Anwendungen des bestimmten Integrals

Berechnen Sie den Wert des folgenden bestimmten Integrals mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung:

Berechnen Sie den Flächeninhalt der ebenen Fläche, die von der Parabel $f(x) = x^2 - 4x + 3$ und der x-Achse begrenzt wird. Hinweis: Bestimmen Sie zuerst die Schnittpunkte der Funktion mit der Achse.

Ein Designstudio entwirft das Logo für ein neues Technologieunternehmen. Die Basis des Logos wird von der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ und der x-Achse $OX$ begrenzt. Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt der beiden geschlossenen Bereiche, die die Kurve mit der Achse bildet.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die zwischen den Graphen der Funktionen $f(x) = 6 - x^2$ und $g(x) = 2$ eingeschlossen wird.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der beschränkten ebenen Fläche, die von den Graphen der Funktionen $f(x) = -x^2 + 5x$ und $g(x) = x + 2$ begrenzt wird. Stellen Sie die Fläche vor der Berechnung grafisch dar.

Sie können es auf Papier lösen und ein Foto Ihrer Antwort senden.

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche im ersten Quadranten, die von den Graphen von $f(x) = \frac{8}{x}$, der Geraden $y = x$ und der Geraden $y = 4$ eingeschlossen wird.

Die Geschwindigkeit eines ferngesteuerten Autos (in $m/s$) wird durch die Funktion $v(t) = 2t + 1$ beschrieben. Bestimmen Sie die insgesamt zurückgelegte Strecke des Autos zwischen den Zeitpunkten $t = 1$ s und $t = 4$ s, indem Sie das bestimmte Integral der Geschwindigkeit berechnen.

Ein Unternehmen für elektronische Bauteile hat ermittelt, dass die Grenzkosten für die Produktion von $x$ Stück eines Sensors $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ Euro pro Stück betragen. Berechnen Sie den gesamten Kostenzuwachs, wenn die Produktion von $10$ auf $20$ Sensoren erhöht wird.

Ein autonomes Fahrzeug bewegt sich geradlinig, und seine Geschwindigkeit (in m/s) ist durch die Funktion $v(t) = t^2 - 6t + 8$ gegeben, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Berechnen Sie die vom Fahrzeug zwischen dem Zeitpunkt $t = 0$ und $t = 5$ insgesamt zurückgelegte Strecke. Hinweis: Beachten Sie, dass die Strecke das Integral des Betrags der Geschwindigkeit ist.

Eine Überwachungsdrohne bewegt sich geradlinig. Ihre Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde ist durch die Betragsfunktion

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ für $t \in [0; 6]$ Sekunden gegeben.

1. a) Bestimmen Sie die insgesamt zurückgelegte Strecke der Drohne in den ersten 6 Sekunden.
2. b) Berechnen Sie den Zeitpunkt $T \in (0; 6)$, für den die im Intervall $[0; T]$ zurückgelegte Strecke genau die Hälfte der in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Gesamtstrecke beträgt.

Gegeben sei die Integralfunktion $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$. Bestimmen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung den Wert ihrer Ableitung an der Stelle $x = 4$, das heißt, berechnen Sie $F'(4)$.

Gegeben ist die Funktion $F(x)$, definiert durch das folgende Integral:

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $F(x)$ an der Stelle $x = \sqrt{3}$.

Gegeben ist die Funktion $f(x)$, definiert durch den folgenden Term mit einem Integral:

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

Bestimmen Sie begründet:

1. a) Die Intervalle, in denen $F(x)$ auf der gesamten Definitionsmenge monoton steigend bzw. fallend ist.
2. b) Die x-Koordinaten der Stellen, an denen $F(x)$ relative Extrema annimmt, und klassifizieren Sie sie als Hoch- oder Tiefpunkte.
3. c) Besitzt die Funktion $F(x)$ im Intervall $(0, +\infty)$ einen Wendepunkt? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe der zweiten Ableitung.

