Proportional, antiproportional oder keines von beiden
Beim Bäcker in Köln kosten drei Brötchen 1,35 €. Wie viel kosten sechs? Ganz klar: das Doppelte. Aber wenn drei Personen eine Wohnung streichen und dabei 12 Stunden brauchen, brauchen sechs Personen nicht 24 Stunden, sondern weniger. Und wie viel größer ist ein Kind mit 12 Jahren als mit 6 Jahren? Doppelt so groß ganz sicher nicht. Drei Situationen, drei verschiedene Arten von Zuordnungen. Wie erkennst du sie sicher? Das klärst du auf dieser Seite.
Proportional: doppelt – doppelt
Eine Zuordnung $x \mapsto y$ ist proportional, wenn gilt: Verdoppelst du $x$, verdoppelt sich auch $y$. Halbierst du $x$, halbiert sich auch $y$.
Warum? Wenn $y$ immer das $k$-Fache von $x$ ist, dann ist auch $2y$ das $k$-Fache von $2x$. Genau das bedeutet „doppelt – doppelt“.
Entscheide, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist: a) Anzahl Brötchen $\to$ Preis (alle Brötchen kosten $0,45$ €) b) Anzahl Arbeiter…
Entscheide, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist:
- a) Anzahl Brötchen $\to$ Preis (alle Brötchen kosten $0,45$ €)
- b) Anzahl Arbeiter $\to$ Zeit für denselben Auftrag (alle arbeiten gleich schnell)
- c) Alter eines Kindes $\to$ Körpergröße
Prüfe an der Tabelle, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist: a) $x$: 1; 2; 4; 8 und $y$: 12; 6; 3; 1,5 b) $x$: 1; 2; 3; 4 und $y$:…
Prüfe an der Tabelle, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist:
- a) $x$: 1; 2; 4; 8 und $y$: 12; 6; 3; 1,5
- b) $x$: 1; 2; 3; 4 und $y$: 5; 10; 15; 20
- c) $x$: 1; 2; 3; 4 und $y$: 3; 5; 7; 9
Antiproportional: doppelt – halb
Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist es umgekehrt: Verdoppelst du $x$, halbiert sich $y$. Verdreifachst du $x$, wird $y$ ein Drittel.
Warum? Wenn das Produkt $x \cdot y$ immer gleich bleibt und $x$ doppelt so groß wird, muss $y$ halb so groß werden.
Für eine Klassenfahrt nach Trier mieten die Schüler einen Bus für $600$ € Gesamtkosten, die gleichmäßig auf alle Teilnehmer verteilt werden. a) Stelle die Zuordnung…
Für eine Klassenfahrt nach Trier mieten die Schüler einen Bus für $600$ € Gesamtkosten, die gleichmäßig auf alle Teilnehmer verteilt werden.
- a) Stelle die Zuordnung Teilnehmerzahl $\to$ Preis pro Person als Term auf.
- b) Berechne den Preis pro Person bei $20$, $24$ und $30$ Teilnehmern.
- c) Begründe, warum die Zuordnung antiproportional ist.
Eine Tabelle gibt Messwerte an: $x$: 2; 4; 6; 8 und $y$: 9; 4,5; 3; 2,25. a) Zeige, dass die Zuordnung antiproportional ist, und gib die Funktionsgleichung an. b) Ändere…
Eine Tabelle gibt Messwerte an: $x$: 2; 4; 6; 8 und $y$: 9; 4,5; 3; 2,25.
- a) Zeige, dass die Zuordnung antiproportional ist, und gib die Funktionsgleichung an.
- b) Ändere einen Wert der Tabelle so, dass die Zuordnung nicht mehr antiproportional ist, und begründe.
- c) Skizziere (beschreibe in Worten) den Graphen und gib an, wie er sich verändert, wenn das Produkt $x\cdot y$ verdoppelt wird.
Keines von beiden
Viele Zuordnungen sind weder proportional noch antiproportional. Du erkennst das, wenn weder die Quotienten noch die Produkte gleich sind.
Quadrat: Die Seitenlänge $a$ und der Umfang $u = 4a$ sind proportional. Seitenlänge und Flächeninhalt $A = a^2$ sind es nicht: Verdoppelst du $a$, vervierfacht sich $A$.
