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Q1 Leistungskurs · Mathematik (Leistungskurs)
Ergänzende Aufgaben zur Analysis und Geometrie in der Qualifikationsphase · Rotationsvolumina und uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale

Der Graph von $f(x)=\frac{1}{x^2}$ läuft für $x\to\infty$ immer dichter an die x-Achse heran, ohne je zu enden. Die Fläche darunter erstreckt sich unendlich weit nach rechts. Muss sie deshalb unendlich groß sein? Diese Frage klären wir am Ende dieser Seite.

Integrale mit unbeschränktem Intervall

Bisher waren die Integrationsgrenzen reelle Zahlen. Jetzt lassen wir die obere Grenze „nach unendlich laufen“. Das geht in zwei Schritten: Erst integrieren wir bis zu einer festen Zahl $b$, dann lassen wir $b$ wachsen.

Fläche unter dem Graphen von 1/x² von x=1 bis x=b, die mit wachsendem b nach rechts wächst 1 b f(x) = 1/x²

Das Vorgehen ist immer gleich: Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, Grenzwert untersuchen.

Üben★☆☆
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ in Abhängigkeit von $b>1$ und bestimmen Sie den Grenzwert für $b\to\infty$.

Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ in Abhängigkeit von $b>1$ und bestimmen Sie den Grenzwert für $b\to\infty$.

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Üben★☆☆
Berechnen Sie $\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx$.

Berechnen Sie $\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx$.

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Üben★☆☆
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx$ für $b>1$ und untersuchen Sie das Verhalten für $b\to\infty$. Die Stammfunktion $\ln x$ darf verwendet werden.

Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx$ für $b>1$ und untersuchen Sie das Verhalten für $b\to\infty$. Die Stammfunktion $\ln x$ darf verwendet werden.

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Üben★★☆
Berechnen Sie $\int_2^\infty \frac{3}{x^2}\,dx$.

Berechnen Sie $\int_2^\infty \frac{3}{x^2}\,dx$.

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Unendliche Flächen mit endlichem Inhalt

Wann konvergiert $\int_1^\infty x^{-p}\,\mathrm{d}x$? Wir unterscheiden $p=1$ und $p\neq1$.

Begründung: Für $p\ne1$ ist $\int_1^b x^{-p}\,\mathrm{d}x=\left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_1^b=\frac{b^{1-p}-1}{1-p}$. Ist $p>1$, so ist der Exponent $1-p$ negativ, also $b^{1-p}\to0$, und der Grenzwert ist $\frac{-1}{1-p}=\frac{1}{p-1}$. Ist $00$ und $b^{1-p}\to\infty$. Für $p=1$ ergibt sich $\ln b\to\infty$.

Die Fläche unter $\frac{1}{x}$ ist also unendlich groß, die unter $\frac{1}{x^2}$ aber nur $1$ Flächeneinheit. Damit ist die Frage vom Anfang beantwortet: Eine nach rechts unbegrenzte Fläche kann einen endlichen Inhalt haben, wenn der Graph schnell genug gegen 0 geht.

Üben★★☆
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ begrenzt für $x\ge 1$ mit der x-Achse eine nach rechts unbegrenzte Fläche. a) Zeigen Sie, dass die Fläche einen endlichen Inhalt hat.…

Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ begrenzt für $x\ge 1$ mit der x-Achse eine nach rechts unbegrenzte Fläche.

  1. a) Zeigen Sie, dass die Fläche einen endlichen Inhalt hat.
  1. b) Berechnen Sie den Inhalt.
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Üben★★★
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $p>0$, für welche $p$ das Integral $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergiert, und berechnen Sie dann den Wert.

Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $p>0$, für welche $p$ das Integral $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergiert, und berechnen Sie dann den Wert.

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Üben★★★
Bestimmen Sie $c>1$ so, dass $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{9}{10}$ gilt. Bestimmen Sie dann, wie groß der Anteil des Flächeninhalts $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx$ am…

Bestimmen Sie $c>1$ so, dass $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{9}{10}$ gilt. Bestimmen Sie dann, wie groß der Anteil des Flächeninhalts $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx$ am Inhalt $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ ist, und interpretieren Sie das Ergebnis.

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Integrale an einer Definitionslücke

Auch ein beschränktes Intervall kann „uneigentlich“ sein, wenn $f$ an einer Intervallgrenze nicht definiert ist und dort über alle Grenzen wächst. Beispiel: $f(x)=\frac{1}{\sqrt x}$ auf $]0;1]$.

Üben★★☆
Berechnen Sie $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ als Grenzwert $\lim_{a\to0^+}\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.

Berechnen Sie $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ als Grenzwert $\lim_{a\to0^+}\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.

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Rotationskörper mit unendlicher Ausdehnung

Rotiert die Fläche unter dem Graphen von $f$ über $[a;b]$ um die x-Achse, so gilt für das Volumen $V=\pi\int_a^b \big(f(x)\big)^2\,\mathrm{d}x$. Auch hier kann man $b\to\infty$ laufen lassen.

Üben★★★
Die Fläche unter $f(x)=\frac{1}{x}$ für $x\ge1$ rotiert um die x-Achse. a) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper ein endliches Volumen hat, und berechnen Sie es. b)…

Die Fläche unter $f(x)=\frac{1}{x}$ für $x\ge1$ rotiert um die x-Achse.

  1. a) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper ein endliches Volumen hat, und berechnen Sie es.
  1. b) Begründen Sie, dass die Fläche selbst keinen endlichen Inhalt hat.
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Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt
★☆☆ Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ in Abhängigkeit von $b>1$ und bestimmen Sie…★☆☆ Berechnen Sie $\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx$.★☆☆ Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx$ für $b>1$ und untersuchen Sie das Verhalten für…

Auf einen Blick

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