Bestimmen Sie den Wert des positiven Parameters $k > 0$ so, dass der Flächeninhalt der Fläche, die von der Parabel $y = kx^2$ und der Geraden $y = 4$ begrenzt wird, genau $16$ Flächeneinheiten beträgt.

Betrachten Sie die Parabel $f(x) = 4x - x^2$ und die Geradenschar durch den Koordinatenursprung mit der Gleichung $y = mx$, wobei $m$ ein reeller Parameter mit $0 < m < 4$ ist.

1. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $m$ die Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel und begründen Sie, welcher der beiden Graphen im offenen Intervall zwischen diesen Punkten oberhalb verläuft.
2. b) Drücken Sie den Flächeninhalt der zwischen beiden Kurven eingeschlossenen Fläche durch ein bestimmtes Integral aus und zeigen Sie mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung, dass dieser Flächeninhalt durch den Term

gegeben ist.

1. c) Stellen Sie die Umkehraufgabe auf und lösen Sie sie: Bestimmen Sie begründet, welchen exakten Wert die Steigung $m$ annehmen muss, damit der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche genau $4,5\text{ u}^2$ beträgt.

Ein Ingenieurteam entwirft den Eingangsbogen zu einem Technologietunnel. Die Form des oberen Bogens ist durch die Funktion $f(x) = 4 - x^2$ für $x \in [-2; 2]$ gegeben. Zur Verstärkung der Konstruktion soll eine Gerade $y = k$ (wobei $0 < k < 4$) so gezogen werden, dass der Flächeninhalt des oberen Abschnitts (oberhalb der Verstärkungslinie) genau doppelt so groß ist wie der des unteren Abschnitts (zwischen der Verstärkungslinie und dem Boden auf der $OX$-Achse).

Berechnen Sie den exakten Wert der Konstanten $k$, die diese Bedingung erfüllt.

Um den Flächeninhalt der geschlossenen Fläche zu berechnen, die vom Graphen der Funktion $f(x) = x^3 - 4x$ und der x-Achse im Intervall $[-2;2]$ begrenzt wird, hat Markus in seiner Klausur Folgendes geschrieben:

Er folgert daraus, dass der eingeschlossene Flächeninhalt null ist.

1. a) Erklären Sie begründet den Denkfehler von Markus. Warum ergibt das bestimmte Integral null, obwohl die Fläche einen geometrisch von null verschiedenen Flächeninhalt hat?
2. b) Korrigieren Sie seine Lösung: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktion mit der x-Achse, stellen Sie die Integrale zur Berechnung des tatsächlichen Flächeninhalts korrekt auf und bestimmen Sie dessen exakten Wert mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Kurve $f(x) = x^2 - 4x + 5$, der Tangente an diese Kurve im Punkt $(3|f(3))$ und der y-Achse begrenzt wird.

Gesucht ist der Flächeninhalt der beschränkten ebenen Fläche im ersten Quadranten, die gemeinsam von der Kurve $y = x^2$, der Geraden $y = 2 - x$ und der x-Achse ($y = 0$) begrenzt wird.

1. a) Entwerfen und beschreiben Sie zwei verschiedene analytische Strategien zur Berechnung dieses Flächeninhalts:

• Methode 1 (Integration bezüglich der Variablen $x$): Bestimmen Sie die nötigen Schnittpunkte und Intervalle und drücken Sie den Flächeninhalt als Summe von Integralen bezüglich $x$ aus.

• Methode 2 (Integration bezüglich der Variablen $y$): Lösen Sie in jeder Gleichung die Variable $x$ in Abhängigkeit von $y$ auf und drücken Sie den gesamten Flächeninhalt als ein einziges bestimmtes Integral bezüglich der Variablen $y$ aus.

1. b) Vergleichen Sie beide Methoden und begründen Sie, welche hinsichtlich Rechenaufwand und geringerer Wahrscheinlichkeit algebraischer Fehler vorteilhafter ist.
2. c) Wenden Sie die Methode an, die Sie für optimal halten (oder kombinieren Sie die Integration mit elementarer Geometrie im linearen Abschnitt), um den exakten Zahlenwert des Flächeninhalts zu erhalten.