Steckbriefaufgaben (Bestimmung ganzrationaler Funktionen)
Für einen neuen Radweg in Düsseldorf soll ein Straßenabschnitt als Graph einer ganzrationalen Funktion beschrieben werden. Bekannt sind nur ein paar Eigenschaften der Kurve: ein Punkt, ein Hochpunkt, vielleicht eine Symmetrie. Reicht das, um die Funktion eindeutig festzulegen? Wie viele Eigenschaften braucht man dafür? Genau darum geht es bei einer Steckbriefaufgabe: Man „fahndet“ nach dem Funktionsterm, so wie ein Steckbrief nach einer Person.
Das Vorgehen: Ansatz, Bedingungen, LGS
Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat $n+1$ Koeffizienten, zum Beispiel:
-
Grad 2: $f(x)=ax^2+bx+c$, also 3 Unbekannte.
-
Grad 3: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, also 4 Unbekannte.
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Grad 4: $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, also 5 Unbekannte.
Jede Information über den Graphen liefert eine Gleichung für diese Unbekannten. Für 3 Unbekannte braucht man also 3 Gleichungen, für 4 Unbekannte 4 Gleichungen usw. Das ist der Grund dafür, dass das Verfahren funktioniert: Ein LGS mit ebenso vielen Gleichungen wie Unbekannten ist in der Regel eindeutig lösbar.
Zuerst werden die Eigenschaften in Gleichungen „übersetzt“. Dazu braucht man $f$, $f'$ und $f''$:
| Information im Text | Bedingung |
|---|---|
| Der Graph verläuft durch $P(u\|v)$. | $f(u)=v$ |
| Der Graph schneidet die y-Achse bei $y=3$. | $f(0)=3$ |
| Nullstelle bei $x=u$ | $f(u)=0$ |
| Waagerechte Tangente bei $x=u$ (stationäre Stelle) | $f'(u)=0$ |
| Extrempunkt $H(u\|v)$ oder $T(u\|v)$ | $f(u)=v$ und $f'(u)=0$ |
| Der Graph berührt die x-Achse bei $x=u$ | $f(u)=0$ und $f'(u)=0$ |
| Steigung $m$ an der Stelle $u$ | $f'(u)=m$ |
| Wendepunkt bei $x=u$ | $f''(u)=0$ |
| Wendepunkt $W(u\|v)$ | $f(u)=v$ und $f''(u)=0$ |
| Sattelpunkt bei $x=u$ | $f'(u)=0$ und $f''(u)=0$ |
| Wendetangente $y=mx+n$ bei $x=u$ | $f''(u)=0$ und $f'(u)=m$ und $f(u)=m\cdot u+n$ |
Ein Scheitelpunkt $S(u|v)$ einer Parabel ist ein Extrempunkt. Er liefert also zwei Bedingungen.
Verändern Sie $a$, $b$ und $c$ und beobachten Sie, wie jeder Koeffizient den Graphen verformt. Bei einer Steckbriefaufgabe stellt man diese drei Regler gezielt so ein, dass alle Bedingungen erfüllt sind.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f$ verläuft durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|6)$ und $C(2|11)$. Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades $f$ verläuft durch die Punkte $A(0|3)$, $B(1|6)$ und $C(2|11)$.
Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Der Graph einer Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat den Scheitelpunkt $S(2|-1)$ und schneidet die y-Achse im Punkt $P(0|3)$. Bestimmen Sie $a$, $b$ und $c$.
Der Graph einer Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat den Scheitelpunkt $S(2|-1)$ und schneidet die y-Achse im Punkt $P(0|3)$.
Bestimmen Sie $a$, $b$ und $c$.
Symmetrie nutzen: weniger Unbekannte
Symmetrie ist „geschenkte“ Information. Sie legt fest, welche Potenzen im Term überhaupt vorkommen dürfen:
-
Achsensymmetrie zur y-Achse ($f(-x)=f(x)$): Es kommen nur gerade Exponenten vor, also $f(x)=ax^4+cx^2+e$ bei Grad 4.
-
Punktsymmetrie zum Ursprung ($f(-x)=-f(x)$): Es kommen nur ungerade Exponenten vor, also $f(x)=ax^3+cx$ bei Grad 3.
Das ist begründet, weil $(-x)^n=x^n$ für gerade $n$ und $(-x)^n=-x^n$ für ungerade $n$ gilt. Bei Punktsymmetrie zum Ursprung gibt es außerdem kein Absolutglied. Der Ansatz hat dann weniger Unbekannte und das LGS wird kleiner.
Der Graph einer Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch $P(1|2)$ und hat dort die Steigung $m = 5$. Bestimmen Sie…
Der Graph einer Funktion dritten Grades $f(x) = ax^3 + bx$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, verläuft durch $P(1|2)$ und hat dort die Steigung $m = 5$.
Bestimmen Sie $a$ und $b$.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat im Punkt $T(0|-2)$ einen Tiefpunkt und im Punkt $P(1|0)$ eine waagerechte…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat im Punkt $T(0|-2)$ einen Tiefpunkt und im Punkt $P(1|0)$ eine waagerechte Tangente.
Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Extrem- und Wendepunkte, Wendetangente
Bei Funktionen dritten oder vierten Grades kommen meist Eigenschaften der Ableitungen vor. Das Muster bleibt gleich: Gleichungen aufstellen, LGS lösen, Probe machen.
Eine Straße in der Nähe von Hannover soll durch eine Kurve beschrieben werden. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Ursprung einen…
Eine Straße in der Nähe von Hannover soll durch eine Kurve beschrieben werden. Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ hat im Ursprung einen Wendepunkt und im Punkt $H(2|4)$ einen Hochpunkt.
- a) Stellen Sie die Bedingungen für die Koeffizienten von $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ auf.
- b) Bestimmen Sie den Funktionsterm von $f$.
Eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades hat folgende Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, hat bei $x=2$ einen Wendepunkt und schneidet die…
Eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades hat folgende Eigenschaften: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, hat bei $x=2$ einen Wendepunkt und schneidet die x-Achse bei $x=3$. Die Wendetangente hat dort die Steigung $-4$.
- a) Bestimmen Sie $f(x)$.
- b) Untersuchen Sie, ob $f$ an der Stelle $x=0$ ein Extremum hat.
Sachkontexte, Probe und Widersprüche
In Anwendungsaufgaben steckt die Information im Text. Zuerst wird das Koordinatensystem sinnvoll gewählt. Oft liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse oder ein Fußpunkt im Ursprung. Das spart Unbekannte.
Mit $f(x)=ax^2+c$ liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse (Achsensymmetrie). Aus „10 m hoch“ folgt $c=10$. Der Fußpunkt $B(20|0)$ liefert $400a+10=0$, also $a=-\tfrac{1}{40}=-0{,}025$.
Danach gehört zur Antwort ein Antwortsatz: Die Brückenhöhe in 5 m Entfernung von der Mitte beträgt $f(5)=-0{,}025\cdot25+10=9{,}375$ m.
Mehr Bedingungen als Unbekannte
Manchmal gibt es mehr Bedingungen als Koeffizienten. Dann gilt: Man löst das LGS mit passend vielen Gleichungen und prüft die übrigen. Passen sie nicht, gibt es keine solche Funktion. Das gehört zur Aufgabe und ist kein Rechenfehler.
Übergänge ohne Knick und ohne Krümmungssprung
Wenn zwei Funktionen an der Stelle $u$ aneinanderstoßen, kann man drei Bedingungen stellen. Jede liefert eine Gleichung:
-
zusammenhängend: $g(u)=h(u)$ (Funktionswert)
-
knickfrei: $g'(u)=h'(u)$ (Steigung)
-
ohne Krümmungssprung: $g''(u)=h''(u)$ (Krümmung)
Zurück zum Anfang: Für den Radweg braucht man so viele unabhängige Eigenschaften, wie die gesuchte Funktion Koeffizienten hat. Jede Eigenschaft wird zu einer Gleichung und die Probe am Ende zeigt, ob alles zusammenpasst.
Ein Brückenbogen in Dresden hat die Form einer Parabel. Er ist 40 m breit (Fußpunkte $A(-20|0)$ und $B(20|0)$) und im höchsten Punkt 10 m hoch. Die Funktion sei $f$ mit…
Ein Brückenbogen in Dresden hat die Form einer Parabel. Er ist 40 m breit (Fußpunkte $A(-20|0)$ und $B(20|0)$) und im höchsten Punkt 10 m hoch. Die Funktion sei $f$ mit $f(x)=ax^2+c$.
- a) Bestimmen Sie den Funktionsterm.
- b) Berechnen Sie die Höhe des Bogens in 5 m Entfernung von der Mitte.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ soll die x-Achse im Ursprung berühren und im Punkt $W(3|f(3))$ einen Wendepunkt mit der Wendetangente…
Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades $f$ soll die x-Achse im Ursprung berühren und im Punkt $W(3|f(3))$ einen Wendepunkt mit der Wendetangente $y = -9x + 27$ haben.
Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf, prüfen Sie, ob die Bedingungen widerspruchsfrei erfüllt werden können, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Funktionsterm von $f$.
Eine Achterbahn wird abschnittsweise modelliert. Zwei Teilstücke sollen ohne Knick und ohne Krümmungssprung ineinander übergehen: $g(x) = -0{,}3x^2 + 1{,}6$ für…
Eine Achterbahn wird abschnittsweise modelliert. Zwei Teilstücke sollen ohne Knick und ohne Krümmungssprung ineinander übergehen: $g(x) = -0{,}3x^2 + 1{,}6$ für $x \le 0$ und $h(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ für $0 \le x \le 4$, wobei $h(4) = 0$ und $h'(4) = 0$ gilt.
Bestimmen Sie $h(x)$ und begründen Sie, warum die Übergangsbedingungen bei $x=0$ jeweils zu einer Gleichung führen.