Aufgaben: Parallelogramm und Dreieck in Parameterform

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|1|0)$ und $C(1|2|1)$.

Geben Sie die Ebene durch $A$, $B$, $C$ in Parameterform an.

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(4|0|0)$ und $D(1|3|0)$. Das Viereck $ABCD$ ist ein Parallelogramm.

Berechnen Sie den Punkt $C$.

Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

Prüfen Sie, ob $P(3|2|3)$ in $E$ liegt.

Gegeben sind $A(1|2|0)$, $B(4|2|1)$, $C(5|5|3)$.

1. a) Bestimmen Sie $D$ so, dass $ABCD$ ein Parallelogramm ist.

1. b) Stellen Sie die Parameterform der Ebene auf, in der das Parallelogramm liegt, mit Einschränkung der Parameter für die Parallelogrammfläche.

Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $A(0|0|0)$, $B(6|0|0)$, $C(0|6|6)$.

1. a) Geben Sie die Parameterform der Ebene an, in der das Dreieck liegt, und beschreiben Sie, welche Parameterwerte $r,s$ die Punkte des Dreiecks liefern.

1. b) Berechnen Sie den Schwerpunkt des Dreiecks.

Ein Dach in Köln hat die Eckpunkte $A(0|0|3)$, $B(8|0|3)$, $C(8|6|6)$ und $D(0|6|6)$ (Maße in m).

1. a) Zeigen Sie, dass $ABCD$ ein Rechteck ist.

1. b) Geben Sie die Ebene des Dachs in Parameterform und in Koordinatenform an.

Gegeben sind $A(1|0|0)$, $B(3|2|0)$ und $C(2|3|1)$.

1. a) Bestimmen Sie alle Punkte $D$, sodass $A$, $B$, $C$, $D$ ein Parallelogramm bilden (es gibt drei Möglichkeiten).

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

Gegeben sind $A(0|0|0)$, $B(2|1|0)$ und die Ebene $E:\vec{x}=r\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.

1. a) Bestimmen Sie einen Punkt $C$ in $E$, sodass $ABC$ ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis $AB$ ist und $C$ den Abstand $3$ von der Geraden $AB$ hat.

1. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von $ABC$.

Die Punkte $A(1|1|0)$, $B(5|1|0)$, $C(5|4|0)$ und $D(1|4|0)$ bilden die Grundfläche einer Pyramide mit Spitze $S(3|2{,}5|h)$.

1. a) Zeigen Sie, dass die Grundfläche ein Rechteck ist und die Spitze über dem Diagonalenschnittpunkt liegt.

1. b) Bestimmen Sie $h$ so, dass das Volumen der Pyramide $36\ \text{VE}$ beträgt.

1. c) Geben Sie die Seitenfläche $ABS$ in Parameterform an.