Aufgaben: Uneigentliche Integrale
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ in Abhängigkeit von $b>1$ und bestimmen Sie den Grenzwert für $b\to\infty$.
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x^2}\,dx$ in Abhängigkeit von $b>1$ und bestimmen Sie den Grenzwert für $b\to\infty$.
Berechnen Sie $\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_1^\infty \frac{1}{x^3}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx$ für $b>1$ und untersuchen Sie das Verhalten für $b\to\infty$. Die Stammfunktion $\ln x$ darf verwendet werden.
Berechnen Sie $\int_1^b \frac{1}{x}\,dx$ für $b>1$ und untersuchen Sie das Verhalten für $b\to\infty$. Die Stammfunktion $\ln x$ darf verwendet werden.
Berechnen Sie $\int_2^\infty \frac{3}{x^2}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_2^\infty \frac{3}{x^2}\,dx$.
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ begrenzt für $x\ge 1$ mit der x-Achse eine nach rechts unbegrenzte Fläche. a) Zeigen Sie, dass die Fläche einen endlichen Inhalt hat.…
Die Funktion $f(x)=\frac{1}{x^2}$ begrenzt für $x\ge 1$ mit der x-Achse eine nach rechts unbegrenzte Fläche.
- a) Zeigen Sie, dass die Fläche einen endlichen Inhalt hat.
- b) Berechnen Sie den Inhalt.
Berechnen Sie $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ als Grenzwert $\lim_{a\to0^+}\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.
Berechnen Sie $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ als Grenzwert $\lim_{a\to0^+}\int_a^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$.
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $p>0$, für welche $p$ das Integral $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergiert, und berechnen Sie dann den Wert.
Untersuchen Sie in Abhängigkeit von $p>0$, für welche $p$ das Integral $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ konvergiert, und berechnen Sie dann den Wert.
Die Fläche unter $f(x)=\frac{1}{x}$ für $x\ge1$ rotiert um die x-Achse. a) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper ein endliches Volumen hat, und berechnen Sie es. b)…
Die Fläche unter $f(x)=\frac{1}{x}$ für $x\ge1$ rotiert um die x-Achse.
- a) Zeigen Sie, dass der Rotationskörper ein endliches Volumen hat, und berechnen Sie es.
- b) Begründen Sie, dass die Fläche selbst keinen endlichen Inhalt hat.
Bestimmen Sie $c>1$ so, dass $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{9}{10}$ gilt. Bestimmen Sie dann, wie groß der Anteil des Flächeninhalts $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx$ am…
Bestimmen Sie $c>1$ so, dass $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx = \frac{9}{10}$ gilt. Bestimmen Sie dann, wie groß der Anteil des Flächeninhalts $\int_1^c \frac{1}{x^2}\,dx$ am Inhalt $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ ist, und interpretieren Sie das Ergebnis.