Schnittpunkt Gerade–Ebene und Schnittgerade
Eine Drohne fliegt geradlinig auf eine Dachfläche zu. Die Flugbahn ist eine Gerade, die Dachfläche liegt in einer Ebene. Wo genau berührt die Drohne das Dach, und trifft sie es überhaupt? Beides lässt sich mit einer einzigen Gleichung beantworten. Außerdem klären wir, wo zwei Ebenen, etwa zwei Dachflächen eines Satteldachs, einander schneiden.
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
Ein Punkt $S$ liegt auf der Geraden $g$ und auf der Ebene $E$, wenn seine Koordinaten beide Gleichungen erfüllen. Die Geradengleichung liefert die Koordinaten in Abhängigkeit vom Parameter. Die Koordinatenform von $E$ prüft, ob der Punkt in der Ebene liegt. Also setzen Sie die Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform ein.
Die Gleichung hat nur die eine Unbekannte $t$. Deshalb gibt es höchstens einen Schnittpunkt, wenn die Gerade nicht in der Ebene liegt.
Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und die Ebene $E: x + y + z = 6$. Berechnen Sie den…
Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und die Ebene $E: x + y + z = 6$.
Berechnen Sie den Schnittpunkt von $g$ und $E$.
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden durch $A(1|1|1)$ und $B(3|2|0)$ mit der Ebene $E: 2x - y + z = 4$.
Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden durch $A(1|1|1)$ und $B(3|2|0)$ mit der Ebene $E: 2x - y + z = 4$.
Eine Drohne startet im Punkt $P(0|0|0)$ und fliegt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ (Angaben in m). Ein Hang wird durch die Ebene…
Eine Drohne startet im Punkt $P(0|0|0)$ und fliegt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ (Angaben in m). Ein Hang wird durch die Ebene $E: x - 2y + 4z = 20$ beschrieben.
- a) Zeigen Sie, dass die Flugbahn die Ebene schneidet, und berechnen Sie den Auftreffpunkt.
- b) Berechnen Sie die Länge des Flugwegs bis zum Auftreffpunkt.
Lage von Gerade und Ebene
Nicht jede Gerade durchstößt jede Ebene. Es gibt drei Möglichkeiten.
Im Rechenweg erkennen Sie die Lage am Ergebnis der Gleichung für $t$. Nach dem Einsetzen erhalten Sie eine Gleichung der Form $c\cdot t=e$.
| Ergebnis | Bedeutung |
|---|---|
| $c\neq0$ | genau ein Schnittpunkt, $t=\frac{e}{c}$ |
| $c=0$ und $e\neq0$ | falsche Aussage, also kein gemeinsamer Punkt: $g\parallel E$, $g$ liegt nicht in $E$ |
| $c=0$ und $e=0$ | wahre Aussage für jedes $t$: $g$ liegt in $E$ |
Warum? Der Fall $c=0$ bedeutet $\vec{u}\circ\vec{n}=0$. Der Richtungsvektor steht senkrecht auf dem Normalenvektor, die Gerade verläuft also parallel zur Ebene. Dann liegt sie entweder ganz in $E$ oder berührt sie nie.
Gegeben sind die Ebene $E: 2x + y - z = 3$ und die Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind die Ebene $E: 2x + y - z = 3$ und die Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Untersuchen Sie die Lage von $g$ und $h$ jeweils zu $E$.
Schnittgerade zweier Ebenen
Zwei Ebenen, die nicht parallel sind, schneiden sich in einer Geraden. Ein Punkt der Schnittgeraden erfüllt beide Koordinatengleichungen. Das ist ein LGS mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es hat unendlich viele Lösungen, die auf einer Geraden liegen.
Ob ein Punkt $P$ auf der Schnittgeraden liegt, prüfen Sie ganz einfach: Setzen Sie $P$ in beide Ebenengleichungen ein. Ein Punkt der Schnittgeraden erfüllt beide.
Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen $E_1: x + y + z = 3$ und $E_2: x - y = 1$.
Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen $E_1: x + y + z = 3$ und $E_2: x - y = 1$.
Gegeben sind $E_1: 2x - y + z = 4$ und $E_2: x + y - z = 2$. a) Bestimmen Sie die Schnittgerade in Parameterform. b) Prüfen Sie, ob $P(2|0|0)$ auf der Schnittgeraden…
Gegeben sind $E_1: 2x - y + z = 4$ und $E_2: x + y - z = 2$.
