümmungsintervalle an. Notieren Sie sie in Ihrem Heft, bevor Sie weiterklicken.

Lösung: $G_f$ ist streng monoton wachsend in $]-\infty;0]$ und in $[2;\infty[$, streng monoton fallend in $[0;2]$. Für $x<1$ ist $f''<0$ (Rechtskurve), für $x>1$ ist $f''>0$ (Linkskurve).

Wendetangente: Im Wendepunkt $W(1|-2)$ ist die Steigung $m=f'(1)=3-6=-3$. Aus $-2=-3\cdot1+n$ folgt $n=1$. Die Wendetangente ist $y=-3x+1$.

Üben★☆☆

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten (Intervalle des Steigens und Fallens) und berechnen Sie die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) der folgenden ganzrationalen…

Untersuchen Sie das Monotonieverhalten (Intervalle des Steigens und Fallens) und berechnen Sie die lokalen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) der folgenden ganzrationalen Funktion:

$f(x) = x^3 - 3x + 2$

Lösen

Monotonie, Krümmung und Wendepunkte

Aus der Einführungsphase kennen Sie den Zusammenhang zwischen Ableitung und Verlauf des Graphen. Hier das Wichtigste auf einen Blick:

Warum? $f''$ ist die Ableitung von $f'$. Ist $f''>0$, wächst die Steigung $f'$, also „kippt“ die Tangente immer weiter nach oben, und die Kurve biegt sich nach links.

Den Verlauf der Tangentensteigung verfolgen Sie am einfachsten mit einer Vorzeichentabelle. Ein Extrempunkt liegt vor, wenn $f'$ das Vorzeichen wechselt, bei $+\to-$ ein Hochpunkt, bei $-\to+$ ein Tiefpunkt.

Wendepunkte von $f(x)=x^4-4x^2$ (hilfsmittelfrei)

$f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)$ mit $f'(x)=0$ für $x=0$ und $x=\pm\sqrt2$. Außerdem $f''(x)=12x^2-8$.

Extrempunkte: $f''(0)=-8<0$ ergibt $H(0\mid0)$. $f''(\pm\sqrt2)=16>0$ ergibt zwei Tiefpunkte, mit $f(\pm\sqrt2)=4-8=-4$ also $T_{1,2}(\pm\sqrt2\mid-4)$.

Wendestellen: $12x^2-8=0$ liefert $x^2=\tfrac23$, also $x=\pm\sqrt{\tfrac23}$. Mit $f'''(x)=24x\neq0$ an diesen Stellen liegen Wendepunkte vor. Es ist $f\bigl(\pm\sqrt{\tfrac23}\bigr)=\tfrac49-\tfrac83=-\tfrac{20}{9}$.

Krümmung: Für $|x|>\sqrt{\tfrac23}$ ist $f''>0$, für $|x|<\sqrt{\tfrac23}$ ist $f''<0$. Geben Sie die Intervalle der Links- und Rechtskurve an.

Lösung: Linkskurve in $]-\infty;-\sqrt{\tfrac23}[$ und in $]\sqrt{\tfrac23};\infty[$, Rechtskurve in $]-\sqrt{\tfrac23};\sqrt{\tfrac23}[$.

Beachten Sie bei der Frage nach globalen Extrema: Ein lokales Extremum muss nicht das größte oder kleinste Funktionswert sein. Bei einem eingeschränkten Definitionsbereich (etwa im Sachkontext $t\in[0;10]$) müssen Sie zusätzlich die Randwerte vergleichen.

Üben★☆☆

Analysieren Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Gehen Sie dazu so vor: 1. Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$. 2. Bestimmen Sie die…

Analysieren Sie das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$. Gehen Sie dazu so vor:

Bestimmen Sie die zweite Ableitung $f''(x)$.
Bestimmen Sie die Intervalle, in denen der Graph linksgekrümmt ($\cup$) bzw. rechtsgekrümmt ($\cap$) ist.
Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte.

