Winkel zwischen Geraden und Ebenen im Raum
Auf dem Dach einer Sporthalle in Köln soll eine Solaranlage montiert werden. Der Ertrag hängt davon ab, unter welchem Winkel die Sonnenstrahlen auf die Module treffen. Ein Strahl ist eine Gerade, ein Dach ist eine Ebene. Wie groß ist der Winkel dazwischen? Dieser Winkel taucht auch bei Dächern, Antennen, Drohnenflügen und Roboterarmen auf. Du berechnest ihn immer nach demselben Prinzip: Du vergleichst den Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene.
Der Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene
Ist die Gerade durch zwei Punkte $A$ und $B$ gegeben, nimmst du als Richtungsvektor $\vec u=\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$. Für $A(1|0|1)$ und $B(2|1|3)$ ist $\vec u=(1;1;2)$.
Ist eine Ebene durch drei Punkte $A$, $B$, $C$ gegeben, bestimmst du zuerst $\vec v=\overrightarrow{AB}$ und $\vec w=\overrightarrow{AC}$. Der Normalenvektor $\vec n$ erfüllt $\vec n\circ\vec v=0$ und $\vec n\circ\vec w=0$ (LGS, eine Unbekannte frei wählen). Dann setzt du $A$ in $n_1x+n_2y+n_3z=d$ ein. Enthält die Ebene eine Gerade $r$ (Richtungsvektor $\vec u$) und steht senkrecht auf einer Ebene mit Normalenvektor $\vec m$, so gilt $\vec n\circ\vec u=0$ und $\vec n\circ\vec m=0$. Beispiel: $A(2|0|0)$, $B(0|2|0)$, $C(0|0|2)$ liefert $\vec v=(-2;2;0)$, $\vec w=(-2;0;2)$, also $\vec n=(1;1;1)$ und $E\colon x+y+z=2$.
Die Ebene hat die Koordinatenform $E\colon ax+by+cz=d$. Ihr Normalenvektor steht senkrecht auf ihr und lässt sich direkt ablesen: $\vec n = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}$.
Ein Architekt entwirft das geneigte Dach einer Sporthalle. In seinem Entwurf verläuft die Haupttragkonstruktion in Richtung der Geraden…
Ein Architekt entwirft das geneigte Dach einer Sporthalle. In seinem Entwurf verläuft die Haupttragkonstruktion in Richtung der Geraden $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{2}$, während der Hallenboden in der horizontalen Ebene $\pi: z = 0$ liegt. Berechnen Sie den Winkel zwischen dem Tragbalken und dem Boden.
Berechnen Sie den spitzen Winkel zwischen der Geraden $r$, die durch die Punkte $A(1|0|-2)$ und $B(3|-1|1)$ verläuft, und der Ebene $\pi$ mit der Koordinatengleichung…
Berechnen Sie den spitzen Winkel zwischen der Geraden $r$, die durch die Punkte $A(1|0|-2)$ und $B(3|-1|1)$ verläuft, und der Ebene $\pi$ mit der Koordinatengleichung $2x + y - 3z + 4 = 0$. Geben Sie das Ergebnis in Grad, Minuten und Sekunden an.
Ein Industrieroboterarm in einer Montagehalle soll sich auf einer geradlinigen Führung $r$ bewegen, die durch den Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ und den Punkt…
Ein Industrieroboterarm in einer Montagehalle soll sich auf einer geradlinigen Führung $r$ bewegen, die durch den Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ und den Punkt $P(1|-1|0)$ verläuft. Der Arm soll an einer geneigten Metallplatte arbeiten, die mit der Ebene $\pi$ übereinstimmt, welche die Punkte $A(2|0|0)$, $B(0|2|0)$ und $C(0|0|2)$ enthält. Berechnen Sie den Winkel zwischen der Bahn des Roboters und der Arbeitsplatte.
Der Schnittwinkel zweier Geraden mit den Richtungsvektoren $\vec u_1$, $\vec u_2$ folgt aus $\cos\varphi=\dfrac{\lvert\vec u_1\circ\vec u_2\rvert}{\lvert\vec u_1\rvert\cdot\lvert\vec u_2\rvert}$ (Kosinus, spitzer Winkel). Beispiel: $\vec u_1=(1;0;0)$, $\vec u_2=(1;1;0)$ ergibt $\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt2}$, also $\varphi=45^\circ$.