- a) Bestimmen Sie die Schnittgerade in Parameterform.
- b) Prüfen Sie, ob $P(2|0|0)$ auf der Schnittgeraden liegt.
Mit Parametern arbeiten
Kommt in Gerade oder Ebene ein Parameter $a$ vor, ändert sich das Vorgehen nicht. Sie setzen ein und erhalten eine Gleichung der Form $c(a)\cdot t=e(a)$. Danach unterscheiden Sie die Fälle.
Auch bei drei Ebenen hilft die Schnittgerade zweier Ebenen. Berechnen Sie zuerst die Schnittgerade von $E_1$ und $E_2$ und setzen Sie sie dann in die Gleichung von $E_3$ ein. Das ergibt wieder $c\cdot t=e$, und Sie unterscheiden die Fälle der Tabelle aus dem vorigen Abschnitt:
-
Gerade liegt in $E_3$,
-
Gerade ist parallel zu $E_3$,
-
genau ein gemeinsamer Punkt.
Gegeben sind die Ebene $E_a: x + ay + z = 2$ und die Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\a\end{pmatrix}$ mit $a\in\mathbb{R}$.…
Gegeben sind die Ebene $E_a: x + ay + z = 2$ und die Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\a\end{pmatrix}$ mit $a\in\mathbb{R}$.
Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von $g$ und $E_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
Gegeben sind die Ebenen $E_1: x+y+z=1$, $E_2: x-y+2z=0$ und $E_3: 2x+az=b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$. Bestimmen Sie die Schnittgerade von $E_1$ und $E_2$ und untersuchen…
Gegeben sind die Ebenen $E_1: x+y+z=1$, $E_2: x-y+2z=0$ und $E_3: 2x+az=b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$.
Bestimmen Sie die Schnittgerade von $E_1$ und $E_2$ und untersuchen Sie, für welche $a,b$ die Ebene $E_3$ diese Gerade enthält, ihr parallel ist oder sie in genau einem Punkt schneidet.
Liegt der Schnittpunkt im Dreieck?
Oft ist die Ebene durch drei Punkte $A$, $B$, $C$ gegeben. Dann fragt man, ob die Gerade das Dreieck $ABC$ durchstößt und nicht nur die unendlich ausgedehnte Ebene. Den Schnittpunkt $D$ berechnen Sie wie oben mit der Koordinatenform der Ebene $ABC$. Danach schreiben Sie
$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$$und bestimmen $r$ und $s$ aus einem LGS.
Gegeben sind $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Gerade $g$ durch $S(1|1|1)$ und $T(3|2|3)$. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $ABC$. b)…
Gegeben sind $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Gerade $g$ durch $S(1|1|1)$ und $T(3|2|3)$.
- a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $ABC$.
- b) Berechnen Sie den Schnittpunkt $D$ von $g$ mit der Ebene.
- c) Entscheiden Sie, ob $D$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ liegt, und begründen Sie.
Auf einen Blick
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Schnittpunkt Gerade–Ebene: Koordinaten der Geraden in die Koordinatenform einsetzen, nach $t$ auflösen, $t$ in die Geradengleichung einsetzen.
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Lage: Die Gleichung $c\cdot t=e$ entscheidet. Bei $c\neq0$ gibt es genau einen Schnittpunkt. Bei $c=0$ und $e\neq0$ ist die Gerade echt parallel. Bei $0=0$ liegt sie in der Ebene.
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Schnittgerade zweier Ebenen: LGS mit zwei Gleichungen lösen, eine Variable als Parameter wählen, die anderen durch ihn ausdrücken. Immer mit der Probe in beiden Gleichungen überprüfen.
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Parameter in der Aufgabe: Fälle nach dem Koeffizienten von $t$ unterscheiden.
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Punkt im Dreieck: $D=A+r\overrightarrow{AB}+s\overrightarrow{AC}$ und $r\geq0$, $s\geq0$, $r+s\leq1$.
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Vom Anfang: Die Drohne trifft die Dachfläche dort, wo das $t$ aus der Gleichung $c\cdot t=e$ in die Geradengleichung eingesetzt den Auftreffpunkt liefert. Ist $\vec{u}\circ\vec{n}=0$, verläuft die Flugbahn parallel zum Dach oder liegt in ihm; in genau einem Punkt trifft sie es dann nicht.