Funktionsscharen und Ortskurven
Ein Fahrradverleih am Rhein in Köln rechnet für jede Tour mit einem Fixpreis und einem Preis pro Kilometer. Der Preis pro Kilometer wird je nach Saison verändert. Statt für jede Saison eine neue Funktion aufzustellen, schreibt man eine einzige Formel mit einem Platzhalter. Genauso arbeiten Sie in diesem Abschnitt mit Funktionsscharen: Eine Formel steht für unendlich viele Graphen. Am Ende fragen wir: Auf welcher Kurve wandern die Hoch- oder Wendepunkte, wenn sich der Parameter ändert? Das ist die Ortskurve.
Was ist eine Funktionsschar?
Bei einer Funktion wie $f(x) = 2x^2 - 3$ sind alle Zahlen festgelegt. Bei einer Funktionsschar steht an einer Stelle ein Parameter, meist $t$, $a$ oder $k$:
$$f_t(x) = x^3 - t\,x \qquad (t \in \mathbb{R})$$Für jede Wahl von $t$ erhalten Sie eine eigene Funktion und damit einen eigenen Graphen. Alle diese Graphen zusammen bilden die Schar.
Ziehen Sie am Regler. Beobachten Sie, was sich ändert und was gleich bleibt.
Alle Graphen laufen durch den Ursprung. Für $a>0$ gibt es drei Nullstellen, für $a \le 0$ nur eine.
Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter
Sie lösen $f_a(x)=0$ wie gewohnt und behandeln $a$ wie eine Zahl. Am Ende prüfen Sie, für welche $a$ die Lösung existiert.
Gemeinsame Punkte aller Graphen
Ein Punkt liegt auf allen Graphen der Schar, wenn sein Funktionswert nicht vom Parameter abhängt. Dazu sortieren Sie den Term nach Potenzen von $t$ und verlangen, dass der Faktor vor $t$ null ist.
Gegeben ist die Funktionsschar $f_t(x) = x^2 - tx$ mit $t \in \mathbb{R}$. a) Berechnen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$. b) Zeichnen Sie gedanklich die…
Gegeben ist die Funktionsschar $f_t(x) = x^2 - tx$ mit $t \in \mathbb{R}$.
- a) Berechnen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$.
- b) Zeichnen Sie gedanklich die Graphen für $t=1$ und $t=2$ und geben Sie jeweils den Scheitelpunkt an.
Gegeben ist $f_k(x) = x^3 - kx$. Für welche Werte von $k$ besitzt $f_k$ genau eine Nullstelle?
Gegeben ist $f_k(x) = x^3 - kx$.
Für welche Werte von $k$ besitzt $f_k$ genau eine Nullstelle?
Gegeben ist $f_t(x) = tx^2 - 4x$ mit $t \ne 0$. Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Ursprung gehen, und bestimmen Sie die Steigung im Ursprung. Gibt es…
Gegeben ist $f_t(x) = tx^2 - 4x$ mit $t \ne 0$.
Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Ursprung gehen, und bestimmen Sie die Steigung im Ursprung. Gibt es einen weiteren Punkt, durch den alle Graphen verlaufen? Begründen Sie.
Ableiten und Untersuchen mit Parameter
Beim Ableiten nach $x$ ist der Parameter eine Konstante. Die Regeln bleiben gleich:
$$f_a(x) = a x^3 - 3x \;\Rightarrow\; f_a'(x) = 3a x^2 - 3,\quad f_a''(x) = 6a x$$Der Faktor $a$ bleibt beim Ableiten stehen (Faktorregel). Ein alleinstehender Summand wie $-3a$ ohne $x$ fällt weg, genau wie jede andere Konstante.
Für Extrem- und Wendepunkte gilt der bekannte Ablauf:
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Notwendige Bedingung: $f_a'(x) = 0$, dann Vorzeichen von $f_a''(x)$ prüfen (hinreichend).
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Wendestelle: $f_a''(x)=0$ und $f_a'''(x)\neq 0$.
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Danach die $y$-Koordinate mit $f_a$ berechnen.
Welche Fälle es gibt, hängt oft vom Parameter ab. Eine Fallunterscheidung ist dann nötig.
Gegeben ist $f_a(x) = ax^3 - 3x$ mit $a > 0$. Berechnen Sie $f_a'(x)$ und bestimmen Sie die Steigung von $f_a$ an der Stelle $x=1$ in Abhängigkeit von $a$.
Gegeben ist $f_a(x) = ax^3 - 3x$ mit $a > 0$.
Berechnen Sie $f_a'(x)$ und bestimmen Sie die Steigung von $f_a$ an der Stelle $x=1$ in Abhängigkeit von $a$.