Ein Taxiunternehmen in Bonn berechnet eine Grundgebühr von $4$ € plus $2$ € pro gefahrenen Kilometer. a) Erstelle eine Wertetabelle für $1$, $2$, $5$ und $10$ km. b) Ist…
Ein Taxiunternehmen in Bonn berechnet eine Grundgebühr von $4$ € plus $2$ € pro gefahrenen Kilometer.
- a) Erstelle eine Wertetabelle für $1$, $2$, $5$ und $10$ km.
- b) Ist die Zuordnung Strecke $\to$ Preis proportional? Begründe mit der Tabelle.
- c) Ändere die Preisregelung so, dass die Zuordnung proportional wird, und gib die Funktionsgleichung an.
Ordne jede Sachsituation einem Zuordnungstyp zu und begründe: a) Seitenlänge eines Quadrats $\to$ Umfang b) Seitenlänge eines Quadrats $\to$ Flächeninhalt c)…
Ordne jede Sachsituation einem Zuordnungstyp zu und begründe:
- a) Seitenlänge eines Quadrats $\to$ Umfang
- b) Seitenlänge eines Quadrats $\to$ Flächeninhalt
- c) Geschwindigkeit eines Zuges $\to$ Fahrzeit für die Strecke Köln–Hamburg
- d) Anzahl gekaufter Hefte $\to$ Wechselgeld bei einem $20$-€-Schein (Heft $1,50$ €)
Entscheidungshilfe: Tabelle, Term, Graph
| proportional | antiproportional | keines von beiden | |
|---|---|---|---|
| Verhalten | doppelt – doppelt | doppelt – halb | anders |
| Tabelle | $\frac{y}{x}$ gleich | $x\cdot y$ gleich | keins von beidem |
| Term | $y = k\cdot x$ | $y = \frac{k}{x}$ | z. B. $y = 4 + 2x$ |
| Graph | Gerade durch den Ursprung | Hyperbel | z. B. Gerade nicht durch den Ursprung |
Gehe so vor: Berechne erst die Quotienten, dann die Produkte. Reicht ein einziges Wertepaar, das abweicht, ist die Eigenschaft widerlegt.
Ordne jeder Beschreibung den passenden Graphen zu (beschrieben in Worten): a) Gerade durch den Ursprung b) Hyperbel im ersten Quadranten c) Gerade, die die $y$-Achse bei…
Ordne jeder Beschreibung den passenden Graphen zu (beschrieben in Worten):
- a) Gerade durch den Ursprung
- b) Hyperbel im ersten Quadranten
- c) Gerade, die die $y$-Achse bei $2$ schneidet
Gib jeweils an, ob die Zuordnung proportional, antiproportional oder keines von beiden ist.
Zwei Handyverträge in Hamburg: Tarif A: $0,10$ € pro Minute, keine Grundgebühr. Tarif B: $5$ € Grundgebühr plus $0,05$ € pro Minute. a) Stelle für beide Tarife die…
Zwei Handyverträge in Hamburg:
Tarif A: $0,10$ € pro Minute, keine Grundgebühr.
Tarif B: $5$ € Grundgebühr plus $0,05$ € pro Minute.
- a) Stelle für beide Tarife die Funktionsgleichung auf (Minuten $\to$ Kosten) und entscheide jeweils, ob die Zuordnung proportional ist.
- b) Ab wie vielen Minuten ist Tarif B günstiger? Begründe rechnerisch.
- c) Begründe, warum für keinen der beiden Tarife die Zuordnung Minuten $\to$ Kosten pro Minute (Gesamtkosten geteilt durch Minuten) antiproportional ist.
Ein Wasserbecken in einem Freibad in Dortmund wird gefüllt. Bei einer Pumpe mit $50$ m³ pro Stunde dauert das Füllen $12$ Stunden. a) Wie lange dauert das Füllen mit…
Ein Wasserbecken in einem Freibad in Dortmund wird gefüllt. Bei einer Pumpe mit $50$ m³ pro Stunde dauert das Füllen $12$ Stunden.
- a) Wie lange dauert das Füllen mit zwei gleichen Pumpen, wie lange mit drei?
- b) Stelle die Funktionsgleichung Anzahl Pumpen $\to$ Zeit auf und begründe damit, dass sie antiproportional ist.
- c) Nach $4$ Stunden mit einer Pumpe werden weitere zwei gleiche Pumpen zugeschaltet. Wann ist das Becken voll?
Zurück zum Anfang: Brötchen und Preis sind proportional, Personen und Streichzeit antiproportional, Alter und Körpergröße keines von beiden.