Lösen

Üben★★☆

Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Bestimmen Sie die Intervalle der Rechts- und Linkskrümmung sowie die exakten Koordinaten ihrer…

Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Bestimmen Sie die Intervalle der Rechts- und Linkskrümmung sowie die exakten Koordinaten ihrer Wendepunkte. Verwenden Sie das Symbol $\cup$ für die Intervalle, in denen die Funktion linksgekrümmt ist (Krümmung nach oben), und $\cap$ für die Intervalle, in denen sie rechtsgekrümmt ist (Krümmung nach unten).

Lösen

Umkehraufgabe: Skizze aus Eigenschaften

In Klausuren wird auch umgekehrt gefragt: Es sind Eigenschaften gegeben (Nullstellen, ein Tiefpunkt, Monotonie, Verhalten im Unendlichen), und Sie sollen einen passenden Graphen skizzieren. Das ist ein Darstellungswechsel: von Text und Zahlen zum Bild. Es gibt nicht nur eine richtige Skizze, aber alle Bedingungen müssen erfüllt sein.

Üben★☆☆

Über eine auf ganz $\mathbb{R}$ stetige Funktion $f(x)$ ist Folgendes bekannt: Sie schneidet die $X$-Achse in $x = -2$ und $x = 2$. Sie hat einen Tiefpunkt in $(0|-4)$.…

Über eine auf ganz $\mathbb{R}$ stetige Funktion $f(x)$ ist Folgendes bekannt:

Sie schneidet die $X$-Achse in $x = -2$ und $x = 2$.
Sie hat einen Tiefpunkt in $(0|-4)$.
Sie ist in $(-\infty, 0)$ monoton fallend und in $(0, +\infty)$ monoton steigend.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ und $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Zeichnen Sie eine Skizze des Graphen, die alle diese Bedingungen erfüllt. Als Hilfe finden Sie hier das Koordinatensystem mit den bekannten Punkten; übertragen Sie es auf Ihr Papier und zeichnen Sie die Kurve.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Lösen

Steckbriefaufgabe: Funktionsterm aus Bedingungen

Manchmal ist der Term unbekannt, aber Eigenschaften des Graphen sind gegeben. Dann setzen Sie einen allgemeinen Ansatz an, übersetzen jede Bedingung in eine Gleichung und lösen das lineare Gleichungssystem (LGS).

Warum so? Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat $n+1$ Koeffizienten. Jede Bedingung liefert eine Gleichung, also braucht man genauso viele Bedingungen wie Unbekannte.

Vom Graphen von $f'$ zum Graphen von $f$

Manchmal ist nur der Graph der Ableitungsfunktion $f'$ gegeben, und Sie sollen Aussagen über $f$ machen. Dabei gibt es zwei verschiedene Lesarten desselben Graphen.

Warum? Die Ableitung von $f'$ ist $f''$. Wenn $G_{f'}$ steigt, ist seine Steigung $f''$ positiv.

Die Funktion $f$ ist aus $f'$ nur bis auf eine Verschiebung in y-Richtung bestimmt. Ist zusätzlich ein Funktionswert bekannt (zum Beispiel $f(0)=1$), liegt die Lage der Skizze fest.

Üben★★☆

Gegeben ist der unten dargestellte Graph der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (eine Gerade, die durch die Punkte $(-2|0)$ und $(0|4)$ verläuft). Geben Sie mit Begründung an:…

Gegeben ist der unten dargestellte Graph der Ableitungsfunktion $f'(x)$ (eine Gerade, die durch die Punkte $(-2|0)$ und $(0|4)$ verläuft). Geben Sie mit Begründung an:

a) Die Intervalle, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigt bzw. fällt.
b) Die x-Werte der Extremstellen von $f(x)$ und ihre Art (Hoch- oder Tiefpunkt).
c) Das Intervall der Rechts- bzw. Linkskrümmung von $f(x)$.

Lösen

Üben★★★

Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten stetigen Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand der gegebenen…

Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$ definierten stetigen Funktion $f(x)$. Beantworten Sie anhand der gegebenen Abbildung:

Geben Sie die Intervalle an, in denen die ursprüngliche Funktion $f(x)$ monoton steigt bzw. fällt.
Bestimmen Sie die x-Werte der Extremstellen von $f(x)$ und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte.
Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten von $f(x)$ und bestimmen Sie die Wendepunkte.
Wenn bekannt ist, dass $f(0) = 1$, skizzieren Sie den Graphen der ursprünglichen Funktion $f(x)$ und begründen Sie die erhaltene Form.

