Winkelsätze anwenden und begründen
Ein Zimmermann in Münster baut einen Dachstuhl. Er kennt den Neigungswinkel der Dachfläche, aber er kann den Winkel an der Dachspitze nicht direkt messen. Muss er trotzdem raten? Nein: Mit Winkelsätzen kannst du fehlende Winkel berechnen und deine Rechnung begründen. Am Ende dieser Seite kannst du auch beweisen, warum die Sätze stimmen.
Neben- und Scheitelwinkel
Zwei Geraden schneiden sich in einem Punkt. Dabei entstehen vier Winkel.
Warum? Nebenwinkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel, und der misst $180^\circ$. Ein Scheitelwinkel hat denselben Nebenwinkel wie sein Gegenüber ($\beta$). Aus $\alpha=180^\circ-\beta$ folgt, dass beide Scheitelwinkel gleich groß sind.
Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen
Jetzt schneidet eine Gerade zwei parallele Geraden $g$ und $h$.
Warum? Verschiebst du $g$ entlang der schneidenden Geraden auf $h$, dann deckt der Winkel an $g$ den Stufenwinkel an $h$ genau ab. Der Wechselwinkel ist der Scheitelwinkel eines Stufenwinkels, also ebenfalls gleich groß.
Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ werden von einer Geraden geschnitten. Ein Stufenwinkel an $g$ misst $65°$. a) Wie groß ist der zugehörige Stufenwinkel an $h$? b) Wie…
Zwei parallele Geraden $g$ und $h$ werden von einer Geraden geschnitten. Ein Stufenwinkel an $g$ misst $65°$.
- a) Wie groß ist der zugehörige Stufenwinkel an $h$?
- b) Wie groß ist der zugehörige Wechselwinkel?
- c) Wie groß ist der Nebenwinkel des Winkels von $65°$?
Die Gerade $g$ ist parallel zur Geraden $h$. Eine Gerade $s$ schneidet beide. Der Winkel $\alpha$ an $g$ ist $(3x+10)°$, der zugehörige Stufenwinkel an $h$ ist…
Die Gerade $g$ ist parallel zur Geraden $h$. Eine Gerade $s$ schneidet beide. Der Winkel $\alpha$ an $g$ ist $(3x+10)°$, der zugehörige Stufenwinkel an $h$ ist $(5x-30)°$.
- a) Bestimme $x$.
- b) Berechne die Größe von $\alpha$.
- c) Berechne den Winkel, der mit $\alpha$ an $g$ einen Nebenwinkel bildet.
Innenwinkel und Außenwinkel im Dreieck
Warum der Außenwinkelsatz gilt: Aus $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$ folgt $\alpha+\gamma=180^\circ-\beta$. Das ist genau $\beta^*$.
In einem Dreieck sind die Winkel $\alpha=48°$ und $\beta=67°$ bekannt. a) Berechne $\gamma$. b) Berechne den Außenwinkel bei $C$.
In einem Dreieck sind die Winkel $\alpha=48°$ und $\beta=67°$ bekannt.
- a) Berechne $\gamma$.
- b) Berechne den Außenwinkel bei $C$.
Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha=54°$. Der Außenwinkel bei $B$ beträgt $121°$. a) Berechne $\beta$. b) Berechne $\gamma$ auf zwei verschiedene Arten. c) Begründe, warum ein…
Im Dreieck $ABC$ ist $\alpha=54°$. Der Außenwinkel bei $B$ beträgt $121°$.
- a) Berechne $\beta$.
- b) Berechne $\gamma$ auf zwei verschiedene Arten.
- c) Begründe, warum ein Außenwinkel immer die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel ist.
Das gleichschenklige Dreieck: Basiswinkelsatz
Ein Dachgiebel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite ist die Basis. Gegenüber der Basis liegt die Spitze $C$.
Zusammen mit der Innenwinkelsumme erhältst du: $\gamma+2\alpha=180^\circ$.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Spitze $C$ und den Winkel $\gamma=40°$ an der Spitze. a) Wie groß sind die Basiswinkel? b) Ein anderes gleichschenkliges Dreieck…
Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Spitze $C$ und den Winkel $\gamma=40°$ an der Spitze.
- a) Wie groß sind die Basiswinkel?
- b) Ein anderes gleichschenkliges Dreieck hat einen Basiswinkel von $72°$. Wie groß ist der Winkel an der Spitze?
Das Dach eines Hauses in Aachen hat im Querschnitt die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Neigungswinkel jeder Dachfläche (Basiswinkel) beträgt $38°$. a) Wie…
Das Dach eines Hauses in Aachen hat im Querschnitt die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Der Neigungswinkel jeder Dachfläche (Basiswinkel) beträgt $38°$.
- a) Wie groß ist der Winkel an der Dachspitze?
- b) Ein Anbau hat einen Dachwinkel an der Spitze von $100°$. Wie groß ist dort der Neigungswinkel?
