Antiproportionale Zuordnungen

Gib mit Begründung an, ob die folgenden Größenpaare antiproportional zueinander sind:

1. a) Die Anzahl der Personen, die einen Zaun streichen, und die Zeit, die sie bis zur Fertigstellung brauchen.
2. b) Die Anzahl der Kilogramm Äpfel, die du kaufst, und der Gesamtpreis, den du bezahlst.
3. c) Die Geschwindigkeit, mit der ein Zug fährt, und die Zeit, die er für die Strecke zwischen zwei Städten braucht.
4. d) Die Seitenzahl eines Buches und sein Gewicht.

Vervollständige die folgende Tabelle in deinem Heft, wenn die Größen $A$ und $B$ antiproportional zueinander sind. Berechne auch die Proportionalitätskonstante $k$.

Eine Gruppe von Freunden möchte für einen Ausflug einen Transporter mieten. Wenn $6$ Freunde mitfahren, muss jeder $15$ Euro bezahlen. Berechne, wie viel jeder bezahlen müsste, wenn sich schließlich $10$ Personen für die Fahrt anmelden.

In einem Technikraum liegen mehrere rechteckige Sperrholzplatten, die alle denselben Flächeninhalt haben: $1200$ cm². Vervollständige die Tabelle der möglichen Maße (Länge und Breite) dieser Platten und erkläre, welcher Zusammenhang zwischen ihnen besteht.

Betrachte die folgende Tabelle, die den Zusammenhang zwischen zwei Größen $M$ und $N$ darstellt. Bestimme, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, indem du ihre Konstante $k$ berechnest. Ergänze danach die fehlenden Werte als ganze Zahlen oder exakte Dezimalzahlen.

Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $4$ Arbeiter $12$ Stunden gearbeitet. Wenn das Festival insgesamt $8$ Arbeiter einstellt, die im gleichen Tempo arbeiten, wie viele Stunden brauchen sie dann für den Aufbau derselben Bühne?

Eine Lieferdrohne braucht $12$ Minuten, um ein Paket auszuliefern, und fliegt dabei mit einer Geschwindigkeit von $40$ km/h. Wenn die Leitstelle ihre Geschwindigkeit für die nächste Lieferung zum selben Ort auf $60$ km/h erhöht, wie lange braucht sie dann bis zum Ziel?

Zwei Zahnräder greifen ineinander. Das erste hat $48$ Zähne und dreht sich mit $150$ Umdrehungen pro Minute (rpm). Mit welcher Drehzahl dreht sich das zweite Rad, wenn es $30$ Zähne hat?

Ein Linienbus fährt die Strecke von $120\text{ km}$ zwischen zwei Orten in Nordrhein-Westfalen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ($v$, in $\text{km/h}$) und die benötigte Zeit ($t$, in Stunden) sind antiproportionale Größen.\na) Gib die Funktion an, die die Zeit $t$ (in Stunden) in Abhängigkeit von der Durchschnittsgeschwindigkeit $v$ beschreibt.\nb) An einem Tag mit freier Fahrt fährt der Bus mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $80\text{ km/h}$, an einem Tag mit dichtem Nebel sinkt seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf $50\text{ km/h}$. Berechne die Fahrzeit in beiden Situationen und gib das Ergebnis genau in Stunden und Minuten an.\nc) Wenn der Verkehrsverbund verlangt, dass die Strecke in höchstens $1$ Stunde und $15$ Minuten zurückgelegt wird, mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit muss der Bus mindestens fahren? Begründe dein Vorgehen.

Ein Jugendverein aus einem Stadtteil von Essen mietet für einen Ausflug zum Schloss Burg in Solingen einen Bus zu einem festen Gesamtpreis von $720$ €, der gleichmäßig auf die teilnehmenden Personen aufgeteilt wird.\na) Schreibe die Formel auf, die den Preis pro Person ($y$, in Euro) in Abhängigkeit von der Anzahl der Teilnehmer ($x$) beschreibt. Gib den Wert der Konstante der antiproportionalen Zuordnung an und erkläre, was sie in diesem Zusammenhang darstellt.\nb) Die Organisation legt fest, dass die Fahrt nur stattfindet, wenn der Preis pro Person zwischen $15$ € und $30$ € liegt (beide eingeschlossen). Schlage drei mögliche Werte für die Anzahl der Teilnehmer ($x$) vor und berechne den Preis pro Person ($y$), der jeweils dazu gehört.

In einer Winzergenossenschaft an der Mosel erntet eine Gruppe von $12$ Erntehelfern die Trauben eines Weinbergs in $20$ Tagen. Die Leitung möchte vorhersagen, wie viele Tage die Ernte desselben Weinbergs in drei möglichen Fällen dauern würde: mit $24$ Erntehelfern, mit $6$ Erntehelfern und mit $15$ Erntehelfern.\nEs werden zwei Lösungswege vorgeschlagen:\n- Verfahren A: Für jeden Fall einen eigenen Dreisatz (antiproportional) ansetzen.\n- Verfahren B: Das Produkt $k$ (insgesamt benötigte Arbeitstage) berechnen, den Term $y = \dfrac{k}{x}$ aufstellen und, wo möglich, die einfachen Zusammenhänge (doppelt/halb) nutzen.\na) Wende beide Verfahren an, um die Tage für jeden der drei Fälle zu berechnen.\nb) Vergleiche die beiden Vorgehensweisen und begründe, warum Verfahren B effizienter und sicherer ist, wenn mehrere Personalszenarien untersucht werden müssen.

Für den Aufbau der Bühne eines Musikfestivals haben $8$ Arbeiter $15$ Stunden gearbeitet. Wenn die Gemeinde möchte, dass der Aufbau schon nach nur $10$ Stunden fertig ist, wie viele zusätzliche Arbeiter müssen eingestellt werden, wenn alle im gleichen Tempo arbeiten?

Eine Forstbrigade aus $4$ Arbeitern braucht $18$ Stunden reine Arbeitszeit, um einen Waldbrandschutzstreifen in einem Gemeindewald im Sauerland freizuschneiden. Wegen der Vorhersage einer Hitzewelle werden $2$ weitere Arbeiter mit demselben Arbeitstempo hinzugenommen, sodass ein Team von $6$ Personen entsteht.\na) Bevor du den genauen Wert berechnest, schätze begründet ab: Da die doppelte Anzahl an Arbeitern ($8$) $9$ Stunden bräuchte, braucht das Team mit $6$ Arbeitern mehr oder weniger als $10$ Stunden? Erkläre deine Überlegung im Kopf, ohne die Gleichung zu lösen.\nb) Berechne die genaue Zeit, die die $6$ Arbeiter brauchen, mithilfe der Eigenschaft des konstanten Produkts ($a_1 \cdot b_1 = a_2 \cdot b_2$).\nc) Überprüfe, ob das Ergebnis deine anfängliche Schätzung bestätigt, und deute, was die erhaltene Konstante anschaulich bedeutet, ausgedrückt in „Arbeitsstunden eines einzelnen Arbeiters“.

Eine Bergexpedition hat Vorräte gelagert, um $20$ Wanderer $12$ Tage lang zu versorgen. Nach den ersten $4$ Tagen der Tour treffen sie jedoch auf eine andere Gruppe von $5$ Personen, die keine Vorräte mehr haben, und beschließen, ihre Vorräte zu teilen. Wenn die Tagesration pro Person gleich bleibt, um wie viele Tage kürzer als geplant reichen die verbleibenden Vorräte?