Spezialfälle: orthogonal und parallel
Zwei Extremfälle kannst du ohne die Sinus-Formel erkennen:
Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ senkrecht zur Ebene $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$ steht.…
Bestimmen Sie den Wert des Parameters $k$ so, dass die Gerade $r: \frac{x-1}{k} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ senkrecht zur Ebene $\pi: 2x + 4y - 2z + 7 = 0$ steht. Welchen Winkel bilden sie in diesem Fall?
Gegeben sind die Gerade $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ und die Ebene $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$. Prüfen Sie, ob Gerade und Ebene parallel sind oder…
Gegeben sind die Gerade $s: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{2}$ und die Ebene $\pi: 3x - 2y + z - 5 = 0$. Prüfen Sie, ob Gerade und Ebene parallel sind oder sich unter einem bestimmten Winkel schneiden. Falls sie sich schneiden, berechnen Sie diesen Winkel.
Ein Laserstrahl fällt von einem Satelliten entlang der Geraden $r$ ein, die durch den Punkt $A(1|0|2)$ verläuft und den Richtungsvektor $\vec{v}(k, 1, 1)$ hat. Der…
Ein Laserstrahl fällt von einem Satelliten entlang der Geraden $r$ ein, die durch den Punkt $A(1|0|2)$ verläuft und den Richtungsvektor $\vec{v}(k, 1, 1)$ hat. Der Strahl soll auf eine Empfangsstation treffen, die in einer Ebene $\pi$ mit der Gleichung $2x - y + z = 5$ liegt. Bestimmen Sie die Werte des reellen Parameters $k$, für die der Winkel zwischen der Laserbahn und der Empfangsebene genau $30^\circ$ beträgt.
Die Gerade als Schnitt zweier Ebenen
Manchmal ist eine Gerade nicht in Parameterform gegeben, sondern als Schnitt zweier Ebenen:
$$g\colon\ \begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2\end{cases}$$Dann fehlt dir der Richtungsvektor. Du findest ihn so: Die Gerade liegt in beiden Ebenen, deshalb steht $\vec u$ senkrecht auf beiden Normalenvektoren.
Für die Parameterform brauchst du noch einen Stützpunkt: Setze in beiden Ebenengleichungen eine Koordinate fest (zum Beispiel $z=0$) und löse das LGS für die anderen beiden. Dann ist $g\colon \vec x=\vec p+r\cdot\vec u$ mit diesem Punkt $\vec p$.
Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden $r$, definiert als Schnittgerade der Ebenen $\pi_1: x - y = 0$ und $\pi_2: y - z = 0$, und der Ebene…
Berechnen Sie den Sinus des Winkels zwischen der Geraden $r$, definiert als Schnittgerade der Ebenen $\pi_1: x - y = 0$ und $\pi_2: y - z = 0$, und der Ebene $\pi_3: x + y + 2z - 4 = 0$. (Hinweis: Bestimmen Sie zuerst den Richtungsvektor der Geraden $r$ mithilfe des Kreuzprodukts der Normalenvektoren von $\pi_1$ und $\pi_2$.)
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r$, definiert als Schnittgerade der Ebenen $\pi_1 \equiv x - y = 0$ und $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, und der Ebene…
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r$, definiert als Schnittgerade der Ebenen $\pi_1 \equiv x - y = 0$ und $\pi_2 \equiv 2y + z = 1$, und der Ebene $\alpha \equiv 3x - z = 0$.
Beim Entwurf eines avantgardistischen Auditoriums ist ein Tragbalken geplant, der in Richtung der Geraden $s$ verläuft, die als Schnitt der Ebenen…
Beim Entwurf eines avantgardistischen Auditoriums ist ein Tragbalken geplant, der in Richtung der Geraden $s$ verläuft, die als Schnitt der Ebenen
$s \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$
definiert ist. Dieser Balken soll mit der Ebene der Hauptfassade $\pi \equiv x + ay + z = 3$ den Winkel $\alpha$ bilden. Wenn bekannt ist, dass $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{6}}{6}$ gilt, berechnen Sie den Wert des Koeffizienten $a$ der Fassade.
