Aufgaben: Funktionsscharen und Ortskurven

Gegeben ist die Funktionsschar $f_t(x) = x^2 - tx$ mit $t \in \mathbb{R}$.

1. a) Berechnen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von $t$.

1. b) Zeichnen Sie gedanklich die Graphen für $t=1$ und $t=2$ und geben Sie jeweils den Scheitelpunkt an.

Gegeben ist $f_a(x) = ax^3 - 3x$ mit $a > 0$.

Berechnen Sie $f_a'(x)$ und bestimmen Sie die Steigung von $f_a$ an der Stelle $x=1$ in Abhängigkeit von $a$.

Gegeben ist $f_k(x) = x^3 - kx$.

Für welche Werte von $k$ besitzt $f_k$ genau eine Nullstelle?

Gegeben ist $f_t(x) = x^2 - 2tx + 3$ mit $t \in \mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie den Scheitelpunkt $S_t$ in Abhängigkeit von $t$.

1. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve aller Scheitelpunkte.

Gegeben ist $f_a(x) = x^3 - 3ax$ mit $a > 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Extrempunkte in Abhängigkeit von $a$.

1. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Ortskurve der Tiefpunkte.

Gegeben ist $f_t(x) = tx^2 - 4x$ mit $t \ne 0$.

Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar durch den Ursprung gehen, und bestimmen Sie die Steigung im Ursprung. Gibt es einen weiteren Punkt, durch den alle Graphen verlaufen? Begründen Sie.

Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - 3tx^2$ mit $t > 0$.

1. a) Bestimmen Sie Hoch-, Tief- und Wendepunkt in Abhängigkeit von $t$.

1. b) Zeigen Sie, dass alle Wendepunkte auf einer Ortskurve liegen, und geben Sie deren Gleichung an.

1. c) Bestimmen Sie $t$ so, dass die Wendetangente durch den Punkt $P(0|16)$ verläuft.

Gegeben ist $f_t(x) = -x^4 + 2tx^2$ mit $t > 0$.

1. a) Untersuchen Sie $f_t$ auf Symmetrie, Nullstellen und Extrema.

1. b) Bestimmen Sie die Ortskurve der Hochpunkte.

1. c) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_t$ mit der x-Achse einschließt, in Abhängigkeit von $t$.

Gegeben ist $f_t(x) = x^3 - tx + 2$ mit $t \in \mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie, für welche $t$ die Funktion lokale Extrema besitzt.

1. b) Zeigen Sie, dass alle Graphen der Schar den Punkt $(0|2)$ und den gleichen Wendepunkt besitzen.

1. c) Für welche $t$ berührt der Graph die x-Achse? Begründen Sie.