Aufgaben: Kreuzprodukt

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (0, 4, 1)$. Berechnen Sie ihr Kreuzprodukt $\vec{u} \times \vec{v}$ mithilfe der Determinantenregel mit den Vektoren der Standardbasis $\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$.

Berechnen Sie einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{a} = (1, 1, 1)$ und $\vec{b} = (3, 0, 2)$ ist. Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie das Skalarprodukt des erhaltenen Vektors mit $\vec{a}$ bilden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den Vektoren $\vec{u} = (5, 0, 0)$ und $\vec{v} = (2, 3, 0)$ aufgespannt wird. Welchen Zusammenhang erkennen Sie zwischen diesem Ergebnis und dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Grundseite 5 und der Höhe 3 in der Ebene $XY$?

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten $A(1|0|2)$, $B(3|1|2)$ und $C(1|2|5)$ im Raum.

Überprüfen Sie, ob die Vektoren $\vec{u} = (1, -2, 4)$ und $\vec{v} = (-2, 4, -8)$ parallel sind, indem Sie ihr Kreuzprodukt berechnen. Erklären Sie, welche Bedingung das Ergebnis eines Kreuzprodukts erfüllen muss, damit zwei Vektoren dieselbe Richtung haben.

Gegeben sind die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen $\vec{i} = (1, 0, 0)$, $\vec{j} = (0, 1, 0)$ und $\vec{k} = (0, 0, 1)$. Berechnen Sie die folgenden Kreuzprodukte:

1. a) $\vec{i} \times \vec{j}$
2. b) $\vec{j} \times \vec{i}$

Begründen Sie anhand der Ergebnisse, ob das Kreuzprodukt kommutativ ist.

Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht zu der Ebene steht, die durch die Punkte $P(0|0|0)$, $Q(1|2|3)$ und $R(2|0|1)$ verläuft.

In der Physik ergibt sich das Drehmoment einer in einem Punkt angreifenden Kraft $\vec{F}$ bezüglich eines Ursprungs aus dem Kreuzprodukt $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, wobei $\vec{r}$ der Ortsvektor des Angriffspunkts ist. Berechnen Sie das Drehmoment einer Kraft $\vec{F} = (0, 10, 0)$ Newton, die im Punkt mit den Koordinaten $\vec{r} = (3, 0, 0)$ Meter angreift. Die Abbildung zeigt eine Skizze (nicht maßstabsgetreu) von $\vec{r}$ und $\vec{F}$.

Lea soll die Koordinaten eines Vektors bestimmen, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{u} = (2, -1, 3)$ und $\vec{v} = (1, 4, -2)$ ist. Dazu stellt sie die Determinante mit den Vektoren der Standardbasis auf und schreibt in ihre Klausur:

Nach dem Ausrechnen folgert sie, dass der gesuchte Vektor $\vec{w} = (-10, -7, 9)$ ist.

1. a) Zeigen Sie mithilfe des Skalarprodukts, ohne das Kreuzprodukt erneut vollständig zu berechnen, dass der von Lea erhaltene Vektor $\vec{w}$ nicht senkrecht zu $\vec{u}$ ist.
2. b) Finden Sie den begrifflichen oder rechnerischen Fehler, den Lea bei der Entwicklung der Determinante gemacht hat, und erklären Sie ihn genau.
3. c) Korrigieren Sie die Rechnung und geben Sie die richtigen Koordinaten des Vektors $\vec{u} \times \vec{v}$ an.

Im dreidimensionalen Raum sind die Eckpunkte eines Dreiecks gegeben: $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $C(2|5|1)$ (Koordinaten in Metern).

1. a) Betrachten Sie vor jeder Berechnung einer Determinante oder eines Kreuzprodukts die geometrische Lage der Punkte: Die Seite $AB$ liegt auf der $X$-Achse und der Eckpunkt $C$ liegt bei $y = 5$ mit einer kleinen Höhenkoordinate ($z = 1$). Schätzen Sie ausgehend vom Flächeninhalt der Projektion des Dreiecks auf die waagerechte Ebene $XY$ den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ im Raum begründet ab und geben Sie an, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen sein Wert liegen muss.
2. b) Berechnen Sie den exakten Flächeninhalt des Dreiecks über den Betrag des Kreuzprodukts $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
3. c) Vergleichen Sie den exakten Wert mit Ihrer vorherigen Schätzung und begründen Sie, warum der tatsächliche Flächeninhalt im Raum etwas größer ist als der des auf die waagerechte Ebene projizierten Dreiecks.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, -2, 3)$ und $\vec{v} = (0, 1, 4)$. Berechnen Sie die Koordinaten eines Vektors $\vec{w}$, der gleichzeitig senkrecht zu $\vec{u}$ und zu $\vec{v}$ ist und den Betrag $\sqrt{130}$ Einheiten hat. Wie viele mögliche Lösungen gibt es für diesen Vektor?

