Aufgaben: Schnittpunkt Gerade–Ebene und Schnittgerade

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und die Ebene $E: x + y + z = 6$.

Berechnen Sie den Schnittpunkt von $g$ und $E$.

Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden durch $A(1|1|1)$ und $B(3|2|0)$ mit der Ebene $E: 2x - y + z = 4$.

Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen $E_1: x + y + z = 3$ und $E_2: x - y = 1$.

Eine Drohne startet im Punkt $P(0|0|0)$ und fliegt in Richtung $\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ (Angaben in m). Ein Hang wird durch die Ebene $E: x - 2y + 4z = 20$ beschrieben.

1. a) Zeigen Sie, dass die Flugbahn die Ebene schneidet, und berechnen Sie den Auftreffpunkt.

1. b) Berechnen Sie die Länge des Flugwegs bis zum Auftreffpunkt.

Gegeben sind $E_1: 2x - y + z = 4$ und $E_2: x + y - z = 2$.

1. a) Bestimmen Sie die Schnittgerade in Parameterform.

1. b) Prüfen Sie, ob $P(2|0|0)$ auf der Schnittgeraden liegt.

Gegeben sind die Ebene $E: 2x + y - z = 3$ und die Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\-3\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.

Untersuchen Sie die Lage von $g$ und $h$ jeweils zu $E$.

Gegeben sind die Ebene $E_a: x + ay + z = 2$ und die Gerade $g: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\a\end{pmatrix}$ mit $a\in\mathbb{R}$.

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von $g$ und $E_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.

Gegeben sind die Ebenen $E_1: x+y+z=1$, $E_2: x-y+2z=0$ und $E_3: 2x+az=b$ mit $a,b\in\mathbb{R}$.

Bestimmen Sie die Schnittgerade von $E_1$ und $E_2$ und untersuchen Sie, für welche $a,b$ die Ebene $E_3$ diese Gerade enthält, ihr parallel ist oder sie in genau einem Punkt schneidet.

Gegeben sind $A(2|0|0)$, $B(0|4|0)$, $C(0|0|4)$ und die Gerade $g$ durch $S(1|1|1)$ und $T(3|2|3)$.

1. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene $ABC$.

1. b) Berechnen Sie den Schnittpunkt $D$ von $g$ mit der Ebene.

1. c) Entscheiden Sie, ob $D$ innerhalb des Dreiecks $ABC$ liegt, und begründen Sie.