Ortskurven
Bei der Schar $f_a(x)=\tfrac13 x^3 - ax$ wandert der Tiefpunkt mit $a$. Der Punkt $T_a$ sitzt also auf einer Kurve. Diese Kurve heißt Ortskurve.
Gegeben ist $f_t(x) = x^2 - 2tx + 3$ mit $t \in \mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt $S_t$ in Abhängigkeit von $t$. b) Bestimmen Sie die Gleichung der…
Gegeben ist $f_t(x) = x^2 - 2tx + 3$ mit $t \in \mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt $S_t$ in Abhängigkeit von $t$.
- b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve aller Scheitelpunkte.
Gegeben ist $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$. a) Bestimmen Sie die Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte.
Gegeben ist $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$.
- a) Bestimmen Sie die Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$.
- b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte.
Wendepunkte, Flächen und Berührbedingungen
Jetzt kombinieren wir alles. Für die Ortskurve von Wendepunkten brauchen Sie dasselbe Verfahren wie bei Hoch- und Tiefpunkten, nur mit anderer Bedingung.
Die Wendepunkte laufen auf der Kurve $y=-2x^3$.
Fläche in Abhängigkeit vom Parameter
Das Integral wird mit der Stammfunktion berechnet. Die Grenzen enthalten den Parameter, das Ergebnis auch.
Bei symmetrischen Funktionen reicht eine Hälfte: Gilt $f_t(-x) = f_t(x)$, so ist die Fläche das Doppelte des Integrals über den positiven Teil.
Symmetrie von Funktionsscharen untersuchen
Sie ersetzen $x$ durch $-x$ und vergleichen mit dem ursprünglichen Term. Der Parameter bleibt dabei unverändert.
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Gilt $f_t(-x) = f_t(x)$ für alle $x$, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
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Gilt $f_t(-x) = -f_t(x)$ für alle $x$, ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wann berührt der Graph die x-Achse?
Der Graph berührt die $x$-Achse an der Stelle $x_0$, wenn dort eine doppelte Nullstelle liegt. Das heißt: $f_t(x_0)=0$ und $f_t'(x_0)=0$.
Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - 3tx^2$ mit $t > 0$. a) Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Wendepunkt in Abhängigkeit von $t$. b) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer…
Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - 3tx^2$ mit $t > 0$.
- a) Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Wendepunkt in Abhängigkeit von $t$.
- b) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Ortskurve liegen, und geben Sie deren Gleichung an.
- c) Bestimmen Sie $t$ so, dass die Wendetangente durch den Punkt $P(0|16)$ verläuft.
Gegeben ist $f_t(x) = -x^4 + 2tx^2$ mit $t > 0$. a) Untersuchen Sie $f_t$ auf Symmetrie, Nullstellen und Extrema. b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte. c)…
Gegeben ist $f_t(x) = -x^4 + 2tx^2$ mit $t > 0$.
- a) Untersuchen Sie $f_t$ auf Symmetrie, Nullstellen und Extrema.
- b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.
- c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_t$ mit der x-Achse einschließt, in Abhängigkeit von $t$.
Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - tx + 2$ mit $t \in \mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie, für welche $t$ die Funktion lokale Extrema besitzt. b) Zeigen Sie, dass alle Graphen der…
Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - tx + 2$ mit $t \in \mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie, für welche $t$ die Funktion lokale Extrema besitzt.
- b) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar den Punkt $(0|2)$ und den gleichen Wendepunkt besitzen.
- c) Für welche $t$ berührt der Graph die x-Achse? Begründen Sie.
Zurück zum Anfang: Ein einziger Term mit Parameter beschreibt alle Preismodelle des Fahrradverleihs. Genauso beschreibt die Ortskurve in einer einzigen Gleichung, wo besondere Punkte bei jedem Parameterwert liegen.
Auf einen Blick
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Eine Funktionsschar $f_t$ ist ein Funktionsterm mit Parameter. Beim Ableiten und Lösen ist $t$ eine Konstante.
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Nullstellen, Extrema und Wendepunkte werden mit den üblichen Verfahren bestimmt. Das Ergebnis hängt von $t$ ab, oft ist eine Fallunterscheidung nötig.
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Gemeinsame Punkte: Der Faktor vor $t$ muss null werden.
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Ortskurve: Koordinaten $x(t)$ und $y(t)$ aufstellen, $t$ aus der $x$-Gleichung bestimmen und in $y$ einsetzen. Ergebnis ist $y$ als Funktion von $x$.
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Berührung der $x$-Achse: $f_t(x_0)=0$ und $f_t'(x_0)=0$.
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Fläche: Integrationsgrenzen aus den Nullstellen in Abhängigkeit von $t$, danach Stammfunktion und Grenzen einsetzen.