Ein Vermessungsteam misst ein dreieckiges Grundstück in unebenem Gelände. Die Eckpunkte des Dreiecks, bezogen auf ein kartesisches Koordinatensystem in Metern, sind $A(1|0|2)$, $B(3|4|0)$ und $C(5|1|-3)$. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Grundstücks mithilfe des Kreuzprodukts.

Bestimmen Sie den Wert des reellen Parameters $k$ so, dass der Flächeninhalt des von den Vektoren $\vec{a} = (k, 1, 2)$ und $\vec{b} = (1, k, 0)$ aufgespannten Parallelogramms genau $\sqrt{21}$ Flächeneinheiten beträgt.

Beim Entwurf eines Industrieteils muss die Richtung der Geraden $r$ bekannt sein, die als Schnitt zweier Ebenen mit den Normalenvektoren $\vec{n}_1 = (2, -1, 5)$ und $\vec{n}_2 = (1, 3, -2)$ entsteht. Der Richtungsvektor der Geraden ist senkrecht zu beiden Normalenvektoren. Bestimmen Sie ihn mithilfe des Kreuzprodukts.

Beweisen Sie mithilfe der Eigenschaften des Kreuzprodukts, dass für jedes Paar von Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ im Raum die folgende Gleichung gilt:

Überprüfen Sie anschließend das Ergebnis für die Vektoren $\vec{u} = (1, 0, -1)$ und $\vec{v} = (2, 3, 1)$.

Ein Umweltingenieur berechnet die Effizienz eines ebenen Solarpanels. Das Panel wird durch die Punkte $P(1|1|1)$, $Q(2|3|1)$ und $R(1|2|4)$ festgelegt. Um die Energieausbeute zu maximieren, benötigt er den Einheitsnormalenvektor der Panelfläche. Bestimmen Sie diesen Vektor.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{a} = (2, -1, 0)$ und $\vec{b} = (1, 2, -2)$. Bestimmen Sie einen dritten Vektor $\vec{c}$ so, dass die Menge $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ eine Orthogonalbasis des Raumes bildet (d. h., die Vektoren sind paarweise senkrecht zueinander).

In einem Physikexperiment bewegt sich ein geladenes Teilchen in einem Magnetfeld. Das Drehmoment $\vec{M}$ bezüglich des Ursprungs ergibt sich aus dem Kreuzprodukt $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$, wobei $\vec{r}$ der Ortsvektor des Angriffspunkts und $\vec{F}$ die angreifende Kraft ist. Es sei $\vec{r} = (2, -3, 1)$ Meter und die Kraft $\vec{F} = (4, 1, 2)$ Newton (die Abbildung ist eine Skizze der Situation):

1. a) Berechnen Sie den Drehmomentvektor $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$.

1. b) Berechnen Sie seinen Betrag $|\vec{M}|$ und geben Sie seine physikalische Einheit an (N·m).

Im Schulhof eines Gymnasiums in Dortmund soll ein dreieckiges Sonnensegel installiert werden, um einen Schattenbereich gegen die hohen Temperaturen zu schaffen. Die Plane wird an drei Haltepunkten befestigt, die an den umliegenden Mauern angebracht sind. Ihre Raumkoordinaten bezogen auf den waagerechten Boden (Ebene $XY$, in Metern) sind $A(0|0|3)$, $B(4|0|4)$ und $C(0|6|5)$.