Lösen

Ausblick: gebrochenrationale Funktionen und Asymptoten

Ein einfacher Fall mit Asymptote ist $f(x)=\frac1x$ (Ergänzung, nicht Kernstoff des Leistungskurses). Für $x\to\pm\infty$ gilt $f(x)\to0$, die x-Achse ist also eine waagerechte Asymptote. Bei $x=0$ ist $f$ nicht definiert, und für $x\to0^{+}$ wächst $f(x)$ über alle Grenzen: die y-Achse ist eine senkrechte Asymptote.

Üben★☆☆

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Bestimmen Sie: 1. Die Gleichungen ihrer senkrechten und waagerechten Asymptoten. 2. Die Lage der Kurve relativ zu…

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \frac{2x}{x-1}$. Bestimmen Sie:

Die Gleichungen ihrer senkrechten und waagerechten Asymptoten.
Die Lage der Kurve relativ zu diesen Asymptoten durch Untersuchung der einseitigen Grenzwerte und des Verhaltens im Unendlichen.

Lösen

Üben★★☆

Skizzieren Sie den Graphen einer stetigen Funktion $f(x)$, die gleichzeitig die folgenden, aus ihrer analytischen Untersuchung gewonnenen Bedingungen erfüllt:…

Skizzieren Sie den Graphen einer stetigen Funktion $f(x)$, die gleichzeitig die folgenden, aus ihrer analytischen Untersuchung gewonnenen Bedingungen erfüllt:

Definitionsmenge: $\mathbb{R} - \{0\}$
Schnittpunkte mit den Achsen: $(2|0)$ und $(-2|0)$.
Senkrechte Asymptote bei $x = 0$, mit $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ und $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$.
Waagerechte Asymptoten: $y = -1$ für $x \to +\infty$ und $y = 1$ für $x \to -\infty$.
$f'(x) < 0$ auf der gesamten Definitionsmenge.

Sie können es auf Papier machen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Lösen

Auf einen Blick

Zusammenfassung

Schema der Funktionsuntersuchung: Definitionsbereich → Symmetrie → Verhalten für $x\to\pm\infty$ → Achsenschnittpunkte → Ableitungen → Extrem- und Wendepunkte → Monotonie/Krümmung → Skizze.
Extrempunkt: $f'(x_0)=0$ und ($f''(x_0)\neq0$ oder Vorzeichenwechsel von $f'$). Wendepunkt: $f''(x_0)=0$ und ($f'''(x_0)\neq0$ oder Vorzeichenwechsel von $f''$). Bei eingeschränktem $D$ die Randwerte prüfen.
Umkehraufgabe: Punkte eintragen, Enden nach dem Verhalten im Unendlichen zeichnen, dazwischen Monotonie und Krümmung beachten, am Ende jede Bedingung überprüfen.
Graph von $f'$: Lage zur x-Achse gibt die Monotonie von $f$, der Verlauf von $G_{f'}$ die Krümmung von $f$, die Extrempunkte von $G_{f'}$ die Wendestellen von $f$.
Das Profil der Rampe vom Anfang: Der tiefste Punkt ist ein Tiefpunkt ($f'=0$, $f''>0$, Randwerte prüfen), die steilste Stelle ein Wendepunkt (Maximum von $f'$).

Los geht's! 10 Aufgaben der Stufe mittel in diesem Abschnitt

★★☆ Führen Sie eine vollständige Untersuchung des Monotonieverhaltens und der Extremstellen…★★☆ Betrachten Sie die Polynomfunktion $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$. Bestimmen Sie die…★★☆ Bestimmen Sie alle Asymptoten (senkrechte, waagerechte und schräge) der Funktion…

Los geht's! 10 Aufgaben der Stufe schwer in diesem Abschnitt

★★★ Gegeben sei die Funktion $f(x) = \frac{ax^2 + bx}{x + c}$. Bestimmen Sie die Werte der…★★★ Der folgende Graph gehört zur Ableitungsfunktion $f'(x)$ einer auf ganz $\mathbb{R}$…