Winkel mit Koordinatenebenen und Koordinatenachsen
Die Koordinatenebenen haben besonders einfache Normalenvektoren:
| Ebene | Gleichung | Normalenvektor |
|---|---|---|
| $x_1x_2$-Ebene ($xy$) | $z=0$ | $\vec e_3=(0;0;1)$ |
| $x_1x_3$-Ebene ($xz$) | $y=0$ | $\vec e_2=(0;1;0)$ |
| $x_2x_3$-Ebene ($yz$) | $x=0$ | $\vec e_1=(1;0;0)$ |
Für eine Gerade mit $\vec u=(u_1;u_2;u_3)$ gilt damit zum Beispiel für den Winkel mit der $xy$-Ebene: $\sin\alpha_{xy}=\dfrac{\lvert u_3\rvert}{\lvert\vec u\rvert}$.
Eine Koordinatenachse ist selbst eine Gerade, zum Beispiel die $z$-Achse mit Richtungsvektor $(0;0;1)$. Der Winkel einer Ebene mit einer Achse ist dann ein Winkel Gerade–Ebene, also mit dem Sinus.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ und der Koordinatenebene $OXY$ ($z = 0$). Erklären Sie kurz die…
Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r: \begin{cases} x + y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ und der Koordinatenebene $OXY$ ($z = 0$). Erklären Sie kurz die geometrische Bedeutung des erhaltenen Ergebnisses.
Es wurde ein Solarpanel installiert, das durch die Ebene $\pi \equiv x + y + az + d = 0$ dargestellt wird. Bekannt ist, dass das Panel durch den Punkt $P(1|2|1)$…
Es wurde ein Solarpanel installiert, das durch die Ebene $\pi \equiv x + y + az + d = 0$ dargestellt wird. Bekannt ist, dass das Panel durch den Punkt $P(1|2|1)$ verläuft und dass es zur Maximierung seiner Effizienz mit der Achse $OZ$ (der Vertikalen) einen Winkel von $60^\circ$ bilden muss.
Berechnen Sie die möglichen Werte des Parameters $a$ (nehmen Sie $a > 0$ an).
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ und jeder der Koordinatenebenen. Ergeben diese drei Winkel zusammen…
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Geraden $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ und jeder der Koordinatenebenen. Ergeben diese drei Winkel zusammen $180^\circ$? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der Begriffe Richtungsvektor und Normalenvektor.
Der Schnittwinkel zweier Ebenen
Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden. Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen ihren „Neigungen“. Er stimmt mit dem Winkel zwischen den Normalenvektoren überein, sofern man den spitzen Winkel nimmt.
Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene $\pi$, die die Gerade $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ enthält und senkrecht zur Ebene…
Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene $\pi$, die die Gerade $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ enthält und senkrecht zur Ebene $\sigma \equiv x - y + z + 3 = 0$ steht. Berechnen Sie anschließend den Winkel zwischen der Geraden $r$ und dieser Ebene $\pi$. War das Ergebnis vorhersehbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
Ein Solarpanel wird auf einer Metallkonstruktion montiert. Das Panel liegt in der Ebene $\pi \equiv x + y + z = 1$. Die Sonnenstrahlen verlaufen mittags in Richtung der…
Ein Solarpanel wird auf einer Metallkonstruktion montiert. Das Panel liegt in der Ebene $\pi \equiv x + y + z = 1$. Die Sonnenstrahlen verlaufen mittags in Richtung der Geraden $r$, die durch den Punkt $S(10|10|10)$ verläuft und senkrecht zur Neigungsebene des Geländes $\sigma \equiv 2x - y = 0$ ist.
- a) Berechnen Sie den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen auf das Panel.
- b) Wenn der Winkel für maximale Effizienz $90^\circ$ betragen soll, bestimmen Sie einen Normalenvektor für ein neues Panel, das diese Bedingung erfüllt.
Zurück zum Solardach
Auf dem Hallendach: Der Sonnenstrahl hat die Richtung $\vec u=(1;0;-1)$, die Dachfläche liegt in einer Ebene mit $\vec n=(1;0;2)$. Es ist $\vec n\circ\vec u=1-2=-1$, $\lvert\vec n\rvert=\sqrt5$ und $\lvert\vec u\rvert=\sqrt2$. Also $\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx0{,}316$ und $\alpha\approx18{,}4^\circ$. Der Strahl trifft das Dach sehr flach. Mit dem Wissen aus diesem Kapitel kannst du jetzt jeden Neigungswinkel berechnen.