1. a) Modellieren Sie die gespannte Fläche als Dreieck mit den Eckpunkten $A$, $B$ und $C$ und berechnen Sie mithilfe des Kreuzprodukts ihren exakten Flächeninhalt (in $\text{m}^2$).
2. b) Damit sich bei starkem Regen kein Wasser ansammelt, muss die Neigung der Plane kontrolliert werden. Bestimmen Sie einen Vektor, der senkrecht zur Fläche des Sonnensegels steht, und berechnen Sie den Winkel, den er mit der Senkrechten $\vec{k} = (0, 0, 1)$ bildet. Leiten Sie daraus die Neigung des Sonnensegels gegenüber der waagerechten Bodenebene ab.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, 2, 2)$ und $\vec{w} = (-6, 6, -3)$. Gesucht ist ein unbekannter Vektor $\vec{v}$ mit $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$.

1. a) Erklären Sie, warum $\vec{u} \cdot \vec{w} = 0$ eine zwingende geometrische Bedingung für die Existenz einer Lösung ist, und prüfen Sie rechnerisch, ob diese Bedingung hier erfüllt ist.
2. b) Beweisen Sie formal, dass die Lösung dieser Vektorgleichung niemals eindeutig ist: Zeigen Sie, dass für eine spezielle Lösung $\vec{v}_0$ jeder Vektor der Form $\vec{v} = \vec{v}_0 + \lambda\vec{u}$ (mit $\lambda \in \mathbb{R}$) ebenfalls die Gleichung $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ erfüllt.
3. c) Wenn man zusätzlich fordert, dass $\vec{v}$ streng senkrecht zu $\vec{u}$ ist, stellen Sie die entsprechenden Gleichungen auf und bestimmen Sie die Koordinaten des einzigen Vektors $\vec{v}$, der gleichzeitig $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{w}$ und $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ erfüllt.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (1, -1, 2)$ und $\vec{v} = (3, 1, -1)$. Gesucht ist ein Vektor $\vec{w}$, der gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Er ist senkrecht zu den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$.

2. Sein Betrag ist genau $\sqrt{750}$.

3. Seine Komponente in Richtung der $Z$-Achse (Höhe) ist eine negative Zahl.

Betrachten Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten $A(k|0|1)$, $B(1|2|1)$ und $C(0|-1|k)$, wobei $k$ ein reeller Parameter ist.

1. a) Bestimmen Sie den Term für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $k$.
2. b) Bestimmen Sie die Werte von $k$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks genau $\frac{3\sqrt{6}}{2}$ Flächeneinheiten beträgt.

Es soll ein metallisches Konstruktionsteil in Form eines Parallelogramms entworfen werden. Die Seiten sind durch die Vektoren $\vec{a} = (2, m, 1)$ und $\vec{b} = (1, 2, 2)$ festgelegt.

1. a) Berechnen Sie den Wert des Parameters $m$, wenn der Flächeninhalt dieses Teils $\sqrt{26}$ Flächeneinheiten beträgt.
2. b) Sind für die gefundenen Werte von $m$ die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ senkrecht zueinander? Begründen Sie Ihre Antwort, ohne das Skalarprodukt zu berechnen.

In einer Robotik-Studie übt der Arm eines Roboters eine Kraft $\vec{F} = (2, -3, 1)$ Newton auf eine Schraube im Punkt $P(1|1|4)$ aus. Das Drehmoment einer Kraft bezüglich eines Punktes $O$ ist als Kreuzprodukt $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ definiert, wobei $\vec{r}$ der Ortsvektor des Angriffspunkts der Kraft bezüglich des Drehpunkts ist.

Der Drehpunkt liegt im Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. Berechnen Sie:

1. a) den Drehmomentvektor $\vec{M}$.
2. b) den Flächeninhalt des Dreiecks, das von den Vektoren $\vec{r}$ und $\vec{F}$ aufgespannt wird.

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, 1, -1)$ und $\vec{v} = (1, 0, 3)$. Bestimmen Sie alle Vektoren $\vec{x}$, die gleichzeitig die folgenden Gleichungen erfüllen:

1. $\vec{x} \times \vec{u} = \vec{u} \times \vec{v}$

2. $\vec{x} \cdot \vec{v} = 0$

(Hinweis: Verwenden Sie die Distributivität des Kreuzprodukts und die Linearitätsbedingung.)

Sei $V$ das Volumen des Spats (Parallelepipeds), das von den Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ aufgespannt wird.