- c) Ist ein Dach mit Spitzenwinkel $100°$ steiler oder flacher als das erste? Begründe.
Sätze beweisen
Beim Beweisen zeigst du mit bekannten Sätzen Schritt für Schritt, dass eine Aussage immer gilt. Messen reicht nicht: Eine Messung gilt nur für ein einzelnes gezeichnetes Dreieck.
Beweis der Innenwinkelsumme
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck $ABC$. Durch $C$ zeichnest du die Parallele zu $AB$.
Für das Viereck zeichnest du eine Diagonale ein. Sie zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke mit je $180^\circ$ Innenwinkelsumme. Die Winkel der beiden Dreiecke ergeben zusammen genau die vier Winkel des Vierecks. Also beträgt die Innenwinkelsumme im Viereck $2\cdot180^\circ=360^\circ$.
Beweis des Basiswinkelsatzes
Im gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ zeichnest du die Winkelhalbierende von $\gamma$. Sie schneidet $AB$ im Punkt $M$.
Die Dreiecke $AMC$ und $BMC$ stimmen in drei Stücken überein:
-
$AC=BC$ (gegeben, gleichschenklig),
-
$CM=CM$ (gemeinsame Seite),
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$\delta=\delta$ (Winkelhalbierende, Winkel zwischen den beiden Seiten).
Das ist der Kongruenzsatz SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel). Die Dreiecke sind also kongruent, also deckungsgleich. Dann stimmen auch die übrigen Winkel überein, insbesondere $\alpha=\beta$. $\blacksquare$
Beweise den Innenwinkelsummensatz für Dreiecke: Durch den Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ wird eine Parallele zu $AB$ gezeichnet. a) Beschreibe, welche Winkel an der…
Beweise den Innenwinkelsummensatz für Dreiecke: Durch den Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ wird eine Parallele zu $AB$ gezeichnet.
- a) Beschreibe, welche Winkel an der Parallelen entstehen, und benenne, welche davon gleich groß sind (mit Begründung durch Wechselwinkel).
- b) Folgere daraus $\alpha+\beta+\gamma=180°$.
- c) Folgere die Innenwinkelsumme im Viereck, indem du eine Diagonale einzeichnest.
Beweise den Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ gilt $\alpha=\beta$. a) Zeichne die Winkelhalbierende von $\gamma$; sie schneidet $AB$…
Beweise den Basiswinkelsatz: In einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ gilt $\alpha=\beta$.
- a) Zeichne die Winkelhalbierende von $\gamma$; sie schneidet $AB$ im Punkt $M$. Begründe, dass die Dreiecke $AMC$ und $BMC$ kongruent sind (Kongruenzsatz nennen).
- b) Folgere $\alpha=\beta$.
- c) Berechne in einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$ mit $AC=BC$ und $\gamma=2\alpha-30°$ alle drei Winkel.
Es sind $g\parallel h$. Ein Dreieck $ABC$ hat $A$ und $B$ auf $g$, der Punkt $C$ liegt auf $h$ (nicht über der Strecke $AB$, sondern seitlich versetzt). Es sei…
Es sind $g\parallel h$. Ein Dreieck $ABC$ hat $A$ und $B$ auf $g$, der Punkt $C$ liegt auf $h$ (nicht über der Strecke $AB$, sondern seitlich versetzt). Es sei $\alpha=50°$, und die Strecke $CB$ schließt im Punkt $C$ mit der Geraden $h$ einen Winkel von $70°$ ein, und zwar den Winkel auf der Seite von $A$ (er enthält den Dreieckswinkel $\gamma$).
- a) Bestimme alle Winkel des Dreiecks $ABC$ und begründe jeden Schritt mit einem Winkelsatz.
- b) Welche Art von Dreieck ist $ABC$ (nach Winkeln und Seiten)? Begründe.
- c) Ein Schüler behauptet, die Winkelsumme könne bei einem sehr großen Dreieck größer als $180°$ sein. Nimm Stellung.
Auf einen Blick
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Nebenwinkel: $\alpha+\beta=180^\circ$. Scheitelwinkel sind gleich groß.
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An Parallelen sind Stufenwinkel und Wechselwinkel gleich groß. Umgekehrt folgt aus gleich großen Stufenwinkeln, dass die Geraden parallel sind.
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Im Dreieck gilt $\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$. Ein Außenwinkel ist die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Im Viereck beträgt die Winkelsumme $360^\circ$.
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Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß: $\gamma=180^\circ-2\alpha$.
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Beim Begründen nennst du bei jedem Schritt den Winkelsatz.
Zurück zum Anfang: Der Zimmermann kennt den Neigungswinkel $\alpha$ der Dachfläche. Da das Dach gleichschenklig ist, sind beide Basiswinkel $\alpha$, und der Winkel an der Spitze ist $\gamma=180^\circ-2\alpha$. Gemessen werden muss nichts.