Es seien $\vec{a} = (1, 1, 0)$, $\vec{b} = (0, 2, 1)$ und $\vec{c} = (m, 0, 1)$:

1. a) Bestimmen Sie die Werte von $m$, für die das Volumen 4 Volumeneinheiten beträgt.
2. b) Berechnen Sie für jeden dieser Werte von $m$ den Flächeninhalt der Seitenfläche des Spats, die von den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ aufgespannt wird, und bestimmen Sie damit die Höhe des Spats bezüglich dieser Grundfläche.

Beweisen Sie analytisch die Lagrange-Identität für die Vektoren $\vec{u} = (x, 1, 0)$ und $\vec{v} = (0, y, 1)$, indem Sie zeigen, dass gilt:

Verwenden Sie anschließend diese Identität, um den Flächeninhalt des von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannten Parallelogramms zu bestimmen, wenn $|\vec{u}| = 2$, $|\vec{v}| = 3$ gilt und ihr Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{8}$ ist.

Ein viereckiges Solarpanel hat seine Eckpunkte in den Punkten $P(1|0|0)$, $Q(3|2|1)$, $R(2|5|3)$ und $S(0|3|2)$.

1. a) Überprüfen Sie, ob die vier Punkte komplanar sind (in derselben Ebene liegen).
2. b) Falls sie komplanar sind, berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt des Solarpanels, indem Sie es in zwei Dreiecke zerlegen und das Kreuzprodukt verwenden.

Es soll der Abstand des Punktes $P(3, 1, -2)$ von der Geraden $r$ berechnet werden, die durch den Punkt $A(1, 0, 1)$ verläuft und den Richtungsvektor $\vec{d} = (1, 2, -1)$ hat. Zwei Schüler schlagen unterschiedliche Strategien vor:

• Albas Methode (vektoriell): Sie deutet den Vektor $\vec{AP}$ und den Richtungsvektor $\vec{d}$ als Vektoren, die ein Parallelogramm im Raum aufspannen, dessen Grundseite $|\vec{d}|$ ist und dessen Höhe der gesuchte Abstand ist, und wendet daher die Formel $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$ an.

• Brunos Methode (analytisch): Er bestimmt die allgemeine Gleichung der Ebene $\pi$, die senkrecht zur Geraden $r$ ist und durch $P$ verläuft, berechnet den Schnittpunkt $M$ der Geraden $r$ mit der Ebene $\pi$ (Orthogonalprojektion von $P$ auf $r$) und erhält den Abstand durch Berechnung des Betrags $|\vec{PM}|$.

1. a) Begründen Sie ausführlich mit geometrischen Argumenten, warum die in Albas Methode verwendete Formel den kürzesten Abstand von $P$ zur Geraden $r$ exakt liefert.
2. b) Führen Sie beide Methoden Schritt für Schritt durch und prüfen Sie, dass sie genau zum selben Zahlenwert führen.
3. c) Vergleichen Sie beide Wege kritisch: Welcher ist direkter und mit geringerem Risiko für Rechenfehler, wenn nur der Zahlenwert des Abstands verlangt ist? Bei welcher späteren geometrischen Aufgabe wäre es unerlässlich, den Punkt $M$ mit Brunos Methode bestimmt zu haben, statt sich auf Albas Rechnung zu beschränken?

Drei Vektoren $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$ ungleich dem Nullvektor erfüllen gleichzeitig die folgenden beiden Vektorgleichungen:

1. a) Beweisen Sie streng unter Rückgriff auf die Definition und die geometrischen Eigenschaften des Kreuzprodukts, dass die drei Vektoren $\vec{u}$, $\vec{v}$ und $\vec{w}$ paarweise senkrecht zueinander sind.
2. b) Zeigen Sie mithilfe der Formel für den Betrag $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin\theta$, dass der Betrag des Vektors $\vec{v}$ durch diese beiden Bedingungen eindeutig bestimmt ist, und berechnen Sie seinen exakten Wert.
3. c) Leiten Sie die mathematische Beziehung zwischen den Beträgen $|\vec{u}|$ und $|\vec{w}|$ her.
4. d) Konstruieren Sie ein konkretes Zahlenbeispiel, indem Sie einfache Koordinaten für $\vec{u}$ und $\vec{v}$ angeben, die die Bedingungen der Aufgabe erfüllen, berechnen Sie den resultierenden Vektor $\vec{w}$ und prüfen Sie, dass beide Vektorgleichungen exakt